2.4.2 分式方程（含答案）
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第二章 分式与分式方程
4 分式方程
第2课时
考点突破
考点1 解分式方程
例1 解下列分式方程：
（陕西）； （2）。
思路导引：解分式方程，一般先去分母化为整式方程，再求解.第（2）题去分母时，不要漏掉常数项－3乘最简公分母（x－2）。
方法归纳
解分式方程的基本思想是“转化思想”，即通过去分母把分式方程转化为整式方程求解一般步骤为:（1）去分母，即方程两边同乘以最简公分母，化成整式方程；（2）解这个整式方程；（3）检验:把求得的未知数的值代入最简公分母，如果不为0，则是原分式方程的解，否则是增根，原分式方程无解。
考题训练
1.（成都）分式方程的解为（ ）
A.x＝－2 B.x＝－3 C.x＝2 D.x＝3
2.（曲靖）方程的解是（ ）
A. x＝2 B. x＝1 C. x＝0 D.无实数解
3.（孝感）分式方程的解是______________。
4.请选择一组a，b的值，写出一个形如的关于x的分式方程，使它的解为x＝－1，这样的分式方程可以是__________________________。
5.（常州）解方程:。
6.（镇江）解方程:。
考点2 分式方程的增根与无解
例2 （凉山）关于x的方程无解，则m的值为（ ）
－5 B. －8 C. －2 D. 5
思路导引：先将分式方程两端进行通分，如果方程无解，那么方程两端的分母必定为0，这样就可以得出x的取值了；由于分式相等且分母相等，因此分子相等，这样就得到了一个关于m的一元一次方程，解得m的值。
方法归纳
1.分式方程的增根是去分母后整式方程的根，但它能使原分式方程中的分母为0.
2.分式方程无解有可能是两种情况:一是去分母后的整式方程无解；二是分式方程有增根导致无解。
考题训练
7.若解分式方程时产生增根，则k的值是（ ）
A. －1或－2 B. －1或2 C. 1或2 D. 1或－2
8.（龙东）关于x的分式方程无解，则m＝______________。
9.已知关于x的分式方程的解为负数，则k的取值范围是_____________。
巩固练习
1.要把分式方程化为整式方程，方程两边要同时乘（ ）
A. 2x－4 B. x C. 2（x－2） D. 2x（x－2）
2.解分式方程，去分母后所得的方程是（ ）
A. 1－2（3x＋1）＝3 B. 1－2（3x＋1）＝2x
C. 1－2（3x＋1）＝6x D. 1－6x＋2＝6x
3.下列分式方程有解的是（ ）
A. B. C. D.
4.（营口）若关于x的分式方程有增根，则m的值是（ ）
A. m＝－1 B. m＝0 C. m＝3 D. m＝0或m＝3
5.（德州）方程的解为x＝_____________。
6.（威海）分式方程的解为______________。
7.解下列分式方程:
（1）（宁夏）；（2）（甘孜州）；（3）（龙岩）.
8.（潍坊）若关于x的方程的解为正数，则m的取值范围是（ ）
A. m＜ B. m＜且m≠ C. m＞－ D. m＞－且m≠－
9.（齐齐哈尔）关于x的分式方程有解，则字母a的取值范围是（ ）
A. a＝5或a＝0 B. a≠0 C. a≠5 D. a≠5且a≠0
10.当m为何值时，关于x的方程会产生增根？
11.已知关于x的方程＝0.
（1）若该分式方程有增根，则a＝_____________；
（2）若该分式方程无解，则a＝______________。
12.已知关于x的方程的解为正数，求m的取值范围。
参考答案
考点突破
例1 解:（1）去分母，得（x－2）（x－3）－3（x＋3）＝（x＋3）（x－3）.
去括号，得x2－5x＋6－3x－9＝x2－9。移项，合并同类项，得－8x＝－6.
系数化为1，得x＝。
检验:当x＝时，（x＋3）（x－3）≠0，∴x＝是原方程的解。
（2）去分母，得1＝－（1－x）－3（x－2）去括号，得1＝x－1－3x＋6.
移项，合并同类项，得2x＝4。系数化为1，得x＝2。
检验:当x＝2时，x－2＝0，∴x＝2是增根.∴原方程无解
考题训练
B 2. D 3. x＝ 4.
