平面向量在几何、物理中的应用举例
【学习重难点】
【学习目标】
【核心素养】
向量在平面几何中的应用
会用向量方法解决平面几何中的平行、
垂直、长度、夹角等问题
数学建模、逻辑推理
向量在物理中的应用
会用向量方法解决物理中的速度、力学问题
数学建模、数学运算
【学习过程】
一、问题导学
预习教材内容，思考以下问题：
1．利用向量可以解决哪些常见的几何问题？
2．如何用向量方法解决物理问题？
二、合作探究
探究点1：向量在几何中的应用
角度一：平面几何中的垂直问题
【例1】
如图所示，在正方形ABCD中，E，F分别是AB，BC的中点，求证：AF⊥DE．
角度二：平面几何中的平行（或共线）问题
【例2】
如图，点O是平行四边形ABCD的中心，E，F分别在边CD，AB上，且＝＝．求证：点E，O，F在同一直线上．
角度三：平面几何中的长度问题
【例3】
如图，平行四边形ABCD中，已知AD＝1，AB＝2，对角线BD＝2，求对角线AC的长．
探究点2：向量在物理中的应用
【例4】
（1）在长江南岸某渡口处，江水以12．5
km/h的速度向东流，渡船的速度为25
km/h．渡船要垂直地渡过长江，其航向应如何确定？
（2）已知两恒力F1＝（3，4），F2＝（6，－5）作用于同一质点，使之由点A（20，15）移动到点B（7，0），求F1，F2分别对质点所做的功．
【学习小结】
1．用向量方法解决平面几何问题的“三个步骤”
2．向量在物理学中的应用
（1）由于物理学中的力、速度、位移都是矢量，它们的分解与合成与向量的减法和加法相似，可以用向量的知识来解决．
（2）物理学中的功是一个标量，即为力F与位移s的数量积，即W＝F·s＝|F||s|cos
θ（θ为F与s的夹角）．
【精炼反馈】
1．河水的流速为2
m/s，一艘小船以垂直于河岸方向10
m/s的速度驶向对岸，则小船在静水中的速度大小为（
）
A．10
m/s
B．2
m/s
C．4
m/s
D．12
m/s
2．已知三个力f1＝（－2，－1），f2＝（－3，2），f3＝（4，－3）同时作用于某物体上一点，为使物体保持平衡，再加上一个力f4，则f4＝（
）
A．（－1，－2）
B．（1，－2）
C．（－1，2）
D．（1，2）
3．设P，Q分别是梯形ABCD的对角线AC与BD的中点，AB∥DC，试用向量证明：PQ∥AB．(共27张PPT)
平面向量在几何、物理中
的应用举例
√
×
×
谢
谢
》预习·自生学可
研读·导学·尝试
》探究呆饼讲练互动
解惑·探究·突破
》测评系达标反馈
验证·反馈·达标平面向量在几何、物理中的应用举例
【教学重难点】
【教学目标】
【核心素养】
向量在平面几何中的应用
会用向量方法解决平面几何中的平行、
垂直、长度、夹角等问题
数学建模、逻辑推理
向量在物理中的应用
会用向量方法解决物理中的速度、力学问题
数学建模、数学运算
【教学过程】
一、问题导入
预习教材内容，思考以下问题：
1．利用向量可以解决哪些常见的几何问题？
2．如何用向量方法解决物理问题？
二、新知探究
1.向量在几何中的应用
角度一：平面几何中的垂直问题
例1：如图所示，在正方形ABCD中，E，F分别是AB，BC的中点，求证：AF⊥DE．
证明：法一：设＝a，＝b，
则|a|＝|b|，a·b＝0，
又＝＋＝－a＋b，＝＋＝b＋a，
所以·＝·＝－a2－a·b＋b2＝－|a|2＋|b|2＝0．
故⊥，即AF⊥DE．
法二：如图，建立平面直角坐标系，设正方形的边长为2，则A（0，0），D（0，2），E（1，0），F（2，1），＝（2，1），＝（1，－2）．
