(共33张PPT)
2．3.1 双曲线及其标准方程
状元随笔
直接代入b2=c2-a2→求出b2
出双曲线
由双曲线定义求出a→根据b2=2-x2求出b2
的标准方程
设出标准方程→代入点的坐标→求待定系数
建立平面直
由已知条件得
状元随笔
角坐标系
到边长的关系
判断轧迹
写出轧迹方程
的形状(共40张PPT)
2.3.2 双曲线的简单几何性质
y课时作业11 双曲线及其标准方程
[基础巩固]
一、选择题
1．在双曲线的标准方程中，若a＝6，b＝8，则其标准方程是( )
A.－＝1
B.－＝1
C.－＝1
D.－＝1或－＝1
2．在方程mx2－my2＝n中，若mn＜0，则方程表示的曲线是( )
A．焦点在x轴上的椭圆
B．焦点在x轴上的双曲线
C．焦点在y轴上的椭圆
D．焦点在y轴上的双曲线
3．设椭圆C1的离心率为，焦点在x轴上且长轴长为26，若曲线C2上的点到椭圆C1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线C2的标准方程为( )
A.－＝1
B.－＝1
C.－＝1
D.－＝1
4．椭圆＋＝1与双曲线－＝1有相同的焦点，则k应满足的条件是( )
A．k＞3
B．2＜k＜3
C．k＝2
D．0＜k＜2
5.
如图，已知双曲线的方程为－＝1(a＞0，b＞0)，点A，B均在双曲线的右支上，线段AB经过双曲线的右焦点F2，|AB|＝m，F1为双曲线的左焦点，则△ABF1的周长为( )
A．2a＋2m
B．4a＋2m
C．a＋m
D．2a＋4m
二、填空题
6．平面内有两个定点F1(－5,0)和F2(5,0)，动点P满足|PF1|－|PF2|＝6，则动点P的轨迹方程是________．
7．在平面直角坐标xOy中，双曲线－＝1的焦距是________．
8．F1(－4,0)，F2(4,0)是双曲线C：－＝1(m＞0)的两个焦点，点M是双曲线C上一点，且∠F1MF2＝60°，则△F1MF2的面积为________．
三、解答题
9．根据下列条件，求双曲线的标准方程：
(1)与双曲线－＝1有相同的焦点，且经过点(3，2)；
(2)过点P3，，Q－，5且焦点在坐标轴上．
10．设F1，F2为双曲线－＝1的两个焦点，点P在双曲线上，且满足∠F1PF2＝90°，求△F1PF2的周长及面积．
[能力提升]
11．已知双曲线的两个焦点为F1(－，0)，F2(，0)，P是双曲线上的一点，且PF1⊥PF2，|PF1|·|PF2|＝2，则双曲线的方程是( )
A.－＝1
B.－＝1
C.－y2＝1
D．x2－＝1
12．如图，F1，F2是椭圆C1：＋y2＝1与双曲线C2的公共焦点，A，B分别是C1，C2在第二、四象限的公共点．若四边形AF1BF2为矩形，则C2的方程是________．
13．已知定点A(－3,0)和定圆C：(x－3)2＋y2＝16，动圆和圆C相外切，并且过定点A，求动圆圆心M的轨迹方程．
14．已知双曲线过点(3，－2)且与椭圆4x2＋9y2＝36有相同的焦点．
(1)求双曲线的标准方程；
(2)若点M在双曲线上，F1，F2是双曲线的左、右焦点，且|MF1|＋|MF2|＝6，试判断△MF1F2的形状．
课时作业11 双曲线及其标准方程
1．解析：因为没有说明双曲线的焦点所在的坐标轴，故应分焦点在x轴上和焦点在y轴上两种情况进行讨论，显然D选项符合要求．
答案：D
2．解析：将方程化为y2－nm－x2－nm＝1，由mn＜0，知－nm＞0，所以方程表示的曲线是焦点在y轴上的双曲线．
答案：D
3．解析：在椭圆C1中，由2a＝26，ca＝513，得a＝13，c＝5，椭圆C1的焦点为F1(－5,0)，F2(5,0)，曲线C2是以F1，F2为焦点的双曲线，且2a＝8,2c＝10.所以b2＝9，故C2的标准方程为x216－y29＝1.
