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同角三角函数的基本关系
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主
预
习
探
新
知
1
tanα
平方和
正切
合
作
探
究
提
素
养
类型一：利用同角基本关系式求值
类型三：综合应用
当
堂
达
标
固
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谢谢
答案
解析答案同角三角函数的基本关系
【学习目标】
1．理解同角三角函数的基本关系式：sin2α＋cos2α＝1，＝tan
α.
2．会利用这两个公式求三角函数式的值，化简三角函数式或证明三角恒等式．
【学习重难点】
同角三角函数的基本关系式及其应用.
【学习过程】
一、初试身手
1．已知sin
α＝－，α是第三象限角，则tan
α等于(
)
A．
B．－
C．
D．－
2．已知3sin
α＋cos
α＝0，则tan
α＝________.
3．已知sin
θ＝，cos
θ＝，则m＝________.
4．cos2x＝(
)
A．tan
x
B．sin
x
C．cos
x
D．
二、合作探究
1．利用同角基本关系式求值
【例1】
已知cos
α＝－，求sin
α，tan
α的值．
2．利用sin
α±cos
α，sin
α，cos
α之间的关系求值
【例2】
已知0<α<π，sin
α＋cos
α＝，求tan
α的值．
3．综合应用
[探究问题]
（1）平方关系对任意α∈R均成立，对吗？商数关系呢？
（2）证明三角恒等式常用哪些技巧？
（3）证明三角恒等式应遵循什么样的原则？
【例3】
（1）化简tan
α·，其中α是第二象限角；
（2）求证：＝.
【学习小结】
同角三角函数基本关系式
（1）关系式
①平方关系：sin2α＋cos2α＝__1__；
②商数关系：＝tan__α.
（2）文字叙述
同一个角α的正弦、余弦的平方和等于1，商等于角α的正切．
（3）变形形式
①1＝sin2α＋cos2α；
②sin2α＝1－cos2α；cos2α＝1－sin2α；
③sin
α＝±
；cos
α＝±
；
④sin
α＝cos
αtan
α；
⑤(sin
α±cos
α)2＝1±2sinα·cosα.
【精炼反馈】
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
（1）sin2α＋cos2β＝1．(
)
（2）对任意角α，＝tan
.(
)
（3）利用平方关系求sin
α或cos
α时，会得到正负两个值．(
)
（4）若sin
α＝，则cos
α＝.(
)
2．若sin
α＝，且α是第二象限角，则tan
α的值等于(
)
A．－
B．
C．±
D．±
3．已知角A是三角形的一个内角，sin
A＋cos
A＝，则这个三角形是(
)
A．锐角三角形
B．钝角三角形
C．直角三角形
D．等腰直角三角形
4．已知＝，求下列各式的值．
（1）；
（2）1－4sin
θcos
θ＋2cos2θ.同角三角函数的基本关系
【教学目标】
1．理解同角三角函数的基本关系式：sin2α＋cos2α＝1，＝tan
α.
2．会利用这两个公式求三角函数式的值，化简三角函数式或证明三角恒等式．
【教学重难点】
同角三角函数的基本关系式及其应用.
【教学过程】
一、基础铺垫
同角三角函数基本关系式
（1）关系式
①平方关系：sin2α＋cos2α＝__1__；
②商数关系：＝tan__α.
（2）文字叙述
同一个角α的正弦、余弦的平方和等于1，商等于角α的正切．
（3）变形形式
①1＝sin2α＋cos2α；
②sin2α＝1－cos2α；cos2α＝1－sin2α；
③sin
α＝±
；cos
α＝±
；
④sin
α＝cos
αtan
α；
⑤(sin
α±cos
α)2＝1±2sin_αcos__α.
思考：sin230°＋cos245°等于1吗？
有意义吗？
[提示]
不等于1，分母为0，无意义．
二、合作探究
1．利用同角基本关系式求值
【例1】
已知cos
α＝－，求sin
α，tan
α的值．
[解]
∵cos
α＝－<0，∴α是第二或第三象限的角．
如果α是第二象限角，那么
sin
α＝＝
＝，
tan
α＝＝＝－.
如果α是第三象限角，同理可得
sin
α＝－＝－，tan
α＝.
【规律方法】
已知角α的某一种三角函数值，求角α的其余三角函数值时，要注意公式的合理选择，一般是先选用平方关系，
再用商数关系.另外也要注意“1”的代换，如“1＝sin2α＋cos2α”.本题没有指出α是第几象限的角，则必须由cos
α的值推断出α所在的象限，再分类求解.
