(共43张PPT)
平面向量及运算的坐标表示
垂直
垂直
正交基底
正交分解
√
×
√
×
谢
谢
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验证·反馈·达标平面向量的坐标及其运算
【学习重难点】
【学习目标】
【核心素养】
向量的正交分解
了解平面向量的正交分解，掌握向量的坐标表示
数学抽象
平面向量的坐标
理解平面向量坐标的概念，掌握两个向量和、差及数乘向量的坐标运算法则
数学抽象、数学运算
两种坐标的区别
掌握平面向量的坐标与平面内点的坐标的区别与联系
数学抽象
向量共线
能根据平面向量的坐标，判断向量是否共线；并掌握三点共线的判断方法
逻辑推理、数学建模
【学习过程】
一、初试身手
1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
（1）若O为坐标原点，＝(2，－1)，则点A的坐标为(2，－1)．(
)
（2）若点A的坐标为(2，－1)，则以A为终点的向量的坐标为(2，－1)．(
)
（3）平面内的一个向量a，其坐标是唯一的．(
)
（4）若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)且b≠0，则＝.(
)
2．已知向量＝(3，－2)，＝(－5，－1)，则向量的坐标是(
)
A．
B．
C．(－8，1)
D．(8，1)
3．下列各对向量中，共线的是(
)
A．a＝(2，3)，b＝(3，－2)
B．a＝(2，3)，b＝(4，－6)
C．a＝(，－1)，b＝(1，)
D．a＝(1，)，b＝(，2)
4．已知a＝(－3，2)，b＝(6，y)，且a∥b，则y＝________．
二、合作探究
1．平面向量的坐标表示
【例1】如图，在平面直角坐标系xOy中，已知OA＝4，AB＝3，∠AOx＝45°，∠OAB＝105°，＝a，＝b，四边形OABC为平行四边形．
（1）求向量a，b的坐标；
（2）求向量的坐标；
（3）求点B的坐标．
2．平面向量的坐标运算
【例2】（1）已知a＋b＝(1，3)，a－b＝(5，7)，则a＝________，b＝________．
（2）已知A(－2，4)，B(3，－1)，C(－3，－4)，且＝3，＝2，求M，N及的坐标．
3．判定直线平行、三点共线
【例3】（1）已知A，B，C三点共线，且A(3，－6)，B(－5，2)，若C点的横坐标为6，则C点的纵坐标为(
)
A．－13
B．9
C．－9
D．13
（2）已知A(－1，－1)，B(1，3)，C(1，5)，D(2，7)，向量与平行吗？直线AB平行于直线CD吗？
4．已知平面向量共线求参数
【例4】已知a＝(1，2)，b＝(－3，2)，当k为何值时，ka＋b与a－3b平行？平行时它们是同向还是反向？
【学习小结】
1．平面向量的坐标
平面上的两个非零向量a与b，如果它们所在的直线互相垂直，我们就称向量a与b垂直，记作a⊥b．规定零向量与任意向量都垂直．
如果平面向量的基底{e1，e2}中，e1⊥e2，就称这组基底为正交基底；在正交基底下向量的分解称为向量的正交分解．
一般地，给定平面内两个相互垂直的单位向量e1，e2，对于平面内的向量a，如果a＝xe1＋ye2，则称(x，y)为向量a的坐标，记作a＝(x，y)．
方便起见，以后谈到平面直角坐标系时，默认已经指定了与x轴及y轴的正方向同向的两个单位向量．此时，如果平面上一点A的坐标为(x，y)(通常记为A(x，y))，那么向量对应的坐标也为(x，y)，即＝(x，y)；反之结论也成立．
2．平面上向量的运算与坐标的关系
设平面上两个向量a，b满足a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则
a＝b?x1＝x2__且y1＝y2；a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)．
设u，v是两个实数，那么ua＋vb＝(ux1＋vx2，uy1＋vy2)，ua－vb＝(ux1－vx2，uy1－vy2)．
如果向量a＝(x，y)，则|a|＝．
3．平面直角坐标系内两点之间的向量公式与中点坐标公式
设A(x1，y1)，B(x2，y2)为平面直角坐标系中的两点，则＝(x2－x1，y2－y1)；
设线段AB中点为M(x，y)，则
