个性化教学辅导教案
学生姓名
年
级
五年级
学
科
数学
上课时间
教师姓名
课
题
第7讲
长方体（二）
教学目标
知识与技能：通过对长方体和立方体体积计算的学习，掌握应用公式计算长方体和立方体体积的方法．
情感态度与价值观：要使学生体验数学的科学价值观，培养学生善于观察、勇于探索的良好习惯和严谨的科学态度，同时能利用长方体和立方体体积的计算方法解决一些简单的实际问题．
教学过程
教师活动
学生活动
1.长方体或正方体（
）叫做它的表面积．
2.一种无盖的长方体水桶，长是5分米，宽是4分米，高是6分米，做这样一对水桶，至少需要铁皮多少平方分米？（接口处忽略不计）
3.如果一个长方体正好可以切成两个棱长为3cm的正方体，这个长方体的表面积是多少？
4.一个长方体，长5分米，宽3分米，高4分米，求它的所有棱长的和．
知识点一：容积与体积基本概念?
一个体积为120立方厘米的长方体，长是6厘米，宽是5厘米，那么长方体的表面积是多少？
知识点二：单位换算?
1200毫升=（
）立方厘米??
1．24立方米=（
）升=（
）毫升???
50立方米=（
）升
100立方厘米=（
）升
知识点三：体积大小的比较?
1、有一个正方体水箱，从里面量棱长是5，如果把这一满水箱的水倒入一个长8、宽7、深2.5的长方体水池内，是否可以装下？
2、一个包装盒，如果从里面量长2.8，宽2，体积为11.76．妈妈想用它包装一件长2.5，宽1.6，高2的玻璃器皿，是否可以装下？这个玻璃器皿的表面积是多少？
知识点四、切割组合对体积的影响?
1、如果把一个长方体切割成两个小长方体，表面积的总和比原来表面积（ ）
A.增加
B.减少???
C.不变
2、把一个长方体切割成两个小长方体，体积（ ），表面积（ ）
A.变大???
B.变小???
C.不变
知识点一、容积与体积基本概念?
1．体积是指所占空间的大小；容积是指所容纳物体的体积；一个物体的容积一般都比它的体积小．当容器壁厚度忽略不计时：体积=容积；否则体积<容积．?
比如说，一个洗发液的瓶子里面所能装下的洗发液的体积就是它的容积．（容器壁忽略不计）?
2．体积计算方法：?长方体的体积=长×宽×高??????????
正方体的体积=棱长×棱长×棱长
长方体和正方体的体积=底面积×高=右面面积×长=前面面积×宽?
3．体积相等的两个长方体或者一个长方体与一个正方体，表面积不一定相等，棱长和也不一定相等．?
4．体积相等的两个正方体，表面积一定相等，棱长和也一定相等．?
5．体积相等的情况下正方体的表面积比长方体的小；表面积相等的情况下正方体的体积比长方体的体积大．
例题精讲：
【例1】一个长方体框架长8厘米，宽6厘米，高4厘米，做这个框架共要（
）厘米铁丝，是求长方体（
），在表面贴上塑料板，共要（
）塑料板是求（
），在里面能盛（
）升水是?求（
），这个盒子有（
）立方米是求（
）．?
【例2】表面积相等的长方体和正方体的体积相比，（
）．?????
?①正方体体积大??
②长方体体积大?
?③相等?
【例3】一个长方体的沙坑装满沙子，这个沙坑长3米，宽1.5米，深2米，每立方米沙子重1400千克，这个沙坑里共装沙子多少吨？?????
【例4】一个长方形的底面是一个周长为16分米的正方形，它的表面积是96平方分米，则长方体体积是多少？????
变式训练：
1．长方体的长是6厘米，宽是4厘米，高是2厘米，它的棱长总和是?（
）厘米，六个面中最大的面积是（
）平方厘米，表面积是（
）平方厘米，体积是（
?）立方厘米．
2．将一个正方体钢坯锻造成长方体，正方体和长方体（?
）．?
??①体积相等，表面积不相等?
?②体积和表面积都不相等??
③表面积相等，体积不相等
3．有一块面积为96平方分米的铁皮，将其制作成可以容纳最多物体的形状，其棱长是多少？可以容纳多少立方分米的物体？??????
4．一个长方体，其中三个面的面积分别是15平方厘米，20平方厘米，12平方厘米，这个长方体的体积是多少立方厘米？
知识点二、单位换算?
1．长度单位：????相邻两个单位进率为10?
2．面积单位：?相邻两个单位进率为100?
3．体积单位：?相邻两个单位进率为1000?
4．容积单位：相邻两个单位进率为1000?特别的：?；?；??．
5．不是同一类型的单位，数据不能比较大小，同一类型的单位中右边的单位比左边的单位大．?大单位化小单位乘以进率，小单位化大单位除以进率．?????
例题精讲：
【例1】单位换算
32立方厘米=（
?）立方分米?
??
??3.06升=（
）升（?
）毫升
0.85升＝（
）毫升?
4.25立方米=（
）立方分米=（
?）升??
2.7立方米=（?
）升????
2100毫升＝（
）立方厘米＝（
?）立方分米?
【例2】一个水池能装水400立方米，这是指（
?），占地2公顷指的是（
?）．????
变式训练：
1．单位换算
40立方米＝（
）立方分米?
?
0.3升＝（
）毫升＝?（
）立方厘米
30立方分米＝（
?）立方米
?4立方分米5立方厘米＝（?