2．利用sin
α±cos
α，sin
α，cos
α之间的关系求值
【例2】
已知0<α<π，sin
α＋cos
α＝，求tan
α的值．
[解]
由sin
α＋cos
α＝，①
得sin
α·cos
α＝－<0，
又0<α<π，
∴sin
α>0，cos
α<0，则sin
α－cos
α>0，
∴sin
α－cos
α＝
＝
＝
＝，②
由①②解得sin
α＝，cos
α＝－，
∴tan
α＝＝－.
【规律方法】
sin
α＋cos
α，sin
α－cos
α，sin
αcos
α三个式子中，已知其中一个，可以求其他两个，即“知一求二”，它们之间的关系是：(sin
α±cos
α)2＝1±2sin
αcos
α，利用此关系求sin
α＋cos
α或sin
α－cos
α的值时，要注意判断它们的符号．
3．综合应用
[探究问题]
（1）平方关系对任意α∈R均成立，对吗？商数关系呢？
[提示]
平方关系中对任意α∈R均成立，而商数关系中α≠kπ＋(k∈Z)．
（2）证明三角恒等式常用哪些技巧？
[提示]
切弦互化，整体代换，“1”的代换．
（3）证明三角恒等式应遵循什么样的原则？
[提示]
由繁到简．
【例3】
（1）化简tan
α·，其中α是第二象限角；
（2）求证：＝.
[思路探究]
（1）先确定sin
α，cos
α的符号，结合平方关系和商数关系化简．
（2）逆用平方关系结合tan
α＝化简．
[解]
（1）因为α是第二象限角，
所以sin
α>0，cos
α<0.
故tan
α·＝tan
α·
＝tan
α
＝·＝·＝－1．
（2）证明：左边＝
＝
＝
＝＝右边．
所以原式成立．
【规律方法】
1．化简过程中常用的方法有：
（1）化切为弦，即把非正弦、余弦函数都化为正弦、余弦函数．从而减少函数名称，达到化简的目的．
（2）对于含有根号的，常把根号下化成完全平方式，然后去根号达到化简的目的．
（3）对于化简含高次的三角函数式，往往借助于因式分解，或构造sin2α＋cos2α＝1，以降低函数次数，达到化简的目的．
2．证明三角恒等式常用的方法有：
（1）从一边开始，证得它等于另一边；
（2）证明左右两边都等于同一个式子；
（3）变更论证，即通过化除为乘、左右相减等，转化成证明与其等价的等式．
三、课堂总结
1．“同角”有两层含义：一是“角相同”；二是“任意性”，即关系式恒成立，与角的表达形式无关．如：sin23α＋cos23α＝1等．
2．已知角α的一个三角函数值，求α的其他两个三角函数值时，要特别注意角所在的象限，以确定三角函数值的符号．
3．计算、化简或证明三角函数式时常用的技巧：
（1）“1”的代换．为了解题的需要，有时可以将1用“sin2α＋cos2α”代替．
（2）切化弦．利用商数关系把切函数化为弦函数．
（3）整体代换．将计算式适当变形使条件可以整体代入，或将条件适当变形找出与算式之间的关系.
四、课堂检测
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
（1）sin2α＋cos2β＝1．(
)
（2）对任意角α，＝tan
.(
)
（3）利用平方关系求sin
α或cos
α时，会得到正负两个值．(
)
（4）若sin
α＝，则cos
α＝.(
)
[答案]
（1）×
（2）×
（3）×
（4）×
2．若sin
α＝，且α是第二象限角，则tan
α的值等于(
)
A．－
B．
C．±
D．±
A
[α为第二象限角，sin
α＝，cos
α＝－，tan
α＝－.]
3．已知角A是三角形的一个内角，sin
A＋cos
A＝，则这个三角形是(
)
A．锐角三角形
B．钝角三角形
C．直角三角形
D．等腰直角三角形
B
[∵sin
A＋cos
A＝，
∴1＋2sin
Acos
A＝，
∴sin
Acos
A＝－<0，
又∵A∈(0，π)，sin
A>0，
∴cos
A<0，A为钝角．故选B．]
4．已知＝，求下列各式的值．
（1）；
（2）1－4sin
θcos
θ＋2cos2θ.
[解]
由已知＝，
∴＝，解得tan
θ＝2．
（1）原式＝＝＝1．
（2）原式＝sin2θ－4sin
θcos
θ＋3cos2θ
＝
＝
＝－.