4．向量平行的坐标表示
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b?x2y1＝x1y2．
【精炼反馈】
1．给出下面几种说法：
①相等向量的坐标相同；
②平面上一个向量对应于平面上唯一的坐标；
③一个坐标对应于唯一的一个向量；
④平面上一个点与以原点为始点，该点为终点的向量一一对应．
其中正确说法的个数是(
)
A．1
B．2
C．3
D．4
2．下列向量组中，能作为表示它们所在平面内所有向量的一组基底的是(
)
A．a＝(0，0)，b＝(2，3)
B．a＝(1，－3)，b＝(2，－6)
C．a＝(4，6)，b＝(6，9)
D．a＝(2，3)，b＝(－4，6)
3．已知两点A(2，－1)，B(3，1)，则与平行且方向相反的向量a可以是(
)
A．(1，－2)
B．(9，3)
C．(－2，4)
D．(－4，－8)
4．已知平行四边形OABC，其中O为坐标原点，若A(2，1)，B(1，3)，则点C的坐标为________．
5．已知点A(1，3)，B(4，－1)，则与向量同方向的单位向量为________．平面向量的坐标及其运算
【教学重难点】
【教学目标】
【核心素养】
向量的正交分解
了解平面向量的正交分解，掌握向量的坐标表示
数学抽象
平面向量的坐标
理解平面向量坐标的概念，掌握两个向量和、差及数乘向量的坐标运算法则
数学抽象、数学运算
两种坐标的区别
掌握平面向量的坐标与平面内点的坐标的区别与联系
数学抽象
向量共线
能根据平面向量的坐标，判断向量是否共线；并掌握三点共线的判断方法
逻辑推理、数学建模
【教学过程】
一、基础铺垫
1．平面向量的坐标
平面上的两个非零向量a与b，如果它们所在的直线互相垂直，我们就称向量a与b垂直，记作a⊥b．规定零向量与任意向量都垂直．
如果平面向量的基底{e1，e2}中，e1⊥e2，就称这组基底为正交基底；在正交基底下向量的分解称为向量的正交分解．
一般地，给定平面内两个相互垂直的单位向量e1，e2，对于平面内的向量a，如果a＝xe1＋ye2，则称(x，y)为向量a的坐标，记作a＝(x，y)．
方便起见，以后谈到平面直角坐标系时，默认已经指定了与x轴及y轴的正方向同向的两个单位向量．此时，如果平面上一点A的坐标为(x，y)(通常记为A(x，y))，那么向量对应的坐标也为(x，y)，即＝(x，y)；反之结论也成立．
2．平面上向量的运算与坐标的关系
设平面上两个向量a，b满足a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则
a＝b?x1＝x2__且y1＝y2；a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)．
设u，v是两个实数，那么ua＋vb＝(ux1＋vx2，uy1＋vy2)，ua－vb＝(ux1－vx2，uy1－vy2)．
如果向量a＝(x，y)，则|a|＝．
■名师点拨
（1）向量的坐标只与起点、终点的相对位置有关，而与它们的具体位置无关．
（2）当向量确定以后，向量的坐标就是唯一确定的，因此向量在平移前后，其坐标不变．
3．平面直角坐标系内两点之间的向量公式与中点坐标公式
设A(x1，y1)，B(x2，y2)为平面直角坐标系中的两点，则＝(x2－x1，y2－y1)；
设线段AB中点为M(x，y)，则
4．向量平行的坐标表示
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b?x2y1＝x1y2．
■名师点拨
两向量的对应坐标成比例，这种形式较易记忆，而且不易出现搭配错误．
二、合作探究
1．平面向量的坐标表示
【例1】如图，在平面直角坐标系xOy中，已知OA＝4，AB＝3，∠AOx＝45°，∠OAB＝105°，＝a，＝b，四边形OABC为平行四边形．
（1）求向量a，b的坐标；
（2）求向量的坐标；
（3）求点B的坐标．
【解】（1）作AM⊥x轴于点M，
则OM＝OA·cos
45°＝4×＝2，
AM＝OA·sin
45°＝4×＝2，
所以A(2，2)，故a＝(2，2)．
因为∠AOC＝180°－105°＝75°，∠AOy＝45°，
所以∠COy＝30°.又OC＝AB＝3，
所以C，
所以＝＝，
即b＝.
（2）＝－＝.
（3）因为＝＋
＝(2，2)＋
＝.