?）立方分米?
2．一块橡皮擦的体积约是8(?
??)；?一支钢笔长18(??
??)；一台录音机的体积约是20(??
???)．
知识点三、体积大小的比较?
1．对于液体可以直接比较体积的大小，如果液体体积小于容器既可以装得下，如果大于容器体积则装不下．?
2．对于固体而言，在体积小于容器体积的前提下，还需要比较物体的长宽高于容器的长宽高，只有物体的长宽高都小于或等于容器的长宽高时才可以将物体装入容器．?
例题精讲：
【例1】有一个长为8分米，高位5分米，体积为240平方分米的硬纸盒，有一件陶瓷长为7．4分米，高位4分米，宽为6．5分米，是否可以放入该容器？?
?
变式训练：
1．有一个长方形玻璃鱼缸长为5分米，宽为3分米，高为3分米里面装有2．5分米高的水，现在需要将该该鱼缸内的水倒入一个棱长为3．5分米的正方体鱼缸中，请问是否可以装得下这么多水？如果装得下正方体鱼缸内的水有多高？?????
知识点四、切割组合对体积的影响?
1．将一个长方体或正方体任意的切割，切开后各部分的体积之和都等于原来长方体的体积．?将几个长方体或正方体随机的组合，组合起来后的立体图形的体积都等于原来各部分的体积之和．?也即切割和组合不会改变原来各部分的体积，只是各部分体积的相加．?
根据切割组合对表面的影响来确定体积的变化．?
例题精讲：
【例1】将一块体积为30立方米的石头，切割成相同大小的石块刚好可以切出10块，每块石头的体积是多少？
??
【例2】把一个正方体木块截成两个相同的长方体后，表面积增加了32平方分米，原来正方体的表面积是（
）平方分米，体积是（
）立方分米．?
变式训练：
1．将棱长为5厘米的20块小正方体拼成一个长方体，其体积最大是多少？??????
2．一个长方体，如果高增加3厘米，就成为一个正方体．这时表面积比原来增加了96平方厘米．原来的长方体的体积是多少立方厘米？???
3．一个长方体正好可以分成三个完全一样的正方体，如果切割下一个正方体，剩下的表面积比原来少了36平方厘米，求原来长方体的表面积是多少？
知识点五、砌墙类问题?
例题精讲：
【例1】养殖场需要砌一堵长为30米，宽为24厘米，高位2．5米得墙，需要用长为30厘米，宽为15厘米，厚为5厘米的砖大约多少块？?
变式训练：
1．一块钢材体积为2．7立方米，现在将其融化后重新铸成长为1米，底面积为225平方厘米的钢锭，一共可以铸多少块？??
知识点六、不规则物体体积计算方法?
不规则物体的体积由于无法确定其长、宽、高因此无法直接使用体积计算公式来计算其体积．一般不规则物体体积的测定方法采用排水法，也就是将物体放入盛满水的容器中，其排开水的体积就等于该物体的体积．?
2.液面上升或下降类问题?．
例题精讲：
【例1】一个长方体的水槽长18厘米，宽12厘米，高10厘米，里面水深6厘米，将一个不规则的土豆放入后，水面上升到8厘米处，这个土豆的体积是多少？?
【例2】一个长方体鱼缸，长80厘米，宽60厘米，深40厘米，把一块长30厘米，宽24厘米，高16厘米的铁块浸入在水中，水面将上升多少厘米???????
变式训练：
1．在一个长60厘米，宽54厘米，深45厘米的长方体鱼缸里放入一些水，并在水中浸入一块长12厘米，宽18厘米，高15厘米的铁块，把铁块从水中取出，水面将下降多少厘米？???
知识点七、展开图形拼长方体或正方体?
【例1】用一张长60厘米，宽40厘米的长方形铁皮，做成一个无盖长方体盒子，做成盒子的容积是多少？?
思路一：从四个角上分别剪去一个边长为10厘米的正方形后，观察思考做成的长方体长是（????），宽是（???），高是多少？求出它的容积．
?思路二：从左边剪下两个边长为10厘米的正方形，然后把这两个正方形焊接到右边，做成一个无盖的长方体，观察思考做成的长方体长是（????），宽是（???），高是多少？求出它的容积．?
思路三：从这个长方体上先剪下一个连长为40厘米的正方形做底面，然后把剩下的长方体平均分成四个长方形做前后左右面，这样做成一个无盖长方体，观察思考做成的长方体长、宽、高是多少？求出它的容积．
1.一个正方体的表面展开图是与A相对的面是（???）。
A.B
B.C
C.D
D.E
2.一个长方体体积是100立方厘米，现知它的长是10厘米，宽是2厘米，高是（
）
A．8厘米
B．5厘米
C．5平方厘米
3．把50本书摆成长为18cm，宽为13cm，高为25cm的长方体，平均每本书的体积是（
）。
A.117立方厘米
B.127立方厘米
C.5850立方厘米
4.实验室有一个长方体的容器，长5dm，宽4dm，高4dm，现水深3分米，如果往容器里面放一个长3dm，宽4dm，高2dm的长方体铁块，这时容器中的水会不会溢出来？
5．一块长方体钢件，长6cm，宽5cm，高4cm．如果每立方厘米重7.8克，那么这块钢件重多少克？
6.计算下列长方体和正方体的体积各是多少立方米。(单位：米)
知识点一、容积与体积基本概念?
