(共21张PPT)
第1课时 椭圆的简单几何性质
由已知条件构造
b2+
状元随笔(1)关于轴长2a,26,→
与
联立,求a,b
焦距2c的关系式
不确定焦点位置,此
楠圆的标准方程有雨个
分悟况讨论焦点
(2)的位置,设出对、列出关于参数与a2=b2+2
a,c的关系式联立,求a,b
应的标准方程
得到△F2PF1和△F2PD
状元随笔观察图形
中相关线段的长度
求
a
C
→易得e
的关系式(共21张PPT)
第2课时 直线与椭圆的位置关系
0F/(m20)课时作业9 椭圆的简单几何性质
[基础巩固]
一、选择题
1．椭圆＋＝1的短轴长为( )
A．8
B．10
C．5
D．4
2．已知以椭圆的一个焦点和短轴的两个端点为顶点恰好构成正三角形，则该椭圆的离心率为( )
A.
B.
C.
D.
3．已知椭圆C1：＋＝1，C2：＋＝1，则( )
A．C1与C2顶点相同
B．C1与C2长轴长相同
C．C1与C2短轴长相同
D．C1与C2焦距相等
4．“m＝3”是“椭圆＋＝1的离心率为”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
5．已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)的两顶点为A(a,0)，B(0，b)，且左焦点为F，△FAB是以角B为直角的直角三角形，则椭圆的离心率e为( )
A.
B.
C.
D.
二、填空题
6．在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心为原点，焦点F1，F2在x轴上，离心率为.过F1的直线l交C于A，B两点，且△ABF2的周长为16，那么C的方程为________．
7．过椭圆＋＝1(a＞b＞0)的左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于点P，F2为右焦点，若∠F1PF2＝60°，则椭圆的离心率为________．
8．设椭圆的两个焦点分别为F1，F2，过F2作椭圆长轴的垂线与椭圆相交，其中的一个交点为P，若△F1PF2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是________．
三、解答题
9．求椭圆9x2＋25y2＝225的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标．
10．求满足下列各条件的椭圆的标准方程．
(1)长轴长是短轴长的2倍且经过点A(2,0)；
(2)短轴一个端点与两焦点组成一个正三角形，且焦点到同侧顶点的距离为.
[能力提升]
11．若椭圆＋＝1(a＞b＞0)上存在一点M，使得∠F1MF2＝90°(F1，F2分别为椭圆的左、右焦点)，求椭圆的离心率e的取值范围．( )
A．0，
B.，1
C．0，
D.，1
12．将椭圆＋＝1的长轴(线段AB)分成8等份，过每个分点作x轴的垂线，分别交椭圆于P1，P2，P3，…，P7七个点，F是椭圆的一个焦点，则|P1F|＋|P2F|＋…＋|P7F|＝________.
13．已知椭圆C1：＋＝1，设椭圆C2与椭圆C1的长轴长、短轴长分别相等，且椭圆C2的焦点在y轴上．
(1)求椭圆C1的长半轴长、短半轴长、焦点坐标及离心率；
(2)写出椭圆C2的方程，并研究其性质．
14．如图，已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，A为椭圆的上顶点，直线AF2交椭圆于另一点B.
(1)若∠F1AB＝90°，求椭圆的离心率；
(2)若＝2，·＝，求椭圆的方程．
课时作业9 椭圆的简单几何性质
1．解析：椭圆x225＋y216＝1，可知焦点在x轴上，b＝4，所以椭圆x225＋y216＝1的短轴长为8.
答案：A
2．解析：由题意，因为椭圆的短轴的两个端点与椭圆的一个焦点构成正三角形，所以3b＝c,3b2＝c2，因为a2＝b2＋c2＝43c2，所以e＝ca＝34＝32.
答案：C
3．解析：由两个椭圆的标准方程可知，C1的顶点坐标为(±23，0)，(0，±2)，长轴长为43，短轴长为4，焦距为42；C2的顶点坐标为(±4,0)，(0，±22)，长轴长为8，短轴长为42，焦距为42.故选D.
答案：D
4．解析：椭圆x24＋y2m＝1的离心率为12，
当0＜m＜4时，4－m2＝12，得m＝3，
当m＞4时，m－4m＝12，得m＝163，
即“m＝3”是“椭圆x24＋y2m＝1的离心率为12”的充分不必要条件．故选A.
答案：A
5．解析：由题意得a2＋b2＋a2＝(a＋c)2，即c2＋ac－a2＝0，即e2＋e－1＝0，解得e＝－1±52，又e＞0，故所求的椭圆的离心率为5－12.故选B.
