(共47张PPT)
正切函数的图象与性质
自
主
预
习
探
新
知
正切曲线
y轴
R
奇函数
合
作
探
究
提
素
养
类型一：正切函数的定义域、值域问题
类型二：正切函数的奇偶性、周期性
当
堂
达
标
固
双
基
谢
谢
答案
解析答案正切函数的图象与性质
【学习目标】
1．能画出y＝tan
x的图象，借助图象理解正切函数在区间上的性质．
2．掌握正切函数的性质，会求正切函数的定义域、值域及周期，会用函数的图象与性质解决综合问题．
【学习重难点】
掌握正切函数的性质，会求正切函数的定义域、值域及周期．
【学习过程】
一、初试身手
1．函数y＝－3tan
x＋7的值域是(
)
A．R
B．{x|x≠kπ＋，k∈Z}
C．(0，＋∞)
D．(k∈Z)
2．y＝tan定义域为________．
3．函数y＝tan的单调增区间为________．
二、合作探究
1.正切函数的定义域、值域问题
【例1】（1）函数y＝＋lg(1－tan
x)的定义域是________．
（2）函数y＝tan(sin
x)的值域为________．
（3）求函数y＝－tan2
x＋2tan
x＋5，x∈的值域．
2.正切函数的奇偶性、周期性
【例2】（1）函数y＝4tan的周期为________．
（2）判断下列函数的奇偶性：
①f(x)＝；
②f(x)＝tan＋tan.
3.正切函数的单调性
[探究问题]
正切函数y＝tan
x在其定义域内是否为增函数？
正切函数的定义域能写成，(k∈Z)吗？为什么？
【例3】（1）求函数y＝tan的单调区间；
（2）比较tan
1，tan
2，tan
3的大小．
【学习小结】
1．正切函数的图象
（1）正切函数的图象：
y＝tan
x的图象如图．
（2）正切函数的图象叫做正切曲线．
（3）正切函数的图象特征：
正切曲线是由通过点(k∈Z)且与y轴平行的直线隔开的无穷多支曲线所组成．
2．正切函数的性质
（1）函数y＝tan
x的图象与性质表：
解析式
y＝tan
x
图象
定义域
值域
R
周期
π
奇偶性
奇函数
单调性
在开区间k∈Z内都是增函数
（2）函数y＝tan
ωx(ω≠0)的最小正周期是.
【精炼反馈】
1．函数y＝tan
x的值域是(
)
A．[－1,1]
B．[－1,0)∪(0,1]
C．(－∞，1]
D．[－1，＋∞)
2．直线y＝3与函数y＝tan
ωx(ω>0)的图象相交，则相邻两交点间的距离是(
)
A．π
B．
C．
D．
3．函数f(x)＝tan的定义域是________，f＝________.
4．函数y＝－tan
x的单调递减区间是________．
5．求下列函数的定义域：
（1）y＝；
（2）y＝lg(－tan
x)．
4/4正切函数的图象与性质
【教学目标】
1．能画出y＝tan
x的图象，借助图象理解正切函数在区间上的性质．
2．掌握正切函数的性质，会求正切函数的定义域、值域及周期，会用函数的图象与性质解决综合问题．
【教学重难点】
掌握正切函数的性质，会求正切函数的定义域、值域及周期．
【教学过程】
一、基础铺垫
1．正切函数的图象
（1）正切函数的图象：
y＝tan
x的图象如图．
（2）正切函数的图象叫做正切曲线．
（3）正切函数的图象特征：
正切曲线是由通过点(k∈Z)且与y轴平行的直线隔开的无穷多支曲线所组成．
2．正切函数的性质
（1）函数y＝tan
x的图象与性质表：
解析式
y＝tan
x
图象
定义域
值域
R
周期
π
奇偶性
奇函数
单调性
在开区间k∈Z内都是增函数
（2）函数y＝tan
ωx(ω≠0)的最小正周期是.
二、新知探究
1．正切函数的定义域、值域问题
【例1】（1）函数y＝＋lg(1－tan
x)的定义域是________．
（2）函数y＝tan(sin
x)的值域为________．
（3）求函数y＝－tan2
x＋2tan
x＋5，x∈的值域．
[思路探究]（1）列出使各部分有意义的条件，注意正切函数自身的定义域．
（2）利用正弦函数的有界性及正切函数图象求值域．
（3）换元转化为二次函数在给定区间上求值域问题．
（1）
（2）[－tan
1，tan
1]
[（1）要使函数y＝＋lg(1－tan
x)有意义，则
即－1≤tan
x<1．
在上满足上述不等式的x的取值范围是.
又因为y＝tan
x的周期为π，所以所求x的定义域为.]
（2）因为－1≤sin
x≤1，且[－1,1]?，
所以y＝tan
x在[－1,1]上是增函数，
因此tan(－1)≤tan
x≤tan
1，
即函数y＝tan(sin
x)的值域为[－tan
1，tan
1]．
（3）解：令t＝tan
x，
∵x∈，∴t＝tan
x∈[－，)，
∴y＝－t2＋2t＋5＝－(t－1)2＋6，抛物线开口向下，对称轴为t＝1，
∴t＝1时，取最大值6，
t＝－时，取最小值2－2，
∴函数y＝－tan2
x＋2tan
x＋5，x∈时的值域为[2－2，6]．
【教师小结】
（一）求正切函数定义域的方法及求值域的注意点：
（1）求与正切函数有关的函数的定义域时，除了求函数定义域的一般要求外，还要保证正切函数y＝tan
x有意义即x≠＋kπ，k∈Z；
（2）求解与正切函数有关的函数的值域时，要注意函数的定义域，在定义域内求值域；对于求由正切函数复合而成的函数的值域时，常利用换元法，但要注意新“元”的范围．
（二）解正切不等式的两种方法：
（1）图象法：先画出函数图象，找出符合条件的边界角，再写出符合条件的角的集合；
（2）三角函数线法：先在单位圆中作出角的边界值时的正切线，得到边界角的终边，在单位圆中画出符合条件的区域．要特别注意函数的定义域．
2．正切函数的奇偶性、周期性
【例2】（1）函数y＝4tan的周期为________．
（2）判断下列函数的奇偶性：
①f(x)＝；
②f(x)＝tan＋tan.