所以点B的坐标为(2－，2＋)．
【规律方法】
平面内求点、向量坐标的常用方法
（1）求一个点的坐标：可利用已知条件，先求出该点相对应坐标原点的位置向量的坐标，该坐标就等于相应点的坐标．
（2）求一个向量的坐标：首先求出这个向量的始点、终点的坐标，再运用终点坐标减去始点坐标即得该向量的坐标．
2．平面向量的坐标运算
【例2】（1）已知a＋b＝(1，3)，a－b＝(5，7)，则a＝________，b＝________．
（2）已知A(－2，4)，B(3，－1)，C(－3，－4)，且＝3，＝2，求M，N及的坐标．
【解】（1）由a＋b＝(1，3)，a－b＝(5，7)，
所以2a＝(1，3)＋(5，7)＝(6，10)，
所以a＝(3，5)，
2b＝(1，3)－(5，7)＝(－4，－4)，
所以b＝(－2，－2)．
（2）法一(待定系数法)：由A(－2，4)，B(3，－1)，C(－3，－4)，
可得＝(－2，4)－(－3，－4)＝(1，8)，
＝(3，－1)－(－3，－4)＝(6，3)，
所以＝3＝3(1，8)＝(3，24)，
＝2＝2(6，3)＝(12，6)．
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，
则＝(x1＋3，y1＋4)＝(3，24)，x1＝0，y1＝20；
＝(x2＋3，y2＋4)＝(12，6)，x2＝9，y2＝2，
所以M(0，20)，N(9，2)，
＝(9，2)－(0，20)＝(9，－18)．
法二(几何意义法)：设点O为坐标原点，则由＝3，＝2，
可得－＝3(－)，－＝2(－)，
从而＝3－2，＝2－，
所以＝3(－2，4)－2(－3，－4)＝(0，20)，
＝2(3，－1)－(－3，－4)＝(9，2)，
即点M(0，20)，N(9，2)，
故＝(9，2)－(0，20)＝(9，－18)．
【规律方法】
平面向量坐标的线性运算的方法
（1）若已知向量的坐标，则直接应用两个向量和、差及向量数乘的运算法则进行．
（2）若已知有向线段两端点的坐标，则可先求出向量的坐标，然后再进行向量的坐标运算．
（3）向量的线性坐标运算可完全类比数的运算进行．
3．判定直线平行、三点共线
【例3】（1）已知A，B，C三点共线，且A(3，－6)，B(－5，2)，若C点的横坐标为6，则C点的纵坐标为(
)
A．－13
B．9
C．－9
D．13
（2）已知A(－1，－1)，B(1，3)，C(1，5)，D(2，7)，向量与平行吗？直线AB平行于直线CD吗？
【解】（1）选C．设C(6，y)，因为∥，
又＝(－8，8)，＝(3，y＋6)，
所以－8×(y＋6)－3×8＝0，
所以y＝－9．
（2）因为＝(1－(－1)，3－(－1))＝(2，4)，
＝(2－1，7－5)＝(1，2)．
又2×2－4×1＝0，所以∥.
又＝(2，6)，＝(2，4)，所以2×4－2×6≠0，
所以A，B，C不共线，所以AB与CD不重合，
所以AB∥CD．
【规律方法】
向量共线的判定方法
4．已知平面向量共线求参数
【例4】已知a＝(1，2)，b＝(－3，2)，当k为何值时，ka＋b与a－3b平行？平行时它们是同向还是反向？
【解】法一(共线向量定理法)：ka＋b＝k(1，2)＋(－3，2)＝(k－3，2k＋2)，
a－3b＝(1，2)－3(－3，2)＝(10，－4)，
当ka＋b与a－3b平行时，存在唯一实数λ，
使ka＋b＝λ(a－3b)．
由(k－3，2k＋2)＝λ(10，－4)，
所以解得k＝λ＝－.
当k＝－时，ka＋b与a－3b平行，
这时ka＋b＝－a＋b＝－(a－3b)，
因为λ＝－<0，
所以ka＋b与a－3b反向．
法二(坐标法)：由题知ka＋b＝(k－3，2k＋2)，a－3b＝(10，－4)，
因为ka＋b与a－3b平行，
所以(k－3)×(－4)－10×(2k＋2)＝0，
解得k＝－.
此时ka＋b＝＝－(a－3b)，
所以当k＝－时，ka＋b与a－3b平行，并且反向．
【规律方法】
已知平面向量共线求参数的思路
（1）利用共线向量定理a＝λb(b≠0)列方程组求解．
（2）利用向量平行的坐标表达式x1y2－x2y1＝0直接求解．
三、课堂练习
1．给出下面几种说法：
①相等向量的坐标相同；
②平面上一个向量对应于平面上唯一的坐标；
③一个坐标对应于唯一的一个向量；
④平面上一个点与以原点为始点，该点为终点的向量一一对应．
其中正确说法的个数是(
)
A．1
B．2
C．3
D．4
解析：选C．由向量坐标的定义不难看出一个坐标可对应无数个相等的向量，故③错误．
2．下列向量组中，能作为表示它们所在平面内所有向量的一组基底的是(
)
A．a＝(0，0)，b＝(2，3)
B．a＝(1，－3)，b＝(2，－6)
C．a＝(4，6)，b＝(6，9)
D．a＝(2，3)，b＝(－4，6)
解析：选D．只有D选项中两个向量不共线，可以作为表示它们所在平面内所有向量的一组基底，故选D．
3．已知两点A(2，－1)，B(3，1)，则与平行且方向相反的向量a可以是(
)
A．(1，－2)
B．(9，3)
C．(－2，4)
D．(－4，－8)
解析：选D．由题意，得＝(1，2)，所以a＝λ＝(λ，2λ)(其中λ＜0)．符合条件的只有D项，故选D．
4．已知平行四边形OABC，其中O为坐标原点，若A(2，1)，B(1，3)，则点C的坐标为________．
解析：设C的坐标为(x，y)，则由已知得＝，所以(x，y)＝(－1，2)．
答案：(－1，2)
5．已知点A(1，3)，B(4，－1)，则与向量同方向的单位向量为________．
解析：＝(3，－4)，则与同方向的单位向量为＝(3，－4)＝.
答案：
