(共38张PPT)
平面向量基本定理
自
主
预
习
探
新
知
基
合
作
探
究
提
素
养
类型一：对向量基底的理解
类型二：用基底表示向量
类型三：平面向量基本定理应用
当
堂
达
标
固
双
基
谢
谢
答案
C
入
M
入2e2
解析答案
N
B
M
C
M
C
B
M
lllll
B
A
N
M
A
N
M
C
C
B
M平面向量基本定理
【教学目标】
【核心素养】
1.了解平面向量基本定理及其意义．(重点)
2.能应用平面向量基本定理解决一些实际问题．(难点)
1.通过学习平面向量基本定理提升数学抽象素养．
2.通过平面向量基本定理解决实际问题，培养直观想象素养.
【教学过程】
一、基础铺垫
平面向量基本定理：
如果e1，e2(如图①所示)是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，存在唯一一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2(如图②所示)，其中不共线的向量e1，e2叫作表示这一平面内所有向量的一组基底．
思考：若存在λ1，λ2∈R，μ1，μ2∈R，且a＝λ1e1＋λ2e2，a＝μ1e1＋μ2e2，那么λ1，μ1，λ2，μ2有何关系？
[提示]
由已知得λ1e1＋λ2e2＝μ1e1＋μ2e2，即(λ1－μ1)e1＝(μ2－λ2)e2.
∵e1与e2不共线，∴λ1－μ1＝0，μ2－λ2＝0，
∴λ1＝μ1，λ2＝μ2.
二、合作探究
1.对向量基底的理解
【例1】
设O是平行四边形ABCD两对角线的交点，给出下列向量组：
①与；②与；③与；④与，
其中可作为这个平行四边形所在平面的一组基底的是(
)
A．①②
B．①③
C．①④
D．③④
B
[①与不共线；②＝－，则与共线；③与不共线；④＝－，则与共线．
由平面向量基底的概念知，只有不共线的两个向量才能构成一组基底，故①③满足题意．]
【规律方法】
考查两个向量是否能构成基底，主要看两向量是否非零且不共线.此外，一个平面的基底一旦确定，那么平面上任意一个向量都可以由这个基底唯一线性表示出来.
2.用基底表示向量
【例2】
设M、N、P是△ABC三边上的点，它们使＝，＝，＝，若＝a，＝b，试用a，b将、、表示出来．
[解]
如图，＝－
＝－－
＝－－(－)
＝－＝b－a.
同理可得＝a－b.
＝－＝－(＋)＝a＋b.
【规律方法】
平面内任何一个向量都可以用两个基底进行表示，转化时一定要看清转化的目标，要充分利用向量加法、减法的三角形法则和平行四边形法则，同时结合实数与向量积的定义，牢记转化方向，把未知向量逐步往基底方向进行组合或分解.
3.平面向量基本定理应用
[探究问题]
（1）如果e1，e2是两个不共线的非零向量，则与e1，e2在同一平面内的任一向量a，能否用e1，e2表示？依据是什么？
[提示]
能．依据是平面向量基本定理．
（2）如果e1，e2是共线向量，那么向量a能否用e1，e2表示？为什么？
[提示]
不一定．当a与e1，e2中的一个非零向量共线时可以表示，否则不能表示．
（3）基底给定时，向量分解形式唯一吗？
[提示]
向量分解形式唯一．
【例3】
如图，在△ABC中，点M是BC的中点，点N在AC上，且AN＝2NC，AM与BN相交于点P，求AP∶PM与BP∶PN.
[思路探究]
以与为基底利用平面向量基本定理求解，解题时注意条件A、P、M和B、P、N分别共线的应用．
[解]
设＝e1，＝e2，
则＝＋＝－3e2－e1，＝＋＝2e1＋e2.
∵A，P，M和B，P，N分别共线，
∴存在实数λ，μ使得＝λ＝－λe1－3λe2，
＝μ＝2μe1＋μe2.
故＝＋＝－＝(λ＋2μ)e1＋(3λ＋μ)e2.
而＝＋＝2e1＋3e2，由平面向量基本定理，
得解得
∴＝，＝，
∴AP∶PM＝4∶1，BP∶PN＝3∶2.
【母题探究】
1．(变设问)在本例条件下，若＝a，＝b，试用a，b表示.
[解]
由本例解析知BP∶PN＝3∶2，
则＝，
＝＋＝＋＝b＋(－)
＝b＋a－b＝b＋a.
2．(变条件)若本例中的点N为AC的中点，其它条件不变，求AP∶PM与BP∶PN.
[解]
如图，设＝e1，＝e2，
则＝＋＝－2e2－e1，＝＋＝2e1＋e2，
∵A，P，M和B，P，N分别共线，
∴存在实数λ，μ使得＝λ＝－λe1－2λe2，
＝μ＝2μe1＋μe2.
故＝＋＝－＝(λ＋2μ)e1＋(2λ＋μ)e2.
而＝＋＝2e1＋2e2，由平面向量基本定理，
得解得
∴＝，＝，
∴AP∶PM＝2，BP∶PN＝2.
【规律方法】
用向量解决平面几何问题的一般步骤
（1）选取不共线的两个平面向量作为基底.
（2）将相关的向量用基底向量表示，将几何问题转化为向量问题.
（3）利用向量知识进行向量运算，得出向量问题的解.
（4）再将向量问题的解转化为平面几何问题的解.