答案：B
6.
解析：设椭圆方程为x2a2＋y2b2＝1，由e＝22知ca＝22，
故b2a2＝12.
由于△ABF2的周长为|AB|＋|BF2|＋|AF2|＝|AF1|＋|AF2|＋|BF1|＋|BF2|＝4a＝16，故a＝4，所以b2＝8.
所以椭圆的方程为x216＋y28＝1.
答案：x216＋y28＝1
7．解析：由题意，△PF1F2为直角三角形，且∠F1PF2＝60°，
所以|PF2|＝2|PF1|.
设|PF1|＝x，
则|PF2|＝2x，|F1F2|＝3x，
又|F1F2|＝2c，所以x＝2c3.
即|PF1|＝2c3，|PF2|＝4c3.
由椭圆的定义知，|PF1|＋|PF2|＝2a，
所以2c3＋4c3＝2a，
即e＝ca＝33.
答案：33
8．解析：由题意得∠F1F2P＝90°，∠PF1F2＝45°，
设椭圆的方程为x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)，
设点P(c，h)，则c2a2＋h2b2＝1，h2＝b2－b2c2a2＝b4a2，所以|h|＝b2a，
Rt△PF1F2中，tan
45°＝1＝|PF2||F1F2|＝|PF2|2c＝|h|2c＝b22ac＝a2－c22ac，所以a2－c2＝2ac，
ca2＋2×ca－1＝0，所以ca＝2－1.
答案：2－1
9．解析：将椭圆的方程化为标准形式，得x225＋y29＝1，所以a＝5，b＝3，则c＝25－9＝4.因此，长轴长2a＝10，短轴长2b＝6，离心率e＝ca＝45，焦点为F1(－4,0)和F2(4,0)，顶点为A1(－5,0)，A2(5,0)，B1(0，－3)，B2(0,3)．
10．解析：(1)若椭圆的焦点在x轴上，
设方程为x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)，
因为椭圆过点A(2,0)，所以4a2＝1，a＝2.
因为2a＝2?2b，所以b＝1，所以方程为x24＋y2＝1.
若椭圆的焦点在y轴上，
设椭圆方程为y2a2＋x2b2＝1(a＞b＞0)，
因为椭圆过点A(2,0)，所以4b2＝1，
所以b＝2，因为2a＝2?2b，所以a＝4，
所以方程为y216＋x24＝1.
综上所述，椭圆的标准方程为
x24＋y2＝1或y216＋x24＝1.
(2)由已知a＝2c，a－c＝3，
所以a＝23，c＝3，
从而b2＝9，所以所求椭圆的标准方程为x212＋y29＝1或x29＋y212＝1.
11．解析：方法一 设M(x0，y0)，则|x0|＜a.∵F1(－c,0)，F2(c,0)，∴MF1→＝(－c－x0，－y0)，MF2→＝(c－x0，－y0)．
∵∠F1MF2＝90°，∴MF1→?MF2→＝0，∴x20＋y20＝c2.
又y20＝b2－b2a2x20，∴x20＋y20＝b2＋c2a2x20∈[b2，a2)，即c2∈[b2，a2)，∴c2≥b2＝a2－c2，∴c2a2≥12，∴e≥22.又0故椭圆的离心率e的取值范围是22，1.
方法二 设点M的坐标是(x0，y0)，
则x20a2＋y20b2＝1，x20＋y20＝c2，消去y0，得x20＝a2?c2－b2?c2.
∵0≤x20≤a2，∴a2?c2－b2?c2≥0 ①，a2?c2－b2?c2≤a2 ②.
由①得c2≥b2，即c2≥a2－c2，∴a2≤2c2，∴e2＝c2a2≥12.
又0＜e＜1，∴e∈22，1.
由②得c2－b2≤c2，此式恒成立．
综上所述，所求椭圆的离心率e的取值范围是22，1.
秒杀法 设椭圆与y轴的一个交点为P，
∵椭圆上存在一点M，使∠F1MF2＝90°，
∴∠F1PF2≥90°，则c≥b，
∴c2≥b2＝a2－c2，∴c2a2≥12，∴e≥22，
又e＜1，∴椭圆的离心率e的取值范围为22，1.
答案：D
12．解析：由椭圆的对称性及定义易知|P1F|＋|P7F|＝2a，|P2F|＋|P6F|＝2a，|P3F|＋|P5F|＝2a，|P4F|＝a，
所以|P1F|＋|P2F|＋|P3F|＋|P4F|＋|P5F|＋|P6F|＋|P7F|＝7a，
因为a＝5，
所以所求式子的值为35.