1．体积是指所占空间的大小；容积是指所容纳物体的体积；一个物体的容积一般都比它的体积小．当容器壁厚度忽略不计时：体积=容积；否则体积<容积．?
比如说，一个洗发液的瓶子里面所能装下的洗发液的体积就是它的容积．（容器壁忽略不计）?
2．体积计算方法：?长方体的体积=长×宽×高??????????
正方体的体积=棱长×棱长×棱长
长方体和正方体的体积=底面积×高=右面面积×长=前面面积×宽?
3．体积相等的两个长方体或者一个长方体与一个正方体，表面积不一定相等，棱长和也不一定相等．?
4．体积相等的两个正方体，表面积一定相等，棱长和也一定相等．?
5．体积相等的情况下正方体的表面积比长方体的小；表面积相等的情况下正方体的体积比长方体的体积大．
知识点二、单位换算?
1．长度单位：????相邻两个单位进率为10?
2．面积单位：?相邻两个单位进率为100?
3．体积单位：?相邻两个单位进率为1000?
4．容积单位：相邻两个单位进率为1000?特别的：?；?；??．
5．不是同一类型的单位，数据不能比较大小，同一类型的单位中右边的单位比左边的单位大．?大单位化小单位乘以进率，小单位化大单位除以进率．?????
知识点三、体积大小的比较?
1．对于液体可以直接比较体积的大小，如果液体体积小于容器既可以装得下，如果大于容器体积则装不下．?
2．对于固体而言，在体积小于容器体积的前提下，还需要比较物体的长宽高于容器的长宽高，只有物体的长宽高都小于或等于容器的长宽高时才可以将物体装入容器．
知识点四、切割组合对体积的影响?
1．将一个长方体或正方体任意的切割，切开后各部分的体积之和都等于原来长方体的体积．?将几个长方体或正方体随机的组合，组合起来后的立体图形的体积都等于原来各部分的体积之和．?也即切割和组合不会改变原来各部分的体积，只是各部分体积的相加．?
2.根据切割组合对表面的影响来确定体积的变化．
知识点五、砌墙类问题?
知识点六、不规则物体体积计算方法?
不规则物体的体积由于无法确定其长、宽、高因此无法直接使用体积计算公式来计算其体积．一般不规则物体体积的测定方法采用排水法，也就是将物体放入盛满水的容器中，其排开水的体积就等于该物体的体积．?
2．液面上升或下降类问题?．
知识点七、展开图形拼长方体或正方体?
1.一个长方体的长宽高分别是6、5、4厘米，两个这样的长方体拼成一个大长方体，大长方体的表面积最小是（
）平方厘米。
2．一个长方体截去一个棱长为5厘米的正方体后，所剩
下的长方体的体积是75立方厘米，则原长方体的最长的棱是
厘米．
3．从一个长方体上截下一个棱长为3厘米的正方体，剩下部分是一个长方体，它的体积是45立方厘米，原来这个长方体长
厘米．
4．甲长方体的长6dm、宽4dm、高5dm；乙长方体的长5dm、宽4dm．把甲、乙两个长方体拼成一个新的长方体，新的长方体的体积是160dm3，乙长方体的高是
．
5.一个正方体油箱的容积是216立方分米，把这一整箱油倒入另一个容积更大的长方体油箱内，已知长方体油箱长9分米，宽6分米，则这个长方体油箱中油深多少分米？
6.列式解答：
（1）一个长方体汽油桶，从里面量长是0.8米，宽是0.5米，高是0.25米，这个汽油桶的容积是多少升？装满一桶汽油重多少千克？（每升汽油重0.73千克）
（2）100根方木，堆成一个长3米，宽40分米，高2.5米的长方体．平均每根方木的体积是多少立方米？
一个无盖的正方体玻璃缸，棱长是4分米，水面距鱼缸口0.5分米，这个鱼缸装了多少水？
新挖的一条排水渠，挖土9立方米．水渠的横截面是梯形，上底宽0.5米，下底宽0.4米，深0.4米．这条排水渠长多少米？
（5）把棱长是50厘米的正方体钢坯，锻造成宽是25厘米，高是20厘米的长方体钢材，这长方体钢材的长是多少米？
1.一个长方体的棱长之和是48dm，已知长方体的长是8dm，宽是3dm，求长方体的体积和表面积．
2.应用题：
（1）一个正方体的棱长是3厘米，求它的体积
一种长方体木料，体积是2100立方分米．长是20分米，宽是15分米，高是多少分米？
一块方钢，长2米，横截面是一个边长为4厘米的正方形．
如果1立方厘米钢重7.8克，这块方钢有多重？
（4）一个长方体的底面积是0.85平方米，高是0.9米，体积是多少？
3.如右图，从长为13厘米，宽为9厘米的正方形硬纸板的四角剪掉边长为3厘米的正方形，然后沿虚线折叠成长方体无盖纸盒，这个纸盒的体积是多少？
4.有甲乙两个玻璃容器，甲容器长8分米，宽6分米，里面装满5分米高的水，乙容器的长是12分米，宽是5分米，高是10分米，将甲容器中的水倒入乙容器中，水面距离容器口多少分米？
5.有384立方厘米的水倒入甲、乙两个长方体玻璃容器中，已知甲长方体玻璃容器的长是10厘米，宽是8厘米，高是6厘米，乙容器的长是8厘米，宽是6厘米，高是5厘米，要使两个容器中的水面同样高，这个高是多少厘米？个性化教学辅导教案
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题
第7讲
长方体（二）
教学目标
知识与技能：通过对长方体和立方体体积计算的学习，掌握应用公式计算长方体和立方体体积的方法．
情感态度与价值观：要使学生体验数学的科学价值观，培养学生善于观察、勇于探索的良好习惯和严谨的科学态度，同时能利用长方体和立方体体积的计算方法解决一些简单的实际问题．
教学过程
教师活动
学生活动
1.长方体或正方体（
所有面的面积之和
）叫做它的表面积．
2.一种无盖的长方体水桶，长是5分米，宽是4分米，高是6分米，做这样一对水桶，至少需要铁皮多少平方分米？（接口处忽略不计）
（平方分米）
3.如果一个长方体正好可以切成两个棱长为3cm的正方体，这个长方体的表面积是多少？
（平方厘米）
4.一个长方体，长5分米，宽3分米，高4分米，求它的所有棱长的和．
（分米）
知识点一：容积与体积基本概念?