[思路探究]（1）可用定义法求，也可用公式法求，也可作出函数图象来求．
（2）可按定义法的步骤判断．
（1）
[由于ω＝3，故函数的周期为T＝＝.]
（2）①由
得f(x)的定义域为
，
不关于原点对称，
所以函数f(x)既不是偶函数，也不是奇函数．
②函数定义域为
，
关于原点对称，
又f(－x)＝tan＋tan
＝－tan－tan
＝－f(x)，
所以函数是奇函数．
【教师小结】
（一）函数f(x)＝Atan(ωx＋φ)周期的求解方法：
（1）定义法．
（2）公式法：对于函数f(x)＝Atan(ωx＋φ)的最小正周期T＝.
（3）观察法(或图象法)：观察函数的图象，看自变量间隔多少，函数值重复出现．
（二）判定与正切函数有关的函数奇偶性的方法：
先求函数的定义域，看其定义域是否关于原点对称，若其不关于原点对称，则该函数为非奇非偶函数；若其关于原点对称，再看f(－x)与f(x)的关系．
3．正切函数的单调性
[探究问题]
正切函数y＝tan
x在其定义域内是否为增函数？
[提示]不是．函数的单调性是相对于定义域内的某个区间而言的．正切函数的图象被直线x＝kπ＋(k∈Z)隔开，所以它的单调区间只在(k∈Z)内，而不能说它在定义域内是增函数．假设x1＝，x2＝π，x1x1＝tan
x2．
正切函数的定义域能写成，(k∈Z)吗？为什么？
[提示]不能．因为正切函数的定义域是，它表示x是不等于＋kπ(k∈Z)的全体实数，而(k∈Z)只表示k取某个整数时的一个区间，而不是所有区间的并集．
【例3】（1）求函数y＝tan的单调区间；
（2）比较tan
1，tan
2，tan
3的大小．
[思路探究]（1）可先令y＝－tan，从而把x－整体代入，k∈Z这个区间内解出x便可．
（2）可先把角化归到同一单调区间内，即利用tan
2＝tan(2－π)，tan
3＝tan(3－π)，最后利用y＝tan
x在上的单调性判断大小关系．
[解]（1）y＝tan＝－tan，
由kπ－得2kπ－∴函数y＝tan的单调递减区间是(k∈Z)，无增区间．
（2）∵tan
2＝tan(2－π)，tan
3＝tan(3－π)，
又∵<2<π，∴－<2－π<0，
∵<3<π，∴－<3－π<0，
显然－<2－π<3－π<1<，
且y＝tan
x在内是增函数，
∴tan(2－π)1，
即tan
231．
【教师小结】求y＝Atanωx＋φ的单调区间，可先用诱导公式把ω化为正值，由kπ－<ωx＋φ三、课堂总结
1．对函数y＝Atan(ωx＋φ)＋k(ω≠0)周期的两点说明
(1)一般地，函数y＝Atan(ωx＋φ)＋k(ω≠0)的最小正周期T＝.
(2)当ω>0时，函数y＝Atan(ωx＋φ)＋k具有周期性，最小正周期是.
2．“三点两线法”作正切曲线的简图
(1)“三点”分别为(kπ，0)，，，其中k∈Z；两线为直线x＝kπ＋和直线x＝kπ－，其中k∈Z(两线也称为正切曲线的渐近线，即无限接近但不相交)．
(2)作简图时，只需先作出一个周期中的两条渐近线，然后描出三个点，用光滑的曲线连接得到一条曲线，最后平行移动至各个周期内即可．
3．解答正切函数图象与性质问题应注意的两点
(1)对称性：正切函数图象的对称中心是(k∈Z)，不存在对称轴．
(2)单调性：正切函数在每个(k∈Z)区间内是单调递增的，但不能说其在定义域内是递增的.
四、课堂检测
1．函数y＝tan
x的值域是(
)
A．[－1,1]
B．[－1,0)∪(0,1]
C．(－∞，1]
D．[－1，＋∞)
B
[根据函数的单调性可得．]
2．直线y＝3与函数y＝tan
ωx(ω>0)的图象相交，则相邻两交点间的距离是(
)
A．π
B．
C．
D．
C
[直线y＝3与函数y＝tan
ωx的图象的相邻交点间的距离为y＝tan
ωx的周期，故距离为.]
3．函数f(x)＝tan的定义域是________，f＝________.
[由题意知x＋≠kπ＋(k∈Z)，
即x≠＋kπ(k∈Z)．
故定义域为，
且f＝tan＝.]
4．函数y＝－tan
x的单调递减区间是________．
(k∈Z)
[因为y＝tan
x与y＝－tan
x的单调性相反，所以y＝－tan
x的单调递减区间为
(k∈Z)．]
5．求下列函数的定义域：
（1）y＝；
（2）y＝lg(－tan
x)．
[解]
（1）要使函数y＝有意义，需使
所以函数的定义域为
.
（2）要使函数有意义，则－tan
x>0，所以tan
x<.
又因为tan
x＝时，x＝＋kπ(k∈Z)，
根据正切函数图象(图略)，
得kπ－1/7