答案：35
13．解析：(1)由椭圆C1：x2100＋y264＝1可得其长半轴长为10，短半轴长为8，焦点坐标为(6,0)，(－6,0)，离心率e＝35.
(2)由题意可得椭圆C2的标准方程为y2100＋x264＝1，
性质：①范围：－8≤x≤8，－10≤y≤10；
②对称性：关于x轴、y轴、原点对称；③顶点：长轴端点(0,10)，(0，－10)，短轴端点(－8,0)，(8,0)；
④焦点：(0,6)，(0，－6)；
⑤离心率：e＝35.
14．解析：(1)若∠F1AB＝90°，则△AOF2为等腰直角三角形，
所以有|OA|＝|OF2|，即b＝c.
所以a＝2c，e＝ca＝22.
(2)由题知A(0，b)，F1(－c,0)，F2(c,0)，
其中，c＝a2－b2，设B(x，y)．
由AF2→＝2F2B→?(c，－b)＝2(x－c，y)，
解得x＝3c2，y＝－b2，即B3c2，－b2.
将B点坐标代入x2a2＋y2b2＝1，得94c2a2＋b24b2＝1，
即9c24a2＋14＝1，解得a2＝3c2.①
又由AF1→?AB→＝(－c，－b)?3c2，－3b2＝32?b2－c2＝1，即有a2－2c2＝1.②
由①②解得c2＝1，a2＝3，从而有b2＝2.
所以椭圆方程为x23＋y22＝1.
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-课时作业10 直线与椭圆的位置关系
[基础巩固]
一、选择题
1．直线y＝x＋1与椭圆＋＝1的位置关系是( )
A．相交
B．相切
C．相离
D．无法判断
2．若直线y＝kx＋2与椭圆＋＝1相切，则斜率k的值是( )
A.
B．－
C．±
D．±
3．已知O是坐标原点，F是椭圆＋＝1的一个焦点，过F且与x轴垂直的直线与椭圆交于M，N两点，则cos
∠MON的值为( )
A.
B．－
C.
D．－
4．已知椭圆C：＋y2＝1的右焦点为F，直线l：x＝2，点A∈l，线段AF交椭圆C于点B，若＝3，则||等于( )
A.
B．2
C.
D．3
5．已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2为直径的圆与直线bx－ay＋2ab＝0相切，则C的离心率为( )
A.
B.
C.
D.
二、填空题
6．过椭圆＋＝1的焦点F的弦中最短弦长是________________________________________________________________________．
7．直线y＝x＋m(m∈R)被椭圆2x2＋y2＝2截得的线段的中点的横坐标为，则中点的纵坐标为________．
8．已知椭圆＋＝1，过椭圆的右焦点F且垂直于x轴的直线与椭圆交于A，B两点，则|AB|＝________.
三、解答题
9．对不同的实数m，讨论直线y＝x＋m与椭圆＋y2＝1的位置关系．
10．已知椭圆＋＝1的弦AB的中点M的坐标为(2,1)，求直线AB的方程．
[能力提升]
11．椭圆mx2＋ny2＝1与直线y＝1－x交于M，N两点，过原点与线段MN中点所在直线的斜率为，则的值是( )
A.
B.
C.
D.
12．设F1，F2分别为椭圆＋y2＝1的左，右焦点，点A，B在椭圆上，若＝5，则点A的坐标是________．
13．已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，短轴的一个端点到右焦点的距离为，直线l：y＝kx＋m交椭圆于不同的两点A，B.
(1)求椭圆的方程；
(2)若坐标原点O到直线l的距离为，求△AOB面积的最大值．
14．设F1，F2分别是椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，过点F1且斜率为1的直线l与E相交于A，B两点，且|AF2|，|AB|，|BF2|成等差数列．
(1)求E的离心率；
(2)设点P(0，－1)满足|PA|＝|PB|，求E的方程．
课时作业10 直线与椭圆的位置关系
1．解析：方法一 直线过点(0,1)，而0＋14＜1，即点(0,1)在椭圆内部，所以可推断直线与椭圆相交．
方法二 联立直线与椭圆的方程得y＝x＋1，x25＋y24＝1，消去y得9x2＋10x－15＝0，Δ＝100－4×9×(－15)＞0，所以直线与椭圆相交．
答案：A
2．解析：把y＝kx＋2代入x23＋y22＝1，得(2＋3k2)x2＋12kx＋6＝0，由于Δ＝0，∴k2＝23，∴k＝±63.