一个体积为120立方厘米的长方体，长是6厘米，宽是5厘米，那么长方体的表面积是多少？
高：（厘米）
表面积：（平方厘米）
知识点二：单位换算?
1200毫升=（
1200
）立方厘米??
1.24立方米=（
1240
）升=（
1240000
）毫升???
50立方米=（
50000
）升
100立方厘米=（
0.1
）升
知识点三：体积大小的比较?
有一个正方体水箱，从里面量棱长是5dm，如果把这一满水箱的水倒入一个长8dm、宽7dm、深2.5dm的长方体水池内，是否可以装下？
（立方分米）
（立方分米）
所有不可以装下
一个包装盒，如果从里面量长2.8dm，宽2dm，体积为11.76dm3．妈妈想用它包装一件长2.5dm，宽1.6dm，高2dm的玻璃器皿，是否可以装下？这个玻璃器皿的表面积是多少？
高：（分米）
长：
宽：
高：
知识点四、切割组合对体积的影响?
5．如果把一个长方体切割成两个小长方体，表面积的总和比原来表面积（ A ）
A.增加???
B.减少???
C.不变
6．把一个长方体切割成两个小长方体，体积（ C ），表面积（ A ）
A.变大???
B.变小???
C.不变
学生对长方体体积与容积的概念的理解易出错
学生易将体积公式与表面积公式混淆
单位换算问题易出错
不规则物体体积的求法较难理解
知识点一、容积与体积基本概念?
1．体积是指所占空间的大小；容积是指所容纳物体的体积；一个物体的容积一般都比它的体积小．当容器壁厚度忽略不计时：体积=容积；否则体积<容积．?
比如说，一个洗发液的瓶子里面所能装下的洗发液的体积就是它的容积．（容器壁忽略不计）?
2．体积计算方法：?长方体的体积=长×宽×高??????????
正方体的体积=棱长×棱长×棱长
长方体和正方体的体积=底面积×高=右面面积×长=前面面积×宽?
3．体积相等的两个长方体或者一个长方体与一个正方体，表面积不一定相等，棱长和也不一定相等．?
4．体积相等的两个正方体，表面积一定相等，棱长和也一定相等．?
5．体积相等的情况下正方体的表面积比长方体的小；表面积相等的情况下正方体的体积比长方体的体积大．
例题精讲：
【例1】一个长方体框架长8厘米，宽6厘米，高4厘米，做这个框架共要（72?）厘米铁丝，是求长方体（总棱长?），在表面贴上塑料板，共要（208平方厘米）塑料板是求（表面积），在里面能盛（0．192）升水是?求（容积），这个盒子有（0．000192）立方米是求（体积）．?
【例2】表面积相等的长方体和正方体的体积相比，（?①）．?????
?①正方体体积大??②长方体体积大??③相等?
【例3】一个长方体的沙坑装满沙子，这个沙坑长3米，宽1．5米，深2米，每立方米沙子重1400千克，这个沙坑里共装沙子多少吨？?????
答案：
【例4】一个长方形的底面是一个周长为16分米的正方形，它的表面积是96平方分米，则长方体体积是多少？????
答案：长方体的底面边长（即长方体的长和宽）为，所以根据表面积公式可知高也为4，所以可求得其体积为64立方分米．
变式训练：
1．长方体的长是6厘米，宽是4厘米，高是2厘米，它的棱长总和是?（48?）厘米，六个面中最大的面积是（24?）平方厘米，表面积是（88）平方厘米，体积是（48?）立方厘米．
2．将一个正方体钢坯锻造成长方体，正方体和长方体（?①）．?
??①体积相等，表面积不相等??②体积和表面积都不相等．??③表面积相等，体积不相等．
3．有一块面积为96平方分米的铁皮，将其制作成可以容纳最多物体的形状，其棱长是多少？可以容纳多少立方分米的物体？??????
答案：棱长为4，可容纳64平方分米的物体
4．一个长方体，其中三个面的面积分别是15平方厘米，20平方厘米，12平方厘米，这个长方体的体积是多少立方厘米？
答案：由题可列方程得长为5cm，宽为4cm，高为3cm，所以其体积为60平方厘米
知识点二、单位换算?
1．长度单位：????相邻两个单位进率为10?
2．面积单位：?相邻两个单位进率为100?
3．体积单位：?相邻两个单位进率为1000?
