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空间图形基本位置关系的认识
自
主
预
习
探
新
知
a∥α
a∩b＝O
a∩α＝A
α∥β
α∩β＝a
合
作
探
究
提
素
养
当
堂
达
标
固
双
基
谢
谢
答案
解析答案空间图形基本位置关系的认识
【教学目标】
能用符号语言描述空间中的点、直线、平面之间的位置关系.
【教学重难点】
点、线、面的位置关系.
【教学过程】
一、基础铺垫
1．点、线、面之间的关系及符号表示
A是点，l，m是直线，α，β是平面．
文字语言
符号语言
图形语言
A在l上
A∈l
A在l外
A?l
A在α内
A∈α
A在α外
A?α
l在α内
l?α
l在α外
l?α
l，m相交于A
l∩m＝A
l，α相交于A
l∩α＝A
α，β相交于l
α∩β＝l
名师点拨：
从集合的角度理解点、线、面之间的关系
（1）直线可以看成无数个点组成的集合，故点与直线的关系是元素与集合的关系，用“∈”或“?
”表示．
（2）平面也可以看成点集，故点与平面的关系也是元素与集合的关系，用“∈”或“?
”表示．
（3）直线与平面都是点集，它们之间的关系可看成集合与集合的关系，故用“?”或“?”表示．
2．空间中直线与平面的位置关系
位置关系
直线a在
平面α内
直线a在平面α外
直线a与平
面α相交
直线a与
平面α平行
公共点
无数个公共点
有且只有
一个公共点
没有公共点
符号表示
a?α
a∩α＝A
a∥α
图形表示
名师点拨：
一般地，直线a在平面α内时，应把直线a画在表示平面α的平行四边形内；直线a与平面α相交时，应画成直线a与平面α有且只有一个公共点，被平面α遮住的部分画成虚线或不画；直线a与平面α平行时，应画成直线a与表示平面α的平行四边形的一条边平行，并画在表示平面α的平行四边形外．
3．空间中平面与平面的位置关系
位置关系
两个平面平行
两个平面相交
公共点
没有公共点
有无数个公共点（在一条直线上）
符号表示
α∥β
α∩β＝l
图形表示
名师点拨：
（1）画两个互相平行的平面时，要注意使表示平面的两个平行四边形的对应边平行．
（2）以后我们说到“两条直线”均指不重合的两条直线，“两个平面”均指不重合的两个平面．
二、合作探究
例1：（1）用符号语言表示下面的语句，并画出图形．
平面ABD与平面BDC交于BD，平面ABC与平面ADC交于AC.
（2）将下面用符号语言表示的关系用文字语言予以叙述，并用图形语言予以表示．
α∩β＝l，A∈l，AB?α，AC?β.
【解】（1）符号语言表示：平面ABD∩平面BDC＝BD，平面ABC∩平面ADC＝AC.用图形表示如图①所示．
（2）文字语言叙述为：点A在平面α与平面β的交线l上，直线AB，AC分别在平面α，β内，图形语言表示如图②所示．
[规律方法]
三种语言的转换方法
（1）用文字语言、符号语言表示一个图形时，首先仔细观察图形有几个平面、几条直线且相互之间的位置关系如何，试着用文字语言叙述，再用符号语言表示．
（2）根据符号语言或文字语言画相应的图形时，要注意实线和虚线的区别．
2．空间两直线位置关系的判定
例2：如图，在长方体ABCD?A1B1C1D1中，判断下列直线的位置关系：
①直线A1B与直线D1C的位置关系是________；
②直线A1B与直线B1C的位置关系是________；
③直线D1D与直线D1C的位置关系是________；
④直线AB与直线B1C的位置关系是________．
【解析】经探究可知直线A1B与直线D1C在平面A1BCD1中，且没有交点，则两直线平行，所以①应该填“平行”；点A1、B、B1在平面A1BB1内，而C不在平面A1BB1内，则直线A1B与直线B1C异面．同理，直线AB与直线B1C异面．所以②④应该填“异面”；直线D1D与直线D1C相交于D1点，所以③应该填“相交”．
【答案】①平行②异面③相交④异面
[规律方法]
（1）判定两条直线平行或相交的方法
判定两条直线平行或相交可用平面几何的方法去判断，而两条直线平行也可以用基本事实4（下节学习）判断．
3.直线与平面的位置关系
例3：下列命题：
①直线l平行于平面α内的无数条直线，则l∥α；
②若直线a在平面α外，则a∥α；
③若直线a∥b，直线b?α，则a∥α；
④若直线a∥b，b?α，那么直线a就平行于平面α内的无数条直线．
其中真命题的个数为（
）
A．1
B．2
C．3
D．4
【解析】因为直线l虽与平面α内无数条直线平行，但l有可能在平面α内，所以l不一定平行于α，所以①是假命题．
因为直线a在平面α外包括两种情况：a∥α和a与α相交，所以a和α不一定平行，所以②是假命题．
因为直线a∥b，b?α，则只能说明a和b无公共点，但a可能在平面α内，所以a不一定平行于α，所以③是假命题．
因为a∥b，b?α，所以a?α或a∥α，所以a可以与平面α内的无数条直线平行，所以④是真命题．
综上，真命题的个数为1.