答案：A
4．解析：双曲线x2k－y23＝1的焦点坐标为(±3＋k，0)，椭圆的焦点坐标为(±9－k2，0)，由椭圆x29＋y2k2＝1与双曲线x2k－y23＝1有相同的焦点，可得3＋k＝9－k2，因为k＞0，所以解得k＝2.
答案：C
5．解析：由双曲线的定义，知|AF1|－|AF2|＝2a，|BF1|－|BF2|＝2a.又|AF2|＋|BF2|＝|AB|，所以△ABF1的周长为|AF1|＋|BF1|＋|AB|＝4a＋2|AB|＝4a＋2m.
答案：B
6．解析：|PF1|－|PF2|＝6＜|F1F2|＝10，根据双曲线的定义可知点P的轨迹为双曲线的右支，且a＝3，c＝5，故b2＝16，故轨迹方程为x29－y216＝1(x≥3)．
答案：x29－y216＝1(x≥3)
7．解析：对于双曲线x27－y23＝1，易知a＝7，b＝3，所以c＝a2＋b2＝10，则焦距2c＝210.
答案：210
8．解析：因为F1(－4,0)，F2(4,0)是双曲线C：x2m－y24＝1(m＞0)的两个焦点，所以m＋4＝16，所以m＝12，设|MF1|＝m′，|MF2|＝n，因为点M是双曲线上一点，且∠F1MF2＝60°，
所以|m′－n|＝43 ①，
m′2＋n2－2m′ncos
60°＝64 ②，
由②－①2得m′n＝16，
所以△F1MF2的面积S＝12m′nsin
60°＝43.
答案：43
9．解析：(1)方法一 因为焦点相同，
所以设所求标准方程为x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)，
所以c2＝16＋4＝20，即a2＋b2＝20，①
因为双曲线经过点(32，2)，所以18a2－4b2＝1，②
由①②得a2＝12，b2＝8，
所以双曲线的标准方程为x212－y28＝1.
方法二 设所求双曲线方程为x216－λ－y24＋λ＝1(－4＜λ＜16)．
因为双曲线过点(32，2)，所以1816－λ－44＋λ＝1，
解得λ＝4，或λ＝－14(舍去)．
所以双曲线的标准方程为x212－y28＝1.
(2)方法一 当焦点在x轴上时，设标准方程为x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)，
因为点P，Q在双曲线上，
所以9a2－22516b2＝1，2569a2－25b2＝1，此方程组无解．
当焦点在y轴上时，设标准方程为y2a2－x2b2＝1(a＞0，b＞0)，
因为点P，Q在双曲线上，
所以22516a2－9b2＝1，25a2－2569b2＝1，解得a2＝9，b2＝16.
所以双曲线的标准方程为y29－x216＝1.
方法二 设双曲线方程为x2m＋y2n＝1，mn＜0.
因为点P，Q在双曲线上，
所以9m＋22516n＝1，2569m＋25n＝1，解得m＝－16，n＝9.
所以双曲线的标准方程为y29－x216＝1.
10．解析：∵点P在双曲线x24－y24＝1上，∴||PF1|－|PF2||＝4，|F1F2|＝42.又∵∠F1PF2＝90°，
∴△F1PF2为直角三角形，
∴|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2＝32.
由方程组||PF1|－|PF2||＝4，|PF1|2＋|PF2|2＝32，
解得|PF1|＝23＋2，|PF2|＝23－2，或|PF1|＝23－2，|PF2|＝23＋2.
∴△F1PF2的周长为|PF1|＋|PF2|＋|F1F2|＝43＋42，
△F1PF2的面积为12|PF1||PF2|＝12(23＋2)(23－2)＝4.