三、课堂总结
1．对基底的理解
(1)基底的特征
基底具备两个主要特征：①一组基底是两个不共线向量；②基底的选择是不唯一的．平面内两向量不共线是这两个向量可以作为这个平面内表示所有向量的一组基底的条件．
(2)零向量与任意向量共线，故基底中的向量不是零向量．
2．准确理解平面向量基本定理
(1)平面向量基本定理的实质是向量的分解，即平面内任一向量都可以沿两个不共线的方向分解成两个向量和的形式，且分解是唯一的．
(2)平面向量基本定理体现了转化与化归的数学思想，用向量解决几何问题时，我们可以选择适当的一组基底，将问题中涉及的向量向基底化归，使问题得以解决.
四、课堂练习
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)任意两个向量都可以作为基底．(
)
(2)平面向量的基底不是唯一的．(
)
(3)零向量不可作为基底中的向量．(
)
[答案]
(1)×
(2)√
(3)√
2．下列关于基底的说法正确的是(
)
①平面内不共线的任意两个向量都可作为一组基底；
②基底中的向量可以是零向量；
③平面内的基底一旦确定，该平面内的向量关于基底的线性分解形式也是唯一确定的．
A．①
B．②
C．①③
D．②③
C
[零向量与任意向量共线，故零向量不能作为基底中的向量，故②错，①③正确．]
3．已知向量e1，e2不共线，实数x，y满足(2x－3y)e1＋(3x－4y)e2＝6e1＋3e2，则x＝________，y＝________.
－15
－12
[∵向量e1，e2不共线，
∴解得]
4.如图所示，平行四边形ABCD中，点M在AB的延长线上，且BM＝AB，点N在BC上，且BN＝BC.求证：M，N，D三点共线．
[证明]
设＝e1，＝e2，则＝＝e2.
∵＝e2，＝＝e1.
∴＝－＝e2－e1.
又∵＝－＝e2－e1
＝3＝3.
∴向量与共线，又M是公共点，故M，N，D三点共线.平面向量基本定理
【学习目标】
1.了解平面向量基本定理及其意义．
2.能应用平面向量基本定理解决一些实际问题．
【学习重难点】
1.了解平面向量基本定理及其意义．
2.能应用平面向量基本定理解决一些实际问题．
【学习过程】
一、初试身手
1．设e1，e2是同一平面内两个不共线的向量，以下各组向量中不能作为基底的是(
)
A．e1，e2
B．e1＋e2,3e1＋3e2
C．e1,5e2
D．e1，e1＋e2
2．设O为平行四边形ABCD的对称中心，＝4e1，＝6e2，则2e1－3e2等于(
)
A.
B.
C.
D.
3．已知向量a与b是一组基底，实数x，y满足(3x－4y)a＋(2x－3y)b＝6a＋3b，则x－y＝________.
4．已知向量a与b不共线，且＝a＋4b，＝－a＋9b，＝3a－b，则共线的三点为________．
二、合作探究
1.对向量基底的理解
【例1】
设O是平行四边形ABCD两对角线的交点，给出下列向量组：
①与；②与；③与；④与，
其中可作为这个平行四边形所在平面的一组基底的是(
)
A．①②
B．①③
C．①④
D．③④
2.用基底表示向量
【例2】
设M、N、P是△ABC三边上的点，它们使＝，＝，＝，若＝a，＝b，试用a，b将、、表示出来．
3.平面向量基本定理应用
[探究问题]
（1）如果e1，e2是两个不共线的非零向量，则与e1，e2在同一平面内的任一向量a，能否用e1，e2表示？依据是什么？
（2）如果e1，e2是共线向量，那么向量a能否用e1，e2表示？为什么？
（3）基底给定时，向量分解形式唯一吗？
【例3】
如图，在△ABC中，点M是BC的中点，点N在AC上，且AN＝2NC，AM与BN相交于点P，求AP∶PM与BP∶PN.
【学习小结】
平面向量基本定理：
如果e1，e2(如图①所示)是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，存在唯一一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2(如图②所示)，其中不共线的向量e1，e2叫作表示这一平面内所有向量的一组基底．
1．对基底的理解
(1)基底的特征
基底具备两个主要特征：①一组基底是两个不共线向量；②基底的选择是不唯一的．平面内两向量不共线是这两个向量可以作为这个平面内表示所有向量的一组基底的条件．
(2)零向量与任意向量共线，故基底中的向量不是零向量．
2．准确理解平面向量基本定理
(1)平面向量基本定理的实质是向量的分解，即平面内任一向量都可以沿两个不共线的方向分解成两个向量和的形式，且分解是唯一的．
(2)平面向量基本定理体现了转化与化归的数学思想，用向量解决几何问题时，我们可以选择适当的一组基底，将问题中涉及的向量向基底化归，使问题得以解决.
【精炼反馈】
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)任意两个向量都可以作为基底．(
)
(2)平面向量的基底不是唯一的．(
)
(3)零向量不可作为基底中的向量．(
)
2．下列关于基底的说法正确的是(
)
①平面内不共线的任意两个向量都可作为一组基底；
②基底中的向量可以是零向量；
③平面内的基底一旦确定，该平面内的向量关于基底的线性分解形式也是唯一确定的．
A．①
B．②
C．①③
D．②③
3．已知向量e1，e2不共线，实数x，y满足(2x－3y)e1＋(3x－4y)e2＝6e1＋3e2，则x＝________，y＝________.
－15
－12
[∵向量e1，e2不共线，
∴解得]
4.如图所示，平行四边形ABCD中，点M在AB的延长线上，且BM＝AB，点N在BC上，且BN＝BC.求证：M，N，D三点共线．