【答案】A
[归纳反思]
判断直线与平面的位置关系应注意的问题
（1）在判断直线与平面的位置关系时，直线在平面内、直线与平面相交、直线与平面平行，这三种情况都要考虑到，避免疏忽或遗漏．
（2）解决此类问题时，可以借助空间几何图形，把要判断关系的直线、平面放在某些具体的空间图形中，以便于正确作出判断，避免凭空臆断．
4.平面与平面的位置关系
例4：已知在两个平面内分别有一条直线，并且这两条直线互相平行，那么这两个平面的位置关系一定是（
）
A．平行
B．相交
C．平行或相交
D．以上都不对
【解析】如图，可能会出现以下两种情况：
【答案】C
[规律方法]
（1）平面与平面的位置关系的判断方法
①平面与平面相交的判断，主要是以基本事实3为依据找出一个交点；
②平面与平面平行的判断，主要是说明两个平面没有公共点．
（2）常见的平面和平面平行的模型
①棱柱、棱台、圆柱、圆台的上下底面平行；
②长方体的六个面中，三组相对面平行．
5.点、线、面位置关系图形的画法
例5：如图所示，G是正方体ABCD?A1B1C1D1的棱DD1延长线上的一点，E，F是棱AB，BC的中点，试分别画出过下列各点、直线的平面与正方体表面的交线．
（1）过点G及AC．
（2）过三点E，F，D1．
【解】（1）画法：连接GA交A1D1于点M，连接GC交C1D1于点N；连接MN，AC，则MA，CN，MN，AC为所求平面与正方体表面的交线．如图①所示．
（2）画法：连接EF交DC的延长线于点P，交DA的延长线于点Q；连接D1P交CC1于点M，连接D1Q交AA1于点N；连接MF，NE，则D1M，MF，FE，EN，ND1为所求平面与正方体表面的交线．如图②所示．
[规律方法]
直线与平面位置关系的图形的画法
（1）画直线a在平面α内时，表示直线a的线段只能在表示平面α的平行四边形内，而不能有部分在这个平行四边形外．
（2）画直线a与平面α相交时，表示直线a的线段必须有部分在表示平面α的平行四边形之外，这样既能与表示直线在平面内区分开，又具有较强的立体感．
（3）画直线a与平面α平行时，最直观的画法是用来表示直线a的线段在表示平面α的平行四边形之外，且与此平行四边形的一边平行．
【课堂检测】
1．不平行的两条直线的位置关系是（
）
A．相交
B．异面
C．平行
D．相交或异面
解析：选D．若两直线不平行，则直线可能相交，也可能异面．
2．若M∈l，N∈l，N?α，M∈α，则有（
）
A．l∥α
B．l?α
C．l与α相交
D．以上都有可能
解析：选C．由符号语言知，直线l上有一点在平面α内，另一点在α外，故l与α相交．故选C．
3．若两个平面相互平行，则分别在这两个平面内的直线的位置关系是（
）
A．平行
B．异面
C．相交
D．平行或异面
解析：选D．如图：
4．如果一条直线与两个平行平面中的一个平行，那么这条直线与另一个平面的位置关系为（
）
A．平行
B．直线在平面内
C．相交或直线在平面内
D．平行或直线在平面内
解析：选D．若一条直线与两个平行平面中的一个平行，则这条直线与另一个平面平行或直线在平面内．
5．已知平面α∩β＝c，直线a∥α，a与β相交，则a与c的位置关系是________．
答案：异面
6．下列命题正确的是________．（填序号）
①若直线与平面有两个公共点，则直线在平面内；
②若直线l与平面α相交，则l与平面α内的任意直线都是异面直线；
③如果两条异面直线中的一条与一个平面平行，则另一条直线一定与该平面相交．
解析：①显然是正确的；②中，直线l和平面α内过l与α交点的直线都相交而不是异面，所以②是错误的；③中，异面直线中的另一条直线和该平面的关系不能具体确定，它们可以相交，可以平行，还可以在该平面内，所以③是错误的．
答案：①空间图形基本位置关系的认识
【学习目标】
能用符号语言描述空间中的点、直线、平面之间的位置关系.