11．解析：∵PF1⊥PF2，∴θ＝∠F1PF2＝90°，又|PF1|?|PF2|＝2，S△PF1F2＝b2tan
θ2＝12|PF1|?|PF2|，即b2tan
45°＝1，
∴b＝1，又c＝5，∴a＝c2－b2＝2，故双曲线的方程为x24－y2＝1.
答案：C
12．解析：由椭圆与双曲线的定义可知，|AF2|＋|AF1|＝4，
|AF2|－|AF1|＝2a，∴|AF2|＝a＋2，|AF1|＝2－a.
又四边形AF1BF2是矩形，∴|AF1|2＋|AF2|2＝|F1F2|2＝(23)2，∴(2－a)2＋(a＋2)2＝12，解得a＝2，
则b2＝c2－a2＝3－2＝1，
故双曲线C2的方程是x22－y2＝1.
答案：x22－y2＝1
13．解析：设M(x，y)，设动圆与圆C的切点为B，|BC|＝4.则|MC|＝|MB|＋|BC|，|MA|＝|MB|，所以|MC|＝|MA|＋|BC|，即|MC|－|MA|＝|BC|＝4＜|AC|.
所以由双曲线的定义知，M点轨迹是以A，C为焦点的双曲线的左支，且a＝2，c＝3，所以b2＝5.
所以所求圆心M的轨迹方程是x24－y25＝1(x≤－2)．
14．解析：(1)椭圆方程可化为x29＋y24＝1，焦点在x轴上，且c＝9－4＝5.故可设双曲线方程为x2a2－y2b2＝1.依题意得9a2－4b2＝1，a2＋b2＝5.解得a2＝3，b2＝2.
故双曲线的标准方程为x23－y22＝1.
(2)不妨设M在双曲线的右支上，
则有|MF1|－|MF2|＝23.
又|MF1|＋|MF2|＝63，
解得|MF1|＝43，|MF2|＝23.
又|F1F2|＝2c＝25，
因此在△MF1F2中，|MF1|边最长，
由余弦定理可得
cos
∠MF2F1＝|MF2|2＋|F1F2|2－|MF1|22|MF2|?|F1F2|
＝?23?2＋?25?2－?43?22×23×25＜0.
所以∠MF2F1为钝角，故△MF1F2是钝角三角形．
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-课时作业12 双曲线的简单几何性质
[基础巩固]
一、选择题
1．双曲线－＝1(a>0，b>0)的离心率为，则其渐近线方程为( )
A．y＝±x
B．y＝±x
C．y＝±x
D．y＝±x
2．若双曲线－＝1(a＞0)的一条渐近线与直线y＝x垂直，则此双曲线的实轴长为( )
A．2
B．4
C．18
D．36
3．已知双曲线－＝1的一条渐近线方程为y＝x，则双曲线的焦距为( )
A.
B．10
C．2
D．2
4．已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线方程为y＝x，它的焦距为8，则此双曲线的方程为( )
A．x2－＝1
B.－y2＝1
C.－＝1
D.－＝1
5．直线3x－4y＝0与双曲线－＝1的交点个数是( )
A．0
B．1
C．2
D．3
二、填空题
6．焦点为(0,6)，且与双曲线－y2＝1有相同的渐近线的双曲线方程是____________．
7．若双曲线－＝1(a＞0)的离心率为，则a＝________.
8．已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的右顶点为A，以A为圆心，b为半径作圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M，N两点．若∠MAN＝60°，则C的离心率为________．
三、解答题
9．求满足下列条件的双曲线的标准方程：
(1)实轴长为8，离心率为；
(2)已知双曲线的中心在原点，焦点F1、F2在坐标轴上，实轴长和虚轴长相等，且过点P(4，－)．
10．已知直线y＝kx与双曲线4x2－y2＝16.当k为何值时，直线与双曲线：
(1)有两个公共点？(2)有一个公共点？(3)没有公共点？
[能力提升]
11．已知双曲线方程为x2－＝1，过P(1,0)的直线l与双曲线只有一个公共点，则直线l共有( )
A．4条
B．3条
C．2条
D．1条
12．已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点．若＝，·＝0，则C的离心率为________．
13．求满足下列条件的双曲线的标准方程；
(1)以直线2x±3y＝0为渐近线，过点(1,2)；
(2)与双曲线－＝1具有相同的渐近线，且过点M(3，－2)；
(3)过点(2,0)，与双曲线－＝1离心率相等；
(4)与椭圆＋＝1有公共焦点，离心率为.