因为·＝（2，1）·（1，－2）＝2－2＝0，
所以⊥，即AF⊥DE．
角度二：平面几何中的平行（或共线）问题
例2：如图，点O是平行四边形ABCD的中心，E，F分别在边CD，AB上，且＝＝．求证：点E，O，F在同一直线上．
证明：设＝m，＝n，
由＝＝，知E，F分别是CD，AB的三等分点，
所以＝＋＝＋
＝－m＋（m＋n）＝m＋n，
＝＋＝＋
＝（m＋n）－m＝m＋n．
所以＝．
又O为和的公共点，故点E，O，F在同一直线上．
角度三：平面几何中的长度问题
例3：如图，平行四边形ABCD中，已知AD＝1，AB＝2，对角线BD＝2，求对角线AC的长．
解：设＝a，＝b，则＝a－b，＝a＋b，
而||＝|a－b|＝＝＝＝2，
所以5－2a·b＝4，所以a·b＝，又||2＝|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2＝1＋4＋2a·b＝6，所以||＝，即AC＝．
【规律方法】
用向量方法解决平面几何问题的步骤
2.向量在物理中的应用
例4：（1）在长江南岸某渡口处，江水以12.5
km/h的速度向东流，渡船的速度为25
km/h．渡船要垂直地渡过长江，其航向应如何确定？
（2）已知两恒力F1＝（3，4），F2＝（6，－5）作用于同一质点，使之由点A（20，15）移动到点B（7，0），求F1，F2分别对质点所做的功．
解：（1）如图，设表示水流的速度，表示渡船的速度，表示渡船实际垂直过江的速度．
因为＋＝，所以四边形ABCD为平行四边形．
在Rt△ACD中，∠ACD＝90°，||＝||＝12．5．
||＝25，所以∠CAD＝30°，即渡船要垂直地渡过长江，其航向应为北偏西30°．
（2）设物体在力F作用下的位移为s，则所做的功为W＝F·s．
因为＝（7，0）－（20，15）＝（－13，－15）．
所以W1＝F1·＝（3，4）·（－13，－15）
＝3×（－13）＋4×（－15）＝－99（焦），
W2＝F2·＝（6，－5）·（－13，－15）
＝6×（－13）＋（－5）×（－15）＝－3（焦）．
【规律方法】
用向量方法解决物理问题的“三步曲”
三、课堂总结
1．用向量方法解决平面几何问题的“三个步骤”
2．向量在物理学中的应用
（1）由于物理学中的力、速度、位移都是矢量，它们的分解与合成与向量的减法和加法相似，可以用向量的知识来解决．
（2）物理学中的功是一个标量，即为力F与位移s的数量积，即W＝F·s＝|F||s|cos
θ（θ为F与s的夹角）．
四、课堂检测
1．河水的流速为2
m/s，一艘小船以垂直于河岸方向10
m/s的速度驶向对岸，则小船在静水中的速度大小为（
）
A．10
m/s
B．2
m/s
C．4
m/s
D．12
m/s
解析：选B．由题意知|v水|＝2
m/s，|v船|＝10
m/s，作出示意图如图．
所以小船在静水中的速度大小
|v|＝＝2（m/s）．
2．已知三个力f1＝（－2，－1），f2＝（－3，2），f3＝（4，－3）同时作用于某物体上一点，为使物体保持平衡，再加上一个力f4，则f4＝（
）
A．（－1，－2）
B．（1，－2）
C．（－1，2）
D．（1，2）
解析：选D．由物理知识知f1＋f2＋f3＋f4＝0，故f4＝－（f1＋f2＋f3）＝（1，2）．
3．设P，Q分别是梯形ABCD的对角线AC与BD的中点，AB∥DC，试用向量证明：PQ∥AB．
证明：设＝λ（λ＞0且λ≠1），因为＝－＝＋－＝＋（－）
＝＋[（－）－（＋）]
＝＋（－）
＝（＋）＝（－λ＋1），
所以∥，又P，Q，A，B四点不共线，所以PQ∥AB．
