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球的表面积和体积
自
主
预
习
探
新
知
1．与球相关的概念：
（1）球面被经过球心的平面截得的圆称为球的大圆，被不经过球心的平面截得的圆称为球的小圆.
（2）与圆和直线相切类似，当直线与球有唯一交点时，称直线与球相切，这一交点称为直线与球的切点.
（3）过球外一点所有切线的切线长都相等.
新知初探
4πR2
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作
探
究
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谢
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答案
解析答案球的表面积和体积
【学习目标】
【核心素养】
1．了解球的表面积和体积公式．
2．会用球的表面积和体积公式解决实际问题.
1．通过学习球的体积、表面积公式培养直观想象素养.
2．通过求球的表面积和体积提升数学运算素养.
【学习重难点】
1．了解球的表面积和体积公式．
2．会用球的表面积和体积公式解决实际问题.
【学习过程】
一、初试身手
1．如果两个球的体积之比为8∶27，那么这两个球的表面积之比为(
)
A．8∶27
B．2∶3
C．4∶9
D．2∶9
2．如图所示，圆柱的底面直径与高都等于球的直径，则球的表面积与圆柱的侧面积之比是(
)
A．3∶2
B．2∶3
C．1∶2
D．1∶1
3．将棱长为2的正方体木块削成一个体积最大的球，则该球的体积为(
)
A．
B．π
C．π
D．
4．用一个平面截半径为25
cm的球，截面圆的面积是225π
cm2，则球心到截面的距离为________
cm.
二、合作探究
1．球的体积与表面积
【例1】
（1）球的体积是，则此球的表面积是(
)
A．12π
B．16π
C．
D．
（2）若圆锥与球的体积相等，且圆锥底面半径与球的直径相等，则圆锥侧面积与球面面积之比是________．
2．球的表面积及体积的应用
【例2】
一个倒立的圆锥形容器，它的轴截面是正三角形．在此容器内注入水并且放入一个半径为r的铁球，这时水面恰好和球面相切，问将球从圆锥内取出后，圆锥内水面的高是多少？
[思路探究]
设出球未取出时的水面高度和取出后的水面高度，由水面下降后减少的体积来建立一个关系式解决．
【学习小结】
1．与球相关的概念：
（1）球面被经过球心的平面截得的圆称为球的大圆，被不经过球心的平面截得的圆称为球的小圆.
（2）与圆和直线相切类似，当直线与球有唯一交点时，称直线与球相切，这一交点称为直线与球的切点.
（3）过球外一点所有切线的切线长都相等.
2．球的表面积
球的半径为R，那么它的表面积S球＝4πR2．
3．球的体积
球的半径为R，那么它的体积V球＝πR3．
4．用一个平面截球所得截面的特征
（1）用一个平面去截球，截面是圆面．
（2）球心和截面圆心的连线垂直于截面．
（3）球心到截面的距离d与球的半径R以及截面的半径r，有下面的关系r＝.
【精炼反馈】
1．思考辨析
（1）球的表面积等于它的大圆面积的2倍．
(
)
（2）两个球的半径之比为1∶2，则其体积之比为1∶4．
(
)
（3）球心与其截面圆的圆心的连线垂直于截面．
(
)
2．若球的体积与其表面积数值相等，则球的半径等于(
)
A．
B．1
C．2
D．3
3．表面积为Q的多面体的每一个面都与表面积为64π的球相切，则这个多面体的体积为(
)
A．Q
B．Q
C．Q
D．2Q
4．某几何体的三视图如图所示(单位：m)：
（1）求该几何体的表面积(结果保留π)；
（2）求该几何体的体积(结果保留π)．球的表面积和体积
【教学目标】
【核心素养】
1．了解球的表面积和体积公式．
2．会用球的表面积和体积公式解决实际问题.
1．通过学习球的体积、表面积公式培养直观想象素养.
2．通过求球的表面积和体积提升数学运算素养.
【教学重难点】
1．了解球的表面积和体积公式．
2．会用球的表面积和体积公式解决实际问题.
【教学过程】
一、基础铺垫
1．与球相关的概念：
（1）球面被经过球心的平面截得的圆称为球的大圆，被不经过球心的平面截得的圆称为球的小圆.
（2）与圆和直线相切类似，当直线与球有唯一交点时，称直线与球相切，这一交点称为直线与球的切点.
