复数的乘法与除法
【学习目标】
【核心素养】
1．理解复数的乘除运算法则.
2．会进行复数的乘除运算．（重点）
3．掌握虚数单位“i”的幂值的周期性，并能应用周期性进行化简与计算．（难点）
4．掌握共轭复数的运算性质．（易混点）
通过复数的乘法、除法运算法则及运算性质的学习，提升学生的数学运算、逻辑推理素养.
【学习过程】
一、初试身手
1．复数（i为虚数单位）的共轭复数是（
）
A．
B．
C．
D．
2．已知复数（i为虚数单位），复数的虚部为2，且是实数，则________.
3．若复数z满足，其中i是虚数单位，则z的实部为________．
二、合作探究
1.复数代数形式的乘法运算
【例1】（1）已知，i是虚数单位．若与互为共轭复数，则（
）
A．
B．
C．
D．
（2）复数的共轭复数等于（
）
A．
B．
C．
D．
（3）i是虚数单位，复数__________.
2.复数代数形式的除法运算
【例2】（1）（
）
A．
B．
C．
D．
（2）i是虚数单位，复数（
）
A．
B．
C.
D．
3.的周期性及应用
[探究问题]
（1）与i是否相等？
（2）的值为多少？
【例3】计算.
【学习小结】
（一）复数的乘法及其运算律
1．定义
.
2．运算律
对任意，有
交换律
结合律
乘法对加法的分配律
3．两个共轭复数的乘积等于这个复数（或其共轭复数）模的平方．
4．；；；．
（二）复数的除法法则
1．已知，如果存在一个复数，使，则叫做z的倒数，记作，则且.
2．复数的除法法则
设，，
.
【精炼反馈】
1．已知i是虚数单位，则（
）
A．
B．
C．
D．
2．在复平面内，复数（i为虚数单位）的共轭复数对应的点位于（
）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
3．若（i为虚数单位，），则________.
4．设，，且为纯虚数，则实数a的值为________．
5．计算：
（1）；（2）；
（3）.(共35张PPT)
复数的乘法与除法
自
主
预
习
探
新
知
(ac－bd)＋(ad＋bc)i
模的平方
i
－1
－i
1
倒数
1
合
作
探
究
提
素
养
类型一：复数代数形式的乘法运算
类型二：复数代数形式的除法运算
类型三：in的周期性及应用
当
堂
达
标
固
双
基
谢
谢
答案复数的乘法与除法
【教学目标】
【核心素养】
1．理解复数的乘除运算法则.
2．会进行复数的乘除运算．（重点）
3．掌握虚数单位“i”的幂值的周期性，并能应用周期性进行化简与计算．（难点）
4．掌握共轭复数的运算性质．（易混点）
通过复数的乘法、除法运算法则及运算性质的学习，提升学生的数学运算、逻辑推理素养.
【教学过程】
一、问题导入
我们知道，两个实数的乘法对加法来说满足分配律，即时，有
，
而且，实数的正整数次幂满足
，，，
其中m，n均为正整数.那么，复数的乘法应该如何规定，才能使得类似的运算法则仍成立呢？
二、新知探究
1.复数代数形式的乘法运算
【例1】（1）已知，i是虚数单位．若与互为共轭复数，则（
）
A．
B．
C．
D．
（2）复数的共轭复数等于（
）
A．
B．
C．
D．
（3）i是虚数单位，复数__________.
[解析]（1）由题意知，，，.
（2）.
.故选C.
（3）.
[答案]（1）D
（2）C
（3）
【教师小结】
（1）两个复数代数形式乘法的一般方法
首先按多项式的乘法展开；再将换成；然后再进行复数的加、减运算，化简为复数的代数形式．
（2）常用公式
（1）；
（2）；
（3）.
2.复数代数形式的除法运算
【例2】（1）（
）
A．
B．
C．
D．
（2）i是虚数单位，复数（
）
A．
B．
C.
D．
[解析]（1）法一：.故选D.
法二：．
（2），故选A.
[答案]（1）D
（2）A
【教师小结】
（一）两个复数代数形式的除法运算步骤
（1）首先将除式写为分式；
（2）再将分子、分母同乘以分母的共轭复数；
（3）然后将分子、分母分别进行乘法运算，并将其化为复数的代数形式．
（二）常用公式
（1）；（2）；（3）.
3.的周期性及应用
[探究问题]
（1）与i是否相等？
提示：，相等．
（2）的值为多少？
提示：.
【例3】计算.
[思路探究]本题中需求多个和的值，求解时可考虑利用等比数列求和公式及的周期性化简；也可利用化简．
[解]法一：
原式.
法二：，
，
三、课堂总结
（一）复数的乘法及其运算律
1．定义
.
2．运算律
对任意，有
交换律
结合律
乘法对加法的分配律
3．两个共轭复数的乘积等于这个复数(或其共轭复数)模的平方．
4．；；；．
（二）复数的除法法则
1．已知，如果存在一个复数，使，则叫做z的倒数，记作，则且.
2．复数的除法法则
设，，
.
