半角公式
【学习目标】
1．了解由二倍角的变形公式推导半角的正弦、余弦和正切公式的过程．
2．掌握半角的正弦、余弦和正切公式，能正确运用这些公式进行简单的三角函数式的化简、求值和恒等式的证明．
【学习重难点】
掌握半角的正弦、余弦和正切公式.
【学习过程】
一、初试身手
1．若cos
α＝，α∈(0，π)，则cos
的值为(
)
A．
B．－
C．
D．－
2．下列各式与tan
α相等的是(
)
A．
B．
C．
D．
3．设α∈(π，2π)，则等于________．
二、合作探究
1．化简问题
【例1】
已知π<α<，求＋
的值．
[思路探究]
解答本题可先用二倍角公式“升幂”，再根据的范围开方化筒．
[解]
原式＝＋
∵π<α<，∴<<，∴cos
<0，sin
>0.
∴原式＝＋
＝－＋＝－cos
.
2．求值问题
【例2】
已知|cos
θ|＝，且<θ<3π，求sin
，cos
，tan
的值．
[思路探究]
―→
―→―→求
[解]
由<θ<3π，且|cos
θ|＝可知，
cos
θ＝－，∈.
由sin2＝＝＝得，
sin
＝－＝－.
由cos2＝＝＝得，
cos
＝－.
∴tan
＝＝＝2．
3．三角恒等式的证明
【例3】
（1）求证：1＋2cos2θ－cos
2θ＝2；
（2）求证：＝.
[思路探究]
（1）可由左向右证：先把左边cos2
θ降幂化为同角后整理可证．
（2）可先从左边表达式分母中升幂缩角入手，再通过改变函数结构向右边转化．
[解]
（1）左边＝1＋2×－cos
2θ＝2＝右边．
所以原等式成立．
（2）左边＝
＝＝＝＝＝＝右边．
所以原等式成立．
【学习小结】
半角公式
sin＝±，cos＝±，
tan＝±＝＝.
【精炼反馈】
1．已知cos
α＝，α∈，则sin
等于(
)
A．
B．－
C．
D．
A
[由题知∈，
∴sin
>0，sin
＝＝.]
2．已知sin
α－cos
α＝－，则sin
2α的值等于(
)
A．
B．－
C．－
D．
C
[由sin
α－cos
α＝－，(sin
α－cos
α)2＝1－2sin
α·cos
α＝1－sin
2α＝，所以sin
2α＝－.]
3．函数y＝sin
2x＋cos2x的最小正周期为________．
π
[∵y＝sin
2x＋cos2x＝sin
2x＋cos
2x＋＝sin＋，∴函数的最小正周期T＝＝π.]
4．求证：＝.
[证明]
原式可变形为
1＋sin
4θ－cos
4θ＝tan
2θ(1＋sin
4θ＋cos
4θ)，
①
①式右边＝(1＋2cos22θ－1＋2sin
2θcos
2θ)
＝(2cos22θ＋2sin
2θcos
2θ)＝2sin
2θ(cos2θ＋sin2θ)
＝2sin
2θcos2θ＋2sin22θ＝sin4θ＋1－cos4θ＝左边．
∴①式成立，即原式得证．
＝.(共33张PPT)
半角公式
自
主
预
习
探
新
知
合
作
探
究
提
素
养
类型一：化简问题
类型二：求值问题
当
堂
达
标
固
双
基
谢
谢
答案
解析答案半角公式
【教学目标】
1．了解由二倍角的变形公式推导半角的正弦、余弦和正切公式的过程．
2．掌握半角的正弦、余弦和正切公式，能正确运用这些公式进行简单的三角函数式的化简、求值和恒等式的证明．
【教学重难点】
掌握半角的正弦、余弦和正切公式.
【教学过程】
一、直接导入
前面我们学习了两角和与差的正弦、余弦、正切公式，倍角公式，以及它们的一些应用，初步感受到了这些三角恒等变换在研究三角函数性质中的重要性.这里我们将继续学习前面所学公式的应用.
二、新知探究
1．化简问题
【例1】已知π<α<，求＋
的值．
[思路探究]
解答本题可先用二倍角公式“升幂”，再根据的范围开方化筒．
[解]
原式＝＋
∵π<α<，∴<<，∴cos
<0，sin
>0.