5.解:去分母，得x＝2（3x－1）＋1.去括号，得x＝6x－2＋1.移项、合并同类项，得5x＝1.系数化为1，得x＝.检验:当x＝时，3x－1≠0，∴x＝是原分式方程的解∴原分式方程的解是x＝.
6.解:方程两边同乘2（4－x），得2（3＋x）＝4－x.去括号、移项，得2x＋x＝4－6.合并同类项，得3x＝2.系数化为1，得x＝－.经检验，x＝－是原方程的解，故原方程的解为x＝－.
例2 A
D 8. 0或－4 9. 且
巩固练习
D 2. C 3. D 4. A 5. 2 6. x＝4
7.解:（1）方程两边同乘x2－1，得x（x＋1）－（2x－1）＝x2－1，解得x＝2.
检验，当x＝2时，x2－1≠0，∴x＝2是原方程的根.
（2）方程两边同乘（x－3），得2－x－1＝x－3，整理解得x＝2.经检验，x＝2是原方程的解.
（3）去分母，得（x－3）（x＋3）＋（6x－x2）＝0.去括号，得x2－9＋6x－x2＝0.移项，合并同类项，得6x＝9.系数化为1，得x＝.检验:当x＝时，x＋3≠0.∴x＝是原方程的解.
8. B 9. D
10.解:.
去分母，得2（x＋2）（x＋3）＋mx（x＋3）＝3（x＋2）（x－2）.
把x＝2代入，得40＋10m＝0，即m＝－4.
把x＝－2代入，得－2m＝0，即m＝0.
又当m＝0时，原方程可化为，解得x＝12，没有增根，与题意不符，故舍去.
把x＝－3代入，得0?m＝15，方程无解.
因此当m＝－4时，原方程会产生增根.
11. （1）－1 （2）－1或1 解:去分母，得ax＋1＝x－1。
∵原方程有增根，.最简公分母x－1＝0，即x＝1，把x＝1代入整式方程，得a＝－1，若该方程无解，除上述情况外，还有如下情形:原方程整理，得（a－1）x＝－2，故。当a＝1时原方程无解.
12.解：去分母，得2x－（x－2）＝－m.整理，得x＝－2－m.
由题意，得－2－m＞0，解得m＜－2.
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第二章 分式与分式方程
4 分式方程
第2课时
考点突破
考点1 解分式方程
例1 解下列分式方程：
（陕西）； （2）。
思路导引：解分式方程，一般先去分母化为整式方程，再求解.第（2）题去分母时，不要漏掉常数项－3乘最简公分母（x－2）。
方法归纳
解分式方程的基本思想是“转化思想”，即通过去分母把分式方程转化为整式方程求解一般步骤为:（1）去分母，即方程两边同乘以最简公分母，化成整式方程；（2）解这个整式方程；（3）检验:把求得的未知数的值代入最简公分母，如果不为0，则是原分式方程的解，否则是增根，原分式方程无解。
考题训练
1.（成都）分式方程的解为（ ）
A.x＝－2 B.x＝－3 C.x＝2 D.x＝3
2.（曲靖）方程的解是（ ）
A. x＝2 B. x＝1 C. x＝0 D.无实数解
3.（孝感）分式方程的解是______________。
4.请选择一组a，b的值，写出一个形如的关于x的分式方程，使它的解为x＝－1，这样的分式方程可以是__________________________。
5.（常州）解方程:。
6.（镇江）解方程:。
考点2 分式方程的增根与无解
例2 （凉山）关于x的方程无解，则m的值为（ ）
－5 B. －8 C. －2 D. 5
思路导引：先将分式方程两端进行通分，如果方程无解，那么方程两端的分母必定为0，这样就可以得出x的取值了；由于分式相等且分母相等，因此分子相等，这样就得到了一个关于m的一元一次方程，解得m的值。
方法归纳
1.分式方程的增根是去分母后整式方程的根，但它能使原分式方程中的分母为0.