4．容积单位：相邻两个单位进率为1000?特别的：?；?；??．
5．不是同一类型的单位，数据不能比较大小，同一类型的单位中右边的单位比左边的单位大．?大单位化小单位乘以进率，小单位化大单位除以进率．?????
例题精讲：
【例1】单位换算
32立方厘米=（?0．032?）立方分米?
??
????3．06升=（3）升（?60）毫升
0．85升＝（850?）毫升?
4．25立方米=（4）立方分米=（250?）升??
2．7立方米=（?2700?）升????
2100毫升＝（2100）立方厘米＝（2．1?）立方分米?
【例2】一个水池能装水400立方米，这是指（容积?），占地2公顷指的是（面积?）．????
变式训练：
1．单位换算
40立方米＝（40000）立方分米?
0．3升＝（?300）毫升＝?（300）立方厘米
30立方分米＝（0．03?）立方米
?4立方分米5立方厘米＝（?4．005?）立方分米?
2．一块橡皮擦的体积约是8(?立方厘米??)；?一支钢笔长18(??厘米??)；一台录音机的体积约是20(??立方分米???)．
知识点三、体积大小的比较?
1．对于液体可以直接比较体积的大小，如果液体体积小于容器既可以装得下，如果大于容器体积则装不下．?
2．对于固体而言，在体积小于容器体积的前提下，还需要比较物体的长宽高于容器的长宽高，只有物体的长宽高都小于或等于容器的长宽高时才可以将物体装入容器．?
例题精讲：
【例1】有一个长为8分米，高位5分米，体积为240平方分米的硬纸盒，有一件陶瓷长为7．4分米，高位4分米，宽为6．5分米，是否可以放入该容器？?
分析：单纯计算容器和陶瓷的体积我们可以发现：陶瓷体积<硬纸盒体积．但这并不意味着瓷器就可以装进盒子．我们还需要观察陶瓷长宽高于容器长宽高的大小．通过计算硬纸盒的长=8分米；宽=240÷（8×5）=6分米；高=5分米；陶瓷的长=7．4分米；宽=6．5分米；高=4分米?；由此可以发现陶瓷的宽比盒子的宽大，所以即使在体积小于盒子的前提下，仍然是装不进去的．???
变式训练：
1．有一个长方形玻璃鱼缸长为5分米，宽为3分米，高为3分米里面装有2．5分米高的水，现在需要将该该鱼缸内的水倒入一个棱长为3．5分米的正方体鱼缸中，请问是否可以装得下这么多水？如果装得下正方体鱼缸内的水有多高？?????
答案：
所以装下，
知识点四、切割组合对体积的影响?
1．将一个长方体或正方体任意的切割，切开后各部分的体积之和都等于原来长方体的体积．?将几个长方体或正方体随机的组合，组合起来后的立体图形的体积都等于原来各部分的体积之和．?也即切割和组合不会改变原来各部分的体积，只是各部分体积的相加．?
根据切割组合对表面的影响来确定体积的变化．?
例题精讲：
【例1】将一块体积为30立方米的石头，切割成相同大小的石块刚好可以切出10块，每块石头的体积是多少？
?分析：根据切出的每块石头大小相同，可以知道每块石头的体积是相等的，而大石头的体积30立方米，一共贴出10块，所以每块石头的体积为：30÷10=3（立方米）?
【例2】把一个正方体木块截成两个相同的长方体后，表面积增加了32平方分米，原来正方体的表面积是（96）平方分米，体积是（64）立方分米．?
分析：根据正方体无论怎么切其都将增加两个完全相同的正方形面，而且每个面的大小都等于原来正方体一个面的面积．因此，正方体一个面的面积为32÷2=16（平方分米），原来正方体的表面积为16×6=96（平方分米），?
根据原来正方体一个面的面积=棱长×棱长=棱长的平方=16，可知4的平方等于16所以原来正方体的棱长为4分米，所以，原来正方体的体积为4×4×4=64（立方分米）??
变式训练：
1．将棱长为5厘米的20块小正方体拼成一个长方体，其体积最大是多少？??????
答案：
2．一个长方体，如果高增加3厘米，就成为一个正方体．这时表面积比原来增加了96平方厘米．原来的长方体的体积是多少立方厘米？???
答案：原长方体底面边长
原长方体高：8-3=5（厘米）
原长方体体积：8×8×5=320（立方厘米）
3．一个长方体正好可以分成三个完全一样的正方体，如果切割下一个正方体，剩下的表面积比原来少了36平方厘米，求原来长方体的表面积是多少？
答案：如果切割下一个正方体,剩下的表面积比原来减少36平方厘米．说明一个正方休的侧面积是36平方厘米，则一个面的面积是36/4＝9平方厘米，则有边长是3厘米．那么原来的长是3×3＝9分米．原来的体积是：9×9＝81立方分米
知识点五、砌墙类问题?
例题精讲：
【例1】养殖场需要砌一堵长为30米，宽为24厘米，高位2．5米得墙，需要用长为30厘米，宽为15厘米，厚为5厘米的砖大约多少块？?
分析：首先我们需要将墙的体积算出=3000厘米×24厘米×250厘米=18000000平方厘米；其次我们需要将每块砖的体积算出=30厘米×15厘米×5厘米=2250立方厘米?；我们只需要计算这堵墙的体积相当于每块砖体积的多少倍即为所需要砖的数量=18000000÷2250=8000（块）?