【学习重难点】
点、线、面的位置关系.
【学习过程】
一、合作探究
1．图形、文字、符号语言的相互转化
例1：（1）用符号语言表示下面的语句，并画出图形．
平面ABD与平面BDC交于BD，平面ABC与平面ADC交于AC．
（2）将下面用符号语言表示的关系用文字语言予以叙述，并用图形语言予以表示．
α∩β＝l，A∈l，AB?α，AC?β.
2．空间两直线位置关系的判定
例2：如图，在长方体ABCD?A1B1C1D1中，判断下列直线的位置关系：
①直线A1B与直线D1C的位置关系是________；
②直线A1B与直线B1C的位置关系是________；
③直线D1D与直线D1C的位置关系是________；
④直线AB与直线B1C的位置关系是________．
3.直线与平面的位置关系
例3：下列命题：
①直线l平行于平面α内的无数条直线，则l∥α；
②若直线a在平面α外，则a∥α；
③若直线a∥b，直线b?α，则a∥α；
④若直线a∥b，b?α，那么直线a就平行于平面α内的无数条直线．
其中真命题的个数为（
）
A．1
B．2
C．3
D．4
4.平面与平面的位置关系
例4：已知在两个平面内分别有一条直线，并且这两条直线互相平行，那么这两个平面的位置关系一定是（
）
A．平行
B．相交
C．平行或相交
D．以上都不对
5.点、线、面位置关系图形的画法
例5：如图所示，G是正方体ABCD?A1B1C1D1的棱DD1延长线上的一点，E，F是棱AB，BC的中点，试分别画出过下列各点、直线的平面与正方体表面的交线．
（1）过点G及AC．
（2）过三点E，F，D1．
【学习小结】
1．点、线、面之间的关系及符号表示
A是点，l，m是直线，α，β是平面．
文字语言
符号语言
图形语言
A在l上
A∈l
A在l外
A?l
A在α内
A∈α
A在α外
A?α
l在α内
l?α
l在α外
l?α
l，m相交于A
l∩m＝A
l，α相交于A
l∩α＝A
α，β相交于l
α∩β＝l
2．空间中直线与平面的位置关系
位置关系
直线a在
平面α内
直线a在平面α外
直线a与平
面α相交
直线a与
平面α平行
公共点
无数个公共点
有且只有
一个公共点
没有公共点
符号表示
a?α
a∩α＝A
a∥α
图形表示
3．空间中平面与平面的位置关系
位置关系
两个平面平行
两个平面相交
公共点
没有公共点
有无数个公共点（在一条直线上）
符号表示
α∥β
α∩β＝l
图形表示
【精炼反馈】
1．不平行的两条直线的位置关系是（
）
A．相交
B．异面
C．平行
D．相交或异面
解析：选D．若两直线不平行，则直线可能相交，也可能异面．
2．若M∈l，N∈l，N?α，M∈α，则有（
）
A．l∥α
B．l?α
C．l与α相交
D．以上都有可能
解析：选C．由符号语言知，直线l上有一点在平面α内，另一点在α外，故l与α相交．故选C．
3．若两个平面相互平行，则分别在这两个平面内的直线的位置关系是（
）
A．平行
B．异面
C．相交
D．平行或异面
解析：选D．如图：
4．如果一条直线与两个平行平面中的一个平行，那么这条直线与另一个平面的位置关系为（
）
A．平行
B．直线在平面内
C．相交或直线在平面内
D．平行或直线在平面内
解析：选D．若一条直线与两个平行平面中的一个平行，则这条直线与另一个平面平行或直线在平面内．
5．已知平面α∩β＝c，直线a∥α，a与β相交，则a与c的位置关系是________．
答案：异面
6．下列命题正确的是________．（填序号）
①若直线与平面有两个公共点，则直线在平面内；
②若直线l与平面α相交，则l与平面α内的任意直线都是异面直线；
③如果两条异面直线中的一条与一个平面平行，则另一条直线一定与该平面相交．
解析：①显然是正确的；②中，直线l和平面α内过l与α交点的直线都相交而不是异面，所以②是错误的；③中，异面直线中的另一条直线和该平面的关系不能具体确定，它们可以相交，可以平行，还可以在该平面内，所以③是错误的．
答案：①