答案：C
3．解析：由题意，a2＝4，b2＝3，故c＝a2－b2＝4－3＝1.不妨设M(1，y0)，N(1，－y0)，所以124＋y203＝1，解得y0＝±32，
所以|MN|＝3，|OM|＝|ON|＝12＋322＝132.
由余弦定理知cos
∠MON＝|OM|2＋|ON|2－|MN|22|OM||ON|＝1322＋1322－322×132×132＝－513.故选B.
答案：B
4．解析：设点A(2，n)，B(x0，y0)．
由椭圆C：x22＋y2＝1知a2＝2，b2＝1.
所以c2＝1，即c＝1.
所以右焦点F(1,0)．
由FA→＝3FB→得(1，n)＝3(x0－1，y0)．
所以1＝3(x0－1)且n＝3y0.
所以x0＝43，y0＝13n.
将(x0，y0)代入x22＋y2＝1，得
12×432＋13n2＝1.
解得n2＝1，
所以|AF→|＝?2－1?2＋n2＝1＋1＝2.故选A.
答案：A
5．解析：以A1A2为直径的圆的方程为x2＋y2＝a2，
因为直线bx－ay＋2ab＝0与圆相切，
所以|2ab|a2＋b2＝a得a2＝3b2，
由a2＝b2＋c2得e＝63，故选A.
答案：A
6．解析：由方程知a2＝16，b2＝9，所以c＝7，因为在过焦点的弦中，当弦与长轴垂直时，弦长最短，
所以设弦的端点为A(x1，y1)，B(x1，y2)，则x1＝7，代入方程可得y＝±94，所以弦长l＝|y1－y2|＝92.
答案：92
7．解析：方法一 由y＝x＋m，2x2＋y2＝2，消去y并整理得3x2＋2mx＋m2－2＝0，设线段的两端点分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝－2m3，
∴－2m3＝13，解得m＝－12.
由截得的线段的中点在直线y＝x－12上，得中点的纵坐标y＝16－12＝－13.
方法二 设线段的两端点分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则2x21＋y21＝2,2x22＋y22＝2，两式相减得
2(x1－x2)(x1＋x2)＋(y1－y2)(y1＋y2)＝0.
把y1－y2x1－x2＝1，x1＋x2＝13代入上式，得y1＋y22＝－13，则中点的纵坐标为－13.
答案：－13
8．解析：易求得a＝5，b＝4，所以|AB|＝2b2a＝2×425＝325.
答案：325
9．解析：联立方程组y＝x＋m，①x24＋y2＝1.②
将①代入②得x24＋(x＋m)2＝1，
整理得5x2＋8mx＋4m2－4＝0.③
Δ＝(8m)2－4×5(4m2－4)＝16(5－m2)．
当Δ＞0，即－5＜m＜5时，方程③有两个不同的实数根，代入①可得两个不同的公共点坐标，此时直线与椭圆相交；
当Δ＝0，即m＝±5时，方程③有两个相等的实数根，代入①得一个公共点坐标，此时直线与椭圆相切；
Δ＜0，即m＜－5或m＞5时，方程③无实数根，直线与椭圆相离．
10．解析：方法一 易知直线的斜率k存在．
设所求直线的方程为y－1＝k(x－2)，
由y－1＝k?x－2?，x216＋y24＝1得(4k2＋1)x2－8(2k2－k)x＋4(2k－1)2－16＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1，x2是上述方程的两根，
于是x1＋x2＝8?2k2－k?4k2＋1.
又M为AB的中点，∴x1＋x22＝4?2k2－k?4k2＋1＝2，
解得k＝－12，且满足Δ＞0.
故所求直线的方程为x＋2y－4＝0.
方法二 设A(x1，y1)，B(x2，y2)．
∵M(2,1)为AB的中点，∴x1＋x2＝4，y1＋y2＝2.
又∵A，B两点在椭圆上，∴x21＋4y21＝16，x22＋4y22＝16，
两式相减，得(x21－x22)＋4(y21－y22)＝0，
于是(x1＋x2)(x1－x2)＋4(y1＋y2)(y1－y2)＝0，
∴y1－y2x1－x2＝－x1＋x24?y1＋y2?＝－44×2＝－12，即kAB＝－12.
故所求直线AB的方程为x＋2y－4＝0.
方法三 设所求直线与椭圆的一个交点为A(x，y)．
∵AB的中点为M(2,1)，
∴直线与椭圆的另一个交点为B(4－x,2－y)．
∵A，B两点都在椭圆上，∴x2＋4y2＝16， ①?4－x?2＋4?2－y?2＝16.②
由①－②，得x＋2y－4＝0.