变式训练：
1．一块钢材体积为2．7立方米，现在将其融化后重新铸成长为1米，底面积为225平方厘米的钢锭，一共可以铸多少块？??
答案：
知识点六、不规则物体体积计算方法?
不规则物体的体积由于无法确定其长、宽、高因此无法直接使用体积计算公式来计算其体积．一般不规则物体体积的测定方法采用排水法，也就是将物体放入盛满水的容器中，其排开水的体积就等于该物体的体积．?
液面上升或下降类问题?．
例题精讲：
【例1】一个长方体的水槽长18厘米，宽12厘米，高10厘米，里面水深6厘米，将一个不规则的土豆放入后，水面上升到8厘米处，这个土豆的体积是多少？?
分析：根据物体排开水的体积等于物体的体积，可知在放入土豆前后水面高度分别为6厘米和8厘米，可见土豆排开水的高度为2厘米，因此土豆的体积就等于这部分水的体积=18×12×（8－6）=432平方厘米．??
【例2】一个长方体鱼缸，长80厘米，宽60厘米，深40厘米，把一块长30厘米，宽24厘米，高16厘米的铁块浸入在水中，水面将上升多少厘米???????
答案：铁的体积：30×24×16＝11520立方厘米
铁的体积除以鱼缸底＝水上升高度：
变式训练：
1．在一个长60厘米，宽54厘米，深45厘米的长方体鱼缸里放入一些水，并在水中浸入一块长12厘米，宽18厘米，高15厘米的铁块，把铁块从水中取出，水面将下降多少厘米？???
答案：
知识点七、展开图形拼长方体或正方体?
【例1】用一张长60厘米，宽40厘米的长方形铁皮，做成一个无盖长方体盒子，做成盒子的容积是多少？?
思路一：从四个角上分别剪去一个边长为10厘米的正方形后，观察思考做成的长方体长是（????），宽是（???），高是多少？求出它的容积．
?思路二：从左边剪下两个边长为10厘米的正方形，然后把这两个正方形焊接到右边，做成一个无盖的长方体，观察思考做成的长方体长是（????），宽是（???），高是多少？求出它的容积．?
思路三：从这个长方体上先剪下一个连长为40厘米的正方形做底面，然后把剩下的长方体平均分成四个长方形做前后左右面，这样做成一个无盖长方体，观察思考做成的长方体长、宽、高是多少？求出它的容积．
1.一个正方体的表面展开图是与A相对的面是（???）。
A．BB．CC．DD．E
【答案】D
2.一个长方体体积是100立方厘米，现知它的长是10厘米，宽是2厘米，高是（
）
A．8厘米
B．5厘米
C．5平方厘米
【答案】B
3．把50本书摆成长为18cm，宽为13cm，高为25cm的长方体，平均每本书的体积是（
）。
A.117立方厘米
B.127立方厘米
C.5850立方厘米
【答案】A
4.实验室有一个长方体的容器，长5dm，宽4dm，高4dm，现水深3分米，如果往容器里面放一个长3dm，宽4dm，高2dm的长方体铁块，这时容器中的水会不会溢出来？
【答案】会
【解析】根据长方体的体积公式，先求出这个长方体容器的容积，再求出里面的水的体积和长方体铁块的体积之和，如果不大于容器的容积，水就不会溢出，反之，水会溢出。
解：长方体的容器容积：5×4×4=80（立方分米）
水的体积：5×4×3=60（立方分米）
铁块的体积：3×4×2=24（立方分米）
60+24=84（立方分米）
84立方分米＞80立方分米
答：这时容器中的水会溢出来。
考点：长方体和正方体的体积。
总结：利用长方体的容积的意义以及长方体的体积公式的解决问题。
5．一块长方体钢件，长6cm，宽5cm，高4cm．如果每立方厘米重7.8克，那么这块钢件重多少克？
【答案】936克
【解析】6×5×4×7.8
=120×7.8
=936（克）
答：这块钢件重936克。
6.．计算下列长方体和正方体的体积各是多少立方米。(单位：米)
【答案】15.625立方米；1.536立方米；5.04立方米
【解析】(1)2.5×2.5×2.5=15.625(立方米)
(2)2.4×0.8×0.8=1.536(立方米)
(3)2.8×1.8×1=5.04(立方米)。
知识点一、容积与体积基本概念?
1．体积是指所占空间的大小；容积是指所容纳物体的体积；一个物体的容积一般都比它的体积小．当容器壁厚度忽略不计时：体积=容积；否则体积<容积．?
比如说，一个洗发液的瓶子里面所能装下的洗发液的体积就是它的容积．（容器壁忽略不计）?
2．体积计算方法：?长方体的体积=长×宽×高??????????
正方体的体积=棱长×棱长×棱长
长方体和正方体的体积=底面积×高=右面面积×长=前面面积×宽?
3．体积相等的两个长方体或者一个长方体与一个正方体，表面积不一定相等，棱长和也不一定相等．?
4．体积相等的两个正方体，表面积一定相等，棱长和也一定相等．?
5．体积相等的情况下正方体的表面积比长方体的小；表面积相等的情况下正方体的体积比长方体的体积大．
知识点二、单位换算?
1．长度单位：????相邻两个单位进率为10?
2．面积单位：?相邻两个单位进率为100?
3．体积单位：?相邻两个单位进率为1000?
