向量的基本关系
【教学目标】
1．掌握共线向量、相等向量、向量夹角的概念．
2．正确区分向量平行与直线平行．
【教学重难点】
共线向量、相等向量、向量夹角的概念．
【教学过程】
一、基础铺垫
向量的有关概念：
名称
定义
表示方法
相等向量
长度相等且方向相同的向量
若a等于b，记作a＝b
向量平行
或共线
表示两个向量的有向线段所在的直线重合或平行
a与b平行或共线，记作a∥b．
规定：零向量与任一向量共线
向量的夹角
称为向量a与b的夹角
a与b垂直，记作a⊥b．
规定：零向量可与任一向量垂直
二、合作探究
1．相等向量与共线向量
[探究问题]
（1）如果两个非零向量所在的直线互相平行，那么这两个向量的方向有什么关系？
[提示]
方向相同或相反．
（2）表示共线向量的有向线段所在的直线有什么位置关系？
[提示]
表示共线向量的有向线段所在直线平行或重合．
（3）如果非零向量与是共线向量，那么点A，B，C，D是否一定共线？
[提示]
不一定共线．
（4）与向量a共线的单位向量有几个？
[提示]
当a≠0时，有两个；当a＝0时，有无数个．
【例1】
如图所示，O是正六边形ABCDEF的中心，且＝a，＝b，＝c．
（1）与a的模相等的向量有多少个？
（2）与a的长度相等，方向相反的向量有哪些？
（3）与a共线的向量有哪些？
[思路探究]
由题目可获得以下主要信息：
①六边形ABCDEF是正六边形；
②＝a，＝b，＝c；
③求各相应向量．
解答本题要充分借助几何图形的性质及向量相关概念进行判断，从而解决相应问题．
[解]
（1）与a的模相等的向量有23个．
（2）与a的长度相等且方向相反的向量有，，，.
（3）与a共线的向量有，，，，，，，，.
（1）本例中＝c，其他条件不变，试分别写出与a，b，c相等的向量．
[解]
与a相等的向量有，，；与b相等的向量有，，；与c相等的向量有，，.
（2）本例条件不变，与共线的向量有哪些？
[解]
与共线的向量有，，，，，，，，.
【规律探究】
（1）向量共线有三种情形：
①共线且同向；②共线且反向；③有一个是零向量．
（2）向量的平行与直线平行的关系
两条直线平行时，直线上的有向线段平行，两向量平行时，表示向量的有向线段所在直线不一定平行，也可能重合．若直线m，n，l，m∥n，n∥l，则m∥l；若向量a，b，c，a∥b，b∥c，而a，c不一定平行．
2．向量的夹角
【例2】如图，等边三角形ABC中，点D，E，F分别是边AB，BC，AC的中点，指出如下各组向量的夹角.
[解]
（1）与的夹角是∠EDF=60°；
（2）因为，所以与的夹角等于与的夹角，即∠EDA=120°；
（3）延长FD至B'，使DB'=FD，则∠EDB'=120°.
三、课堂总结
1．共线向量也就是平行向量，其要求是几个非零向量的方向相同或相反，当然向量所在的直线可以平行，也可以重合，其中“平行”的含义不同于平面几何中“平行”的含义．
2．向量垂直也就是向量夹角为90°，按照规定，零向量既可以和任意向量平行，也可以和任意向量垂直.
四、课堂检测
1．把平行于某一条直线的所有向量归结到共同的起点，则终点构成的图形是________；若这些向量是单位向量，则终点构成的图形是________．
一条直线
两个点
[因为向量平行，且表示它们的有向线段有共同的起点，所以终点在一条直线上；而对于单位向量，其大小都是一个单位，所以它们的终点在起点的两侧，且距起点一个单位，所以终点构成的图形是两个点．]
2．如图所示，以1×2方格纸中的格点(各线段的交点)为起点和终点的向量中．
（1）写出与、相等的向量；
（2）写出与模相等的向量．
[解]
（1）＝＝，＝.
（2），，.向量的基本关系
【学习目标】
1．掌握共线向量、相等向量、向量夹角的概念．
2．正确区分向量平行与直线平行．
【学习重难点】
共线向量、相等向量、向量夹角的概念．
【学习过程】
一、初试身手
1．如图所示，四边形RSPQ是菱形，下列可以用同一有向线段表示的两个向量是(
)
A．和
B．和
C．和
D．和
2．如图，四边形ABCD和ABDE都是平行四边形，则与相等的向量有________，与共线的向量有________．
二、合作探究
1．相等向量与共线向量
[探究问题]
（1）如果两个非零向量所在的直线互相平行，那么这两个向量的方向有什么关系？
（2）表示共线向量的有向线段所在的直线有什么位置关系？
（3）如果非零向量与是共线向量，那么点A，B，C，D是否一定共线？
（4）与向量a共线的单位向量有几个？
【例1】
如图所示，O是正六边形ABCDEF的中心，且＝a，＝b，＝c．
（1）与a的模相等的向量有多少个？
（2）与a的长度相等，方向相反的向量有哪些？
（3）与a共线的向量有哪些？
（1）本例中＝c，其他条件不变，试分别写出与a，b，c相等的向量．
（2）本例条件不变，与共线的向量有哪些？
2．向量的夹角
【例2】如图，等边三角形ABC中，点D，E，F分别是边AB，BC，AC的中点，指出如下各组向量的夹角.
【学习小结】
名称
定义
表示方法
相等向量
长度相等且方向相同的向量
若a等于b，记作a＝b
向量平行
或共线
表示两个向量的有向线段所在的直线重合或平行
a与b平行或共线，记作a∥b．
规定：零向量与任一向量共线
向量的夹角
称为向量a与b的夹角
a与b垂直，记作a⊥b．
规定：零向量可与任一向量垂直
【精炼反馈】
1．把平行于某一条直线的所有向量归结到共同的起点，则终点构成的图形是________；若这些向量是单位向量，则终点构成的图形是________．
2．如图所示，以1×2方格纸中的格点(各线段的交点)为起点和终点的向量中．
（1）写出与、相等的向量；
（2）写出与模相等的向量．(共22张PPT)
向量的基本关系
自
主
预
习
探
新
知
方向
重合
零向量
新知初探
零向量
初试身手
合
作
探
究
提
素
养
类型一：相等向量与共线向量
类型二：向量的夹角
【例2】如图，等边三角形ABC中，点D，E，F分别是边AB，BC，AC的中点，指出如下各组向量的夹角.
当
堂
达
标
固
双
基
谢
谢
答案
解析答案
R
E
D
F
C
B
(1)D与DF;(2)DE与EF;(3)D与EB
F
B
E
B