显然点A的坐标满足这个方程，代入验证可知点B的坐标也满足这个方程，而过A，B两点的直线只有一条，故所求直线的方程为x＋2y－4＝0.
11．解析：联立方程组y＝1－x，mx2＋ny2＝1
?(m＋n)x2－2nx＋n－1＝0，
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，MN的中点P(x0，y0)，
则x0＝x1＋x22＝nm＋n，
y0＝1－x0＝1－nm＋n＝mm＋n.
所以kOP＝y0x0＝mn＝22.故选A.
答案：A
12．解析：方法一 由题意知F1(－2，0)，F2(2，0)．设点A和点B的坐标分别为(xA，yA)，(xB，yB)，则F1A→＝(xA＋2，yA)，F2B→＝(xB－2，yB)．
由F1A→＝5F2B→得xB＝xA＋625，yB＝yA5，代入椭圆方程得xA＋62523＋yA52＝1 ①.
又x2A3＋y2A＝1 ②，由①②联立，解得xA＝0，yA＝±1.故点A的坐标为(0,1)或(0，－1)．
方法二 设射线F1A的反向延长线与椭圆交于点B′.因为F1A→＝5F2B→，所以由椭圆的中心对称性可得F1A→＝5B′F1→.
设A(x1，y1)，B′(x2，y2)，则
|F1A|＝cax1＋a＝63x1＋3，|F1B′|＝63x2＋3.
所以63x1＋3＝5×63x2＋3，x1＋2＝5?－2－x2?.解得x1＝0，则y1＝±1.故点A的坐标为(0，±1)．
方法三 设射线F1A的反向延长线与椭圆交于点B′，A(x1，y1)，B′(x2，y2)，直线AB′的方程为y＝k(x＋2)．
由x2＋3y2＝3，y＝k?x＋2?，得(1＋3k2)x2＋62k2x＋6k2－3＝0.所以x1＋x2＝－62k21＋3k2 ①，x1x2＝6k2－31＋3k2 ②.
由F1A→＝5F2B→和椭圆的中心对称性可得，F1A→＝5B′F1→，则有x1＋2＝5(－2－x2)，即x1＋5x2＝－62 ③.
联立①②③，解得k2＝12，
从而解得x1＝0，y1＝±1.
故点A的坐标为(0，±1)．
答案：(0,1)或(0，－1)
13．解析：(1)由ca＝63，a＝3，
所以c＝2，b＝1，
所以椭圆的方程为x23＋y2＝1.
(2)由已知|m|1＋k2＝32，
所以m2＝34(1＋k2)，
联立l：y＝kx＋m和x23＋y2＝1，
消去y，整理可得
(1＋3k2)x2＋6kmx＋3m2－3＝0，
Δ＝(6km)2－4(1＋3k2)(3m2－3)＞0，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
所以x1＋x2＝－6km1＋3k2，x1x2＝3m2－31＋3k2，
所以|AB|2＝(1＋k2)(x1－x2)2
＝12?1＋k2??3k2＋1－m2??1＋3k2?2
＝3?k2＋1??9k2＋1??1＋3k2?2
＝3＋12k29k4＋6k2＋1
＝3＋129k2＋1k2＋6≤4(k≠0)，
当且仅当k＝±33时取等号，
验证知k＝±33满足题意，
显然k＝0时，|AB|2＝3＜4.
所以(S△AOB)max＝12×2×32＝32.
14．解析：(1)由椭圆的定义知|AF2|＋|BF2|＋|AB|＝4a，
又2|AB|＝|AF2|＋|BF2|，得|AB|＝43a.直线l的方程为y＝x＋c，其中c＝a2－b2.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则A，B两点的坐标满足方程组y＝x＋c，x2a2＋y2b2＝1，消去y，化简得(a2＋b2)x2＋2a2cx＋a2(c2－b2)＝0，则x1＋x2＝－2a2ca2＋b2，x1x2＝a2?c2－b2?a2＋b2.
因为直线AB的斜率为1，所以|AB|＝2|x2－x1|＝2[?x1＋x2?2－4x1x2]，即43a＝4ab2a2＋b2，故a2＝2b2，
所以E的离心率e＝ca＝a2－b2a＝22.
(2)设线段AB的中点为N(x0，y0)，由(1)知x0＝x1＋x22＝－a2ca2＋b2＝－2c3，y0＝x0＋c＝c3.
由|PA|＝|PB|，得kPN＝－1，即y0＋1x0＝－1，把x0＝－2c3，y0＝c3代入，得c＝3，从而a＝32，b＝3.
故椭圆E的方程为x218＋y29＝1.
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