4．容积单位：相邻两个单位进率为1000?特别的：?；?；??．
5．不是同一类型的单位，数据不能比较大小，同一类型的单位中右边的单位比左边的单位大．?大单位化小单位乘以进率，小单位化大单位除以进率．?????
知识点三、体积大小的比较?
1．对于液体可以直接比较体积的大小，如果液体体积小于容器既可以装得下，如果大于容器体积则装不下．?
2．对于固体而言，在体积小于容器体积的前提下，还需要比较物体的长宽高于容器的长宽高，只有物体的长宽高都小于或等于容器的长宽高时才可以将物体装入容器．
知识点四、切割组合对体积的影响?
1．将一个长方体或正方体任意的切割，切开后各部分的体积之和都等于原来长方体的体积．?将几个长方体或正方体随机的组合，组合起来后的立体图形的体积都等于原来各部分的体积之和．?也即切割和组合不会改变原来各部分的体积，只是各部分体积的相加．?
2.根据切割组合对表面的影响来确定体积的变化．
知识点五、砌墙类问题?
知识点六、不规则物体体积计算方法?
不规则物体的体积由于无法确定其长、宽、高因此无法直接使用体积计算公式来计算其体积．一般不规则物体体积的测定方法采用排水法，也就是将物体放入盛满水的容器中，其排开水的体积就等于该物体的体积．?
2．液面上升或下降类问题?．
知识点七、展开图形拼长方体或正方体?
1.一个长方体的长宽高分别是6、5、4厘米，两个这样的长方体拼成一个大长方体，大长方体的表面积最小是（
）平方厘米。
【答案】236
【解析】要使拼成的长方体的表面积最小，那就要把最大面拼在一起，即把长方体最大的两个面对着合起来，去除的表面积最大，剩下的显然是最小的表面积。
2．一个长方体截去一个棱长为5厘米的正方体后，所剩
下的长方体的体积是75立方厘米，则原长方体的最长的棱是
厘米．
【答案】8
【解析】
试题分析：根据题干分析可得，这个剩下的长方体的底面积是以5厘米为边长的正方形，由此利用长方体的体积公式即可求出剩下的长方体的高是75÷（5×5）=3厘米，再加上5厘米就是原长方体的最长的棱长．
解：75÷（5×5），
=75÷25，
=3（厘米），
3+5=8（厘米），
答：原长方体的最长的棱长是8厘米．
故答案为：8．
点评：根据题干得出剩下的长方体的底面是一个边长为5厘米的正方形，是解决本题的关键．
3．从一个长方体上截下一个棱长为3厘米的正方体，剩下部分是一个长方体，它的体积是45立方厘米，原来这个长方体长
厘米．
【答案】8
【解析】
试题分析：由已知“从一个长方体上截下一个棱长为3厘米的正方体，剩下部分是一个长方体，它的体积是45立方厘米”，可知长方体的截面是边长3厘米的正方形，再根据剩下的体积是45立方厘米，用体积÷底面积=高，即可求出剩下部分长方体的长是多少厘米，由此即可解答．
解：45÷（3×3）
=45÷9，
=5（厘米）；
5+3=8（厘米），
答：原来长方体的长是8厘米．
故答案为：8．
点评：此题主要考查长方体的体积计算方法，解答关键是根据体积除以底面积求出剩下部分长方体的长．
4．甲长方体的长6dm、宽4dm、高5dm；乙长方体的长5dm、宽4dm．把甲、乙两个长方体拼成一个新的长方体，新的长方体的体积是160dm3，乙长方体的高是
．
【答案】2分米
【解析】
试题分析：根据题干，新的长方体的体积等于原来的甲乙两个长方体的体积之和，据此根据长方体的体积=长×宽×高求出甲长方体的体积，用新长方体的体积减去甲的体积，就是乙的体积，再根据体积公式可得：乙长方体的高=乙长方体的体积÷长÷宽，据此计算即可解答问题．
解：160﹣6×4×5
=160﹣120
=40（立方分米）
40÷5÷4=2（分米）
答：乙长方体的高是2分米．
故答案为：2分米．
5.按要求解答．一个长方体长10cm，宽3cm，高4cm．
①棱长总和是多少厘米？
②用彩色纸把长方体包起来，需要彩纸多少平方厘米？
③这个长方体的体积有多大？
【答案】68厘米，164平方厘米，120立方厘米
6.一个正方体油箱的容积是216立方分米，把这一整箱油倒入另一个容积更大的长方体油箱内，已知长方体油箱长9分米，宽6分米，则这个长方体油箱中油深多少分米？
【答案】216÷（9×8）
=216÷72
=4（分米）
答：油深4分米。
7.列式解答：
（1）一个长方体汽油桶，从里面量长是0.8米，宽是0.5米，高是0.25米，这个汽油桶的容积是多少升？装满一桶汽油重多少千克？（每升汽油重0.73千克）
（2）100根方木，堆成一个长3米，宽40分米，高2.5米的长方体．平均每根方木的体积是多少立方米？
（3）一个无盖的正方体玻璃缸，棱长是4分米，水面距鱼缸口0.5分米，这个鱼缸装了多少水？
（4）新挖的一条排水渠，挖土9立方米．水渠的横截面是梯形，上底宽0.5米，下底宽0.4米，深0.4米．这条排水渠长多少米？
（5）把棱长是50厘米的正方体钢坯，锻造成宽是25厘米，高是20厘米的长方体钢材，这长方体钢材的长是多少米？
【答案】100升，73千克；0.3立方米；56升；50米；2.5米