∴原式＝＋
＝－＋＝－cos
.
【教师小结】要熟记一些可用公式的形式，如：1＋cos
α＝2sin2，1－cos
α＝2cos2，1±sin
α＝等，解题时应有意识地将这些形式变形寻求思路．
2．求值问题
【例2】已知|cos
θ|＝，且<θ<3π，求sin
，cos
，tan
的值．
[思路探究]
―→
―→―→求
[解]
由<θ<3π，且|cos
θ|＝可知，
cos
θ＝－，∈.
由sin2＝＝＝得，
sin
＝－＝－.
由cos2＝＝＝得，
cos
＝－.
∴tan
＝＝＝2．
【教师小结】已知θ的某三角函数值，求的相应三角函数值时，常借助于半角公式sin2＝，cos2＝，tan
＝＝来处理，由于上述式子中可能涉及解的不定性，故在求解中应注意求的范围.
3．三角恒等式的证明
【例3】（1）求证：1＋2cos2θ－cos
2θ＝2；
（2）求证：＝.
[思路探究]（1）可由左向右证：先把左边cos2
θ降幂化为同角后整理可证．
（2）可先从左边表达式分母中升幂缩角入手，再通过改变函数结构向右边转化．
[解]（1）左边＝1＋2×－cos
2θ＝2＝右边．
所以原等式成立．
（2）左边＝
＝＝＝＝＝＝右边．
所以原等式成立．
【教师小结】三角恒等式证明的五种常用方法：
1执因索果法：证明的形式一般化繁为简.
2左右归一法：证明左右两边都等于同一个式子.
3拼凑法：针对题设和结论之间的差异，有针对性地变形，以消除它们之间的差异，简言之，即化异求同.
4比较法：设法证明“左边－右边＝0”或“左边/右边＝1”.
5分析法：从被证明的等式出发，逐步探求使等式成立的条件，一直到已知条件或明显的事实为止，就可以断定原等式成立.
三、课堂总结
常用的三角恒等变换思想方法
(1)常值代换
用某些三角函数值或三角函数式来代替三角函数式中的某些常数，使之代换后能运用相关公式，化简得以顺利进行．我们把这种代换称为常值代换．
(2)切化弦
当待化简式中既含有正弦、余弦，又含有正切，利用同角的基本三角函数关系式tan
α＝，将正切化为正弦和余弦，这就是“切化弦”的思想方法，切化弦的好处在于减少了三角函数名称．
(3)降幂与升幂
由C2α变形后得到公式：sin2α＝(1－cos
2α)，cos2α＝(1＋cos
2α)，运用它就是降幂．反过来，直接运用倍角公式或变形公式1＋cos
2α＝2cos2α，1－cos
2α＝2sin2α，就是升幂．
(4)角的变换
角的变换沟通了已知角与未知角之间的联系，使公式顺利运用，解题过程被简化．常见的角的变换有：α＝(α＋β)－β，α＝β－(β－α)，α＝[(α＋β)＋(α－β)]，α＝[(α＋β)－(β－α)]，α＋β＝(2α＋β)－α等.
四、课堂检测
1．已知cos
α＝，α∈，则sin
等于(
)
A．
B．－
C．
D．
A
[由题知∈，
∴sin
>0，sin
＝＝.]
2．已知sin
α－cos
α＝－，则sin
2α的值等于(
)
A．
B．－
C．－
D．
C
[由sin
α－cos
α＝－，(sin
α－cos
α)2＝1－2sin
α·cos
α＝1－sin
2α＝，所以sin
2α＝－.]
3．函数y＝sin
2x＋cos2x的最小正周期为________．
π
[∵y＝sin
2x＋cos2x＝sin
2x＋cos
2x＋＝sin＋，∴函数的最小正周期T＝＝π.]
4．求证：＝.
[证明]
原式可变形为
1＋sin
4θ－cos
4θ＝tan
2θ(1＋sin
4θ＋cos
4θ)，
①
①式右边＝(1＋2cos22θ－1＋2sin
2θcos
2θ)
＝(2cos22θ＋2sin
2θcos
2θ)＝2sin
2θ(cos2θ＋sin2θ)
＝2sin
2θcos2θ＋2sin22θ＝sin4θ＋1－cos4θ＝左边．
∴①式成立，即原式得证．