（3）过球外一点所有切线的切线长都相等.
2．球的表面积
球的半径为R，那么它的表面积S球＝4πR2．
思考：球有底面吗？球面能展开成平面图形吗？
提示：球没有底面，球面不能展开成平面图形．
3．球的体积
球的半径为R，那么它的体积V球＝πR3．
二、合作探究
1．球的体积与表面积
【例1】
（1）球的体积是，则此球的表面积是(
)
A．12π
B．16π
C．
D．
（2）若圆锥与球的体积相等，且圆锥底面半径与球的直径相等，则圆锥侧面积与球面面积之比是________．
（1）B
（2）
[（1）πR3＝π，故R＝2，球的表面积为4πR2＝16π.
（2）设圆锥的底面半径为r，高为h，母线长为l，球的半径为R，则由题意得
∴π(2R)2·h＝πR3，∴R＝h，r＝2h，
∴l＝＝h，
∴S圆锥侧＝πrl＝π×2h×h＝2πh2，S球＝4πR2＝4πh2，
∴＝＝.]
【规律方法】
求球的体积与表面积的方法
?1?要求球的体积或表面积，必须知道半径R或者通过条件能求出半径R，然后代入体积或表面积公式求解.
?2?半径和球心是球的最关键要素，把握住了这两个要素，计算球的表面积或体积的相关题目也就易如反掌了.
2．球的表面积及体积的应用
【例2】
一个倒立的圆锥形容器，它的轴截面是正三角形．在此容器内注入水并且放入一个半径为r的铁球，这时水面恰好和球面相切，问将球从圆锥内取出后，圆锥内水面的高是多少？
[思路探究]
设出球未取出时的水面高度和取出后的水面高度，由水面下降后减少的体积来建立一个关系式解决．
[解]
设△PAB所在平面为轴截面，AB为水平面，设球未取出时，水面高PC＝h，球取出后水面高PH＝x，如图所示．
∵AC＝r，PC＝3r，
∴以AB为底面直径的圆锥的容积为
V圆锥＝πAC2·PC
＝π(r)2·3r＝3πr3，V球＝πr3．
球取出后水面下降到EF，水的体积为
V水＝πEH2·PH
＝π(PH·tan
30°)2·PH＝πx3．
而V水＝V圆锥－V球，
即πx3＝3πr3－πr3，∴x＝r.
故球取出后水面的高为r.
【规律方法】
1．画出截面图是解答本题的关键．
2．球的表面积和体积有着非常重要的应用．在具体问题中，要分清涉及的是体积问题还是表面积问题，然后再利用等量关系进行计算．
三、课堂总结
1．球的表面积和体积公式
设球的半径为R
（1）表面积公式：S＝4πR2．
（2）体积公式：V＝πR3．
2．用一个平面截球所得截面的特征
（1）用一个平面去截球，截面是圆面．
（2）球心和截面圆心的连线垂直于截面．
（3）球心到截面的距离d与球的半径R以及截面的半径r，有下面的关系r＝.
四、课堂练习
1．思考辨析
（1）球的表面积等于它的大圆面积的2倍．
(
)
（2）两个球的半径之比为1∶2，则其体积之比为1∶4．
(
)
（3）球心与其截面圆的圆心的连线垂直于截面．
(
)
[答案]
（1）×
（2）×
（3）√
2．若球的体积与其表面积数值相等，则球的半径等于(
)
A．
B．1
C．2
D．3
D
[由题设球半径为r，则4πr2＝πr3，可得r＝3，故选D．]
3．表面积为Q的多面体的每一个面都与表面积为64π的球相切，则这个多面体的体积为(
)
A．Q
B．Q
C．Q
D．2Q
C
[4πR2＝64π?R＝4，∴V＝QR＝Q，故选C．]
4．某几何体的三视图如图所示(单位：m)：
（1）求该几何体的表面积(结果保留π)；
（2）求该几何体的体积(结果保留π)．
[解]
由三视图可知，该几何体是一个四棱柱和一个半球构成的组合体，且半球的直径为2，该四棱柱为棱长为2的正方体．
（1）该几何体的表面积为
S＝2πR2＋6×2×2－π×R2＝π＋24(m2)．
（2）该几何体的体积为
V＝×πR3＋23＝π＋8(m3)．
