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复数的几何意义
自
主
预
习
探
新
知
复平面
虚轴
实轴
Z(a，b)
模
相等
互为相反数
共轭
合
作
探
究
提
素
养
类型一：复数与复平面内点的关系
类型二：复数与平面向量的关系
类型三：复数的模
当
堂
达
标
固
双
基
谢
谢
多
答案复数的几何意义
【学习目标】
【核心素养】
1．理解复平面、实轴、虚轴等概念．（易混点）
2．掌握复数的几何意义，并能适当应用．（重点、易混点）
3．掌握复数模的定义及求模公式.
通过复数的几何意义的学习，提升学生的直观想象、逻辑推理素养.
【学习过程】
一、预习提问
复数如何用坐标进行表示？复数与平面向量之间有何关系？
二、合作探究
1.复数与复平面内点的关系
【例1】（1）复数所对应的点在（
）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
（2）已知复数在复平面内的对应点位于第二象限，则点所成的平面区域是（
）
（3）复数和在复平面内的对应点关于（
）
A．实轴对称
B．一、三象限的角平分线对称
C．虚轴对称
D．二、四象限的角平分线对称
2.复数与平面向量的关系
【例2】（1）向量对应的复数是，向量对应的复数是，则对应的复数是（
）
A．
B．
C．0
D．
（2）复数与分别表示向量与，则向量表示的复数是________．
3.复数的模
[探究问题]
（1）复平面内的虚轴的单位长度是1，还是i？
（2）若复数在复平面内对应的点P在第四象限，则a满足什么条件？
【例3】（1）已知复数z的实部为1，且，则复数z的虚部是（
）
A．
B.
C．
D．
（2）求复数及的模，并比较它们模的大小．
【学习小结】
（一）复平面
1.建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面．
2.在复平面内，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴．
3.x轴的单位是1，y轴的单位是i.实轴与虚轴的交点叫做原点，原点(0,0)对应复数0.
（二）复数的几何意义
1．复数一一对应复平面内的点．
2．复数一一对应平面向量.
（三）复数的模、共轭复数
1．设，则向量的长度叫做复数的模（或绝对值），记作，且.
2．如果两个复数的实部相等，而虚部互为相反数，则这两个复数叫做互为共轭复数．复数z的共轭复数
【精炼反馈】
1．复数（i是虚数单位）在复平面上对应的点位于（
）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
2．已知复数，则复数的模是（
）
A．5
B．8
C．6
D.
3．复数在复平面内的对应点在第四象限，则实数x的取值范围是________．
4．已知复数的模是，则点的轨迹方程是________．
5．已知复数z满足，求复数z.复数的几何意义
教学目标
核心素养
1．理解复平面、实轴、虚轴等概念．（易混点）
2．掌握复数的几何意义，并能适当应用．（重点、易混点）
3．掌握复数模的定义及求模公式.
通过复数的几何意义的学习，提升学生的直观想象、逻辑推理素养.
【教学过程】
一、问题导入
我们知道，实数与数轴上的点一一对应，也就是说，数轴可以看成实数的一个几何模型。那么，能否为复数找一个几何模型呢？怎样建立起复数与几何模型中点的一一对应关系？
二、新知探究
1.复数与复平面内点的关系
【例1】（1）复数所对应的点在（
）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
（2）已知复数在复平面内的对应点位于第二象限，则点所成的平面区域是（
）
（3）复数和在复平面内的对应点关于（
）
A．实轴对称
B．一、三象限的角平分线对称
C．虚轴对称
D．二、四象限的角平分线对称
[解析]（1）由复数的几何意义知对应复平面中的点为，而是第二象限中的点，故选B.
（2）由题意，得，即，故点所成的平面区域为A项中的阴影部分．
（3）复数在复平面内的对应点为．
复数在复平面内的对应点为．
点与关于实轴对称，故选A.
[答案]（1）B
（2）A
（3）A
【教师小结】解答此类问题的一般思路：
1．首先确定复数的实部与虚部，从而确定复数对应点的横、纵坐标．
2．根据已知条件，确定实部与虚部满足的关系．
3.复数与平面向量的关系
【例2】（1）向量对应的复数是，向量对应的复数是，则对应的复数是（
）
A．
B．
C．0
D．
（2）复数与分别表示向量与，则向量表示的复数是________．
[思路探究]（1）先写出向量，的坐标，再求出的坐标．
（2）利用，求出向量的坐标，从而确定表示的复数．
[解析]（1）因为向量对应的复数是，向量对应的复数是，所以，，所以，所以对应的复数是0.
（2）因为复数与分别表示向量与，所以，，又，所以向量表示的复数是.
[答案]（1）C
（2）
上例（2）中的条件不变，试求向量表示的复数．
[解]由上例（2）的解析知，
，所以向量表示的复数是.
【教师小结】解答此类题目的一般思路是先写出向量或点的坐标，再根据向量的运算求出所求向量的坐标，从而求出向量所表示的复数．
3.复数的模
[探究问题]
1．复平面内的虚轴的单位长度是1，还是i？
提示：复平面内的虚轴上的单位长度是1，而不是i.
2．若复数在复平面内对应的点P在第四象限，则a满足什么条件？
提示：a满足，即．
【例3】（1）已知复数z的实部为1，且，则复数z的虚部是（
）
A．
B.
C．
D．
（2）求复数及的模，并比较它们模的大小．
[思路探究]（1）设出复数z的虚部，由模的公式建立方程求解．
（2）用求模的公式直接计算．
（1）[解析]设复数z的虚部为b，，实部为1，，，选D.
[答案]D
（2）解：因为，，
所以，
.
因为，
所以.
【教师小结】
1．计算复数的模时，应先找出复数的实部和虚部，再利用复数模的公式进行计算．
2．两个复数不能比较大小，但它们的模可以比较大小．
三、课堂总结
（一）复平面
1.建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面．
2.在复平面内，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴．
3.x轴的单位是1，y轴的单位是i.实轴与虚轴的交点叫做原点，原点(0,0)对应复数0.
（二）复数的几何意义
1．复数一一对应复平面内的点．
2．复数一一对应平面向量.
（三）复数的模、共轭复数
1．设，则向量的长度叫做复数的模（或绝对值），记作，且.
2．如果两个复数的实部相等，而虚部互为相反数，则这两个复数叫做互为共轭复数．复数z的共轭复数
四、课堂检测
1．复数（i是虚数单位）在复平面上对应的点位于（
）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
[解析]由,得复数（i是虚数单位）在复平面上对应的点位于第二象限．
[答案]B
2．已知复数，则复数的模是（
）
A．5
B．8
C．6
D.
[解析].
[答案]D
3．复数在复平面内的对应点在第四象限，则实数x的取值范围是________．
[解析]复数z在复平面内对应的点在第四象限，
，解得.
[答案]
4．已知复数的模是，则点的轨迹方程是________．
[解析]，
，
.
[答案]
5．已知复数z满足，求复数z.
[解]设，
则，
代入方程得，，
，
解得，
.
