积化和差与和差化积公式
【教学目标】
1．能根据公式Sα±β和Cα±β进行恒等变换，推导出积化和差与和差化积公式．
2．了解三角变换在解数学问题时所起的作用，进一步体会三角变换的特点，提高推理、运算能力．
【教学重难点】
三角函数的积化和差与和差化积公式
【教学过程】
一、问题导入
两个三角函数的和、差、积是怎么进行运算的？可以用之前学过的公式进行推导吗？
二、合作探究
1．积化和差问题
【例1】（1）求值：sin
20°cos
70°＋sin
10°sin
50°.
（2）求值：sin
20°sin
40°sin
60°sin
80°.
[思路探究]
利用积化和差公式化简求值，注意角的变换，尽量出现特殊角．
[解]
（1）sin
20°cos
70°＋sin
10°sin
50°
＝(sin
90°－sin
50°)－(cos
60°－cos
40°)
＝－sin
50°＋cos
40°
＝－sin
50°＋sin
50°＝.
（2）原式＝cos
10°cos
30°cos
50°cos
70°
＝cos
10°cos
50°cos
70°
＝
＝cos
70°＋cos
40°cos
70°
＝cos
70°＋(cos
110°＋cos
30°)
＝cos
70°＋cos
110°＋＝.
【教师小结】积化和差公式的功能与关键
1功能：①把三角函数的一种形式积的形式转化为另一种形式和差的形式.
②将角度化为特殊角求值或化简，将函数式变形以研究其性质.
2关键是正确地选用公式，以便把非特殊角的三角函数相约或相消，从而化为特殊角的三角函数.
2．和差化积问题
【例2】已知cos
α－cos
β＝，sin
α－sin
β＝－，求sin(α＋β)的值．
[思路探究]利用和差化积公式，对所求式子进行变形，利用所给条件求解．
[解]
∵cos
α－cos
β＝，
∴－2sinsin＝.
①
又∵sin
α－sin
β＝－，
∴2cossin＝－.
②
∵sin≠0，
∴由①②，得－tan＝－，即tan＝.
∴sin(α＋β)＝
＝＝＝.
1．(变结论)本例中条件不变，试求cos(α＋β)的值．
[解]
因为cos
α－cos
β＝，
所以－2sin
sin
＝.
①
又因为sin
α－sin
β＝－，
所以2cos
sin
＝－.
②
因为sin
≠0，
所以由①②，得－tan
＝－，即tan
＝.
所以cos
(α＋β)＝
＝＝＝－.
2．(变条件)将本例中的条件“cos
α－cos
β＝，sin
α－sin
β＝－”变为“cos
α＋cos
β＝，sin
α＋sin
β＝－”，结果如何？
[解]
因为cos
α＋cos
β＝，
所以2cos
cos
＝.
①
又因为sin
α＋sin
β＝－，
所以2sin
cos
＝－.
②
所以cos
≠0，所以由①②，得tan
＝－，
所以sin
(α＋β)＝＝＝＝－.
【教师小结】和差化积公式应用时的注意事项：
1在应用和差化积公式时，必须是一次同名三角函数方可施行，若是异名，必须用诱导公式化为同名，若是高次函数，必须用降幂公式降为一次.
2根据实际问题选用公式时，应从以下几个方面考虑：
①运用公式之后，能否出现特殊角；
②运用公式之后，能否提取公因式，能否约分，能否合并或消项.
3为了能够把三角函数式化为积的形式，有时需要把某些常数当作三角函数值才能应用公式，如－cos
α＝cos－cos
α.
3．公式的综合应用
[探究问题]
（1）解决与三角形有关问题时应注意哪些隐含条件的应用？
[提示]
注意三角形中的隐含条件的应用，如A＋B＋C＝π，a＋b>c等．
（2）在△ABC中有哪些重要的三角关系？
[提示]
在△ABC中的三角关系：
sin(A＋B)＝sin
C，cos(A＋B)＝－cos
C，
sin＝cos，cos＝sin，
sin(2A＋2B)＝－sin
2C，cos(2A＋2B)＝cos
2C．
【例3】在△ABC中，求证：sin
A＋sin
B－sin
C
＝4sinsincos.
[思路探究]
利用和差化积进行转化，转化时要注意A＋B＋C＝π.
[解]
左边＝sin(B＋C)＋2sin·cos
＝2sincos＋2sincos
＝2cos
＝4sinsincos＝右边，∴原等式成立．
【教师小结】证明三角恒等式的基本思路是根据等式两端特征，通过三角恒等变换，应用化繁为简、左右归一、变更论证等方法，使等式两端的“异”化为“同”，分式不好证时，可变形为整式来证.