【解析】
试题分析：（1）根据长方体的体积公式求出汽油桶的容积，然后把单位换算成升，最后根据每升汽油重多少，求出装满一桶汽油后的重量；
（2）先把宽的单位换算成米，然后根据长方体的体积公式求出总共的体积，最后除以100得到每根方木的体积；
（3）水的体积实际是一个长方体，长和宽是玻璃缸的棱长，高是用棱长减去距鱼缸口的距离，然后代入长方体的体积公式计算即可；
（4）用挖出土的体积除以梯形横截面的面积就是这条排水渠的长；
（5）根据正方体的体积公式求出正方体钢坯的体积，因为正方体的体积等于长方体的体积，所以用求出的正方体的体积除以长方体的宽和高，得到的就是长方体的长，注意单位的换算．
解：（1）0.8×0.5×0.25，
=0.1（立方米），
=100（升），
100×0.73=73（千克），
答：这个汽油桶的容积是100升，装满一桶汽油重73千克．
（2）40分米=4米，
3×4×2.5÷100，
=30÷100，
=0.3（立方米），
答：平均每根方木的体积是0.3立方米．
（3）水的高为：4﹣0.5=3.5（分米），
装水：4×4×3.5，
=56（立方分米），
=56（升）
答：这个鱼缸装了56升的水．
（4）9÷[（0.5+0.4）×0.4÷2]，
=9÷（0.9×0.4÷2），
=9÷0.18，
=50（米），
答：这条排水渠长50米．
（5）50×50×50÷（25×20），
=50×50×50÷500，
=125000÷500，
=250（厘米），
=2.5（米），
答：这长方体钢材的长是2.5米．
1.一个长方体的棱长之和是48dm，已知长方体的长是8dm，宽是3dm，求长方体的体积和表面积．
【答案】24立方分米，70平方分米
【解析】
试题分析：长方体的特征是：它有12条棱，分为3组，每组相对的（互相平行的）4条棱的长度相等；所以用48÷4求出的是一组长、宽和高的和，因此可以求出高来，然后根据长方体的体积和表面积公式进行求解即可．
解：48÷4﹣8﹣3，
=12﹣8﹣3，
=1（分米）；
长方体的体积：8×3×1=24（立方分米）；
长方体的表面积：（8×3+8×1+3×1）×2，
=（24+8+3）×2，
=35×2，
=70（平方分米）；
答：长方体的体积是24立方分米，表面积是70平方分米．
2.应用题：
（1）一个正方体的棱长是3厘米，求它的体积
（2）一种长方体木料，体积是2100立方分米．长是20分米，宽是15分米，高是多少分米？
（3）一块方钢，长2米，横截面是一个边长为4厘米的正方形．
如果1立方厘米钢重7.8克，这块方钢有多重？
（4）一个长方体的底面积是0.85平方米，高是0.9米，体积是多少？
【答案】27立方厘米，7分米，24.96千克，0.765立方米
【解析】
试题分析：（1）利用正方体的体积=棱长×棱长×棱长，代入数据即可解决问题；
（2）利用长方体的高=长方体体积÷底面积，代入数据即可解决问题；
（3）先利用长方体的体积公式求出方钢的体积，再根据1立方厘米的重量利用乘法求得方钢的重；
（4）利用长方体的体积=底面积×高，代入数据即可解决问题．
解：（1）3×3×3=27（立方厘米），
答：这个正方体的体积是27立方厘米．
（2）2100÷（20×15）=7（分米），
答：高是7分米．
（3）2米=200厘米，
4×4×200×7.8=24960（克），
24960克=24.96千克，
答：这块方钢重24.96千克．
（4）0.85×0.9=0.765（立方米），
答：体积是0.765立方米．
3.如右图，从长为13厘米，宽为9厘米的正方形硬纸板的四角剪掉边长为3厘米的正方形，然后沿虚线折叠成长方体无盖纸盒，这个纸盒的体积是多少？
由图可知，长方体底面的长为：13-3×2=(7厘米）
长方体底面宽为9-3×2=3（厘米）
长方体的高为3厘米
所以长方体体积为：V=7×3×3=63(立方厘米）
解：V=(13-3×2)×(9-3×2)×3=63(立方厘米）
答：这个纸盒的体积是63立方厘米。
4.有甲乙两个玻璃容器，甲容器长8分米，宽6分米，里面装满5分米高的水，乙容器的长是12分米，宽是5分米，高是10分米，将甲容器中的水倒入乙容器中，水面距离容器口多少分米？
答案：26dm
5.有384立方厘米的水倒入甲、乙两个长方体玻璃容器中，已知甲长方体玻璃容器的长是10厘米，宽是8厘米，高是6厘米，乙容器的长是8厘米，宽是6厘米，高是5厘米，要使两个容器中的水面同样高，这个高是多少厘米？
解题思路：题中告诉我们两个容器，可以分别求出两个容器的底面积，因为两个容积的水面同样高，我们可以将两个容器看做一个整体，看做一个容器，这个容器的底面积就是甲、乙两个容器底面积之和。用水的体积除以两个容器底面积之和，就是两个容器中水得高度。
解：甲容器底面积：10×8=80（平方厘米）
乙容器底面积=8×6=48（平方厘米）
两个容器底面积之和：80+48=128（平方厘米）
两容器中水面高度：384÷128=（3厘米）
答：这两个容器中水面高是3厘米