2.分式方程无解有可能是两种情况:一是去分母后的整式方程无解；二是分式方程有增根导致无解。
考题训练
7.若解分式方程时产生增根，则k的值是（ ）
A. －1或－2 B. －1或2 C. 1或2 D. 1或－2
8.（龙东）关于x的分式方程无解，则m＝______________。
9.已知关于x的分式方程的解为负数，则k的取值范围是_____________。
巩固练习
1.要把分式方程化为整式方程，方程两边要同时乘（ ）
A. 2x－4 B. x C. 2（x－2） D. 2x（x－2）
2.解分式方程，去分母后所得的方程是（ ）
A. 1－2（3x＋1）＝3 B. 1－2（3x＋1）＝2x
C. 1－2（3x＋1）＝6x D. 1－6x＋2＝6x
3.下列分式方程有解的是（ ）
A. B. C. D.
4.（营口）若关于x的分式方程有增根，则m的值是（ ）
A. m＝－1 B. m＝0 C. m＝3 D. m＝0或m＝3
5.（德州）方程的解为x＝_____________。
6.（威海）分式方程的解为______________。
7.解下列分式方程:
（1）（宁夏）；（2）（甘孜州）；（3）（龙岩）.
8.（潍坊）若关于x的方程的解为正数，则m的取值范围是（ ）
A. m＜ B. m＜且m≠ C. m＞－ D. m＞－且m≠－
9.（齐齐哈尔）关于x的分式方程有解，则字母a的取值范围是（ ）
A. a＝5或a＝0 B. a≠0 C. a≠5 D. a≠5且a≠0
10.当m为何值时，关于x的方程会产生增根？
11.已知关于x的方程＝0.
（1）若该分式方程有增根，则a＝_____________；
（2）若该分式方程无解，则a＝______________。
12.已知关于x的方程的解为正数，求m的取值范围。
参考答案
考点突破
例1 解:（1）去分母，得（x－2）（x－3）－3（x＋3）＝（x＋3）（x－3）.
去括号，得x2－5x＋6－3x－9＝x2－9。移项，合并同类项，得－8x＝－6.
系数化为1，得x＝。
检验:当x＝时，（x＋3）（x－3）≠0，∴x＝是原方程的解。
（2）去分母，得1＝－（1－x）－3（x－2）去括号，得1＝x－1－3x＋6.
移项，合并同类项，得2x＝4。系数化为1，得x＝2。
检验:当x＝2时，x－2＝0，∴x＝2是增根.∴原方程无解
考题训练
B 2. D 3. x＝ 4.
5.解:去分母，得x＝2（3x－1）＋1.去括号，得x＝6x－2＋1.移项、合并同类项，得5x＝1.系数化为1，得x＝.检验:当x＝时，3x－1≠0，∴x＝是原分式方程的解∴原分式方程的解是x＝.
6.解:方程两边同乘2（4－x），得2（3＋x）＝4－x.去括号、移项，得2x＋x＝4－6.合并同类项，得3x＝2.系数化为1，得x＝－.经检验，x＝－是原方程的解，故原方程的解为x＝－.
例2 A
D 8. 0或－4 9. 且
巩固练习
D 2. C 3. D 4. A 5. 2 6. x＝4
7.解:（1）方程两边同乘x2－1，得x（x＋1）－（2x－1）＝x2－1，解得x＝2.
检验，当x＝2时，x2－1≠0，∴x＝2是原方程的根.
（2）方程两边同乘（x－3），得2－x－1＝x－3，整理解得x＝2.经检验，x＝2是原方程的解.
（3）去分母，得（x－3）（x＋3）＋（6x－x2）＝0.去括号，得x2－9＋6x－x2＝0.移项，合并同类项，得6x＝9.系数化为1，得x＝.检验:当x＝时，x＋3≠0.∴x＝是原方程的解.
8. B 9. D
10.解:.
去分母，得2（x＋2）（x＋3）＋mx（x＋3）＝3（x＋2）（x－2）.
把x＝2代入，得40＋10m＝0，即m＝－4.
把x＝－2代入，得－2m＝0，即m＝0.
又当m＝0时，原方程可化为，解得x＝12，没有增根，与题意不符，故舍去.
把x＝－3代入，得0?m＝15，方程无解.
因此当m＝－4时，原方程会产生增根.
11. （1）－1 （2）－1或1 解:去分母，得ax＋1＝x－1。
∵原方程有增根，.最简公分母x－1＝0，即x＝1，把x＝1代入整式方程，得a＝－1，若该方程无解，除上述情况外，还有如下情形:原方程整理，得（a－1）x＝－2，故。当a＝1时原方程无解.
12.解：去分母，得2x－（x－2）＝－m.整理，得x＝－2－m.
由题意，得－2－m＞0，解得m＜－2.
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