三、课堂总结
1．公式的记忆
和差化积公式记忆口诀：
“正和正在前，正差正后迁；余和一色余，余差翻了天．”
(正代表sin
α，余代表cos
α)
2．公式的应用
注意公式的应用条件、各种三角恒等变换公式以及公式之间的相互推导．
四、课堂检测
1．sin
75°－sin
15°的值为(
)
A．
B．
C．
D．－
B
[sin
75°－sin
15＝2cossin＝2××＝.故选B．]
2．函数y＝sincos
x的最大值为(
)
A．
B．
C．1
D．
B
[∵y＝sincos
x＝
＝＝sin－.
∴函数y的取最大值为.]
3．已知sin(α＋β)＝，sin(α－β)＝，则sin
αcos
β＝________.
[sin
αcos
β＝sin(α＋β)＋sin(α－β)＝×＋×＝.]
4．化简下列各式：
（1）；
（2）.
[解]
（1）原式＝
＝＝＝tan
.
（2）原式＝
＝
＝＝.(共40张PPT)
积化和差与和差化积公式
自
主
预
习
探
新
知
合
作
探
究
提
素
养
类型一：积化和差问题
类型二：和差化积问题
当
堂
达
标
固
双
基
谢
谢
答案
解析答案积化和差与和差化积公式
【学习目标】
1．能根据公式Sα±β和Cα±β进行恒等变换，推导出积化和差与和差化积公式．
2．了解三角变换在解数学问题时所起的作用，进一步体会三角变换的特点，提高推理、运算能力．
【学习重难点】
三角函数的积化和差与和差化积公式
【学习过程】
一、初试身手
1．计算sin
105°cos
75°的值是(
)
A．
B．
C．－
D．－
2．sincos化成和差的形式为(
)
A．sin＋cos
B．cos＋sin
C．sin＋sin
D．cos＋cos
3．下列等式正确的是(
)
A．sin
x＋sin
y＝2sin
sin
B．sin
x－sin
y＝2cos
cos
C．cos
x＋cos
y＝2cos
cos
D．cos
x－cos
y＝2sin
sin
二、合作探究
1．积化和差问题
【例1】
（1）求值：sin
20°cos
70°＋sin
10°sin
50°.
（2）求值：sin
20°sin
40°sin
60°sin
80°.
[思路探究]
利用积化和差公式化简求值，注意角的变换，尽量出现特殊角．
2．和差化积问题
【例2】
已知cos
α－cos
β＝，sin
α－sin
β＝－，求sin(α＋β)的值．
[思路探究]
利用和差化积公式，对所求式子进行变形，利用所给条件求解．
3．公式的综合应用
[探究问题]
（1）解决与三角形有关问题时应注意哪些隐含条件的应用？
[提示]
注意三角形中的隐含条件的应用，如A＋B＋C＝π，a＋b>c等．
（2）在△ABC中有哪些重要的三角关系？
[提示]
在△ABC中的三角关系：
sin(A＋B)＝sin
C，cos(A＋B)＝－cos
C，
sin＝cos，cos＝sin，
sin(2A＋2B)＝－sin
2C，cos(2A＋2B)＝cos
2C．
【例3】
在△ABC中，求证：sin
A＋sin
B－sin
C
＝4sinsincos.
[思路探究]
利用和差化积进行转化，转化时要注意A＋B＋C＝π.
【学习小结】
1．积化和差公式
cos
αcos
β＝[cos(α＋β)＋cos(α－β)]；
sin
αsin
β＝－[cos(α＋β)－cos(α－β)]；
sin
αcos
β＝[sin(α＋β)＋sin(α－β)]；
cos
αsin
β＝[sin(α＋β)－sin(α－β)]．
2．和差化积公式
设α＋β＝x，α－β＝y，则α＝，β＝.这样，上面的四个式子可以写成，
sin
x＋sin
y＝2sin
cos
；
sin
x－sin
y＝2cos
sin
；
cos
x＋cos
y＝2cos
cos
；
cos
x－cos
y＝－2sin
sin
.
【精炼反馈】
1．sin
75°－sin
15°的值为(
)
A．
B．
C．
D．－
2．函数y＝sincos
x的最大值为(
)
A．
B．
C．1
D．
3．已知sin(α＋β)＝，sin(α－β)＝，则sin
αcos
β＝________.
4．化简下列各式：
（1）；
（2）.