14．直线y＝ax＋1与双曲线3x2－y2＝1相交于A，B两点．
(1)求线段AB的长；
(2)当a为何值时，以AB为直径的圆经过坐标原点？
课时作业12 双曲线的简单几何性质
1．解析：在双曲线中，离心率e＝ca＝1＋ba2＝3，可得ba＝2，故所求的双曲线的渐近线方程是y＝±2x.
答案：A
2．解析：因为双曲线的渐近线方程为y＝±a3x，所以－a3?13＝－1，得a＝9，从而实轴长2a＝18.
答案：C
3．解析：由题意得m9＝23，所以m＝4，所以2c＝29＋4＝213.
答案：C
4．解析：由题知2c＝8，所以c＝4.又y＝3x＝bax，所以b＝3a(a，b，c＞0)．又a2＋b2＝c2，所以a2＋3a2＝16，得a＝2，b＝23.故双曲线的方程为x24－y212＝1.
答案：C
5．解析：方法一 联立直线3x－4y＝0与双曲线y29－x216＝1的方程，得3x－4y＝0，y29－x216＝1，方程组无解，说明直线与双曲线没有交点．
方法二 观察可知直线3x－4y＝0是双曲线y29－x216＝1的一条渐近线，因此交点个数为0.
答案：A
6．解析：由x22－y2＝1，得双曲线的渐近线为y＝±22x.设双曲线方程为x22－y2＝λ(λ＜0)，所以x22λ－y2λ＝1.所以－λ－2λ＝36，所以λ＝－12.故双曲线方程为y212－x224＝1.
答案：y212－x224＝1
7．解析：由题意可得，a2＋4a2＝54，得a2＝16，又a＞0，所以a＝4.
答案：4
8．解析：因为∠MAN＝60°，所以△MAN为正三角形，所以点A到双曲线的一条渐近线的距离为32b.因为A(a,0)，一条渐近线的方程为bx＋ay＝0，所以|ab＋0|b2＋a2＝32b，所以a＝32c，所以e＝ca＝c32c＝233.
答案：233
9．解析：(1)设双曲线的标准方程为x2a2－y2b2＝1或y2a2－x2b2＝1(a＞0，b＞0)，
由题意知2a＝8，ca＝54，结合c2＝a2＋b2，可得a＝4，c＝5，b＝3，
∴双曲线的标准方程为x216－y29＝1或y216－x29＝1.
(2)由2a＝2b得a＝b，
∴e＝1＋b2a2＝2，
∴可设双曲线方程为x2－y2＝λ(λ≠0)．
∵双曲线过点P(4，－10)，
∴16－10＝λ，即λ＝6.
∴双曲线方程为x2－y2＝6.
∴双曲线的标准方程为x26－y26＝1.
10．解析：由y＝kx，4x2－y2＝16消去y，得(4－k2)x2－16＝0 (
)．
当4－k2＝0，即k＝±2时，方程(
)无解；
当4－k2≠0时，Δ＝－4(4－k2)(－16)＝64(4－k2)，
当Δ＞0，即－2＜k＜2时，方程(
)有两解；
当Δ＜0，即k＜－2或k＞2时，方程(
)无解；
当Δ＝0，且4－k2≠0时，不存在这样的k值．
综上所述，(1)当－2＜k＜2时，直线与双曲线有两个公共点；
(2)不存在使直线与双曲线有一个公共点的k值；
(3)当k≤－2或k≥2时，直线与双曲线没有公共点．
11．解析：因为双曲线方程为x2－y24＝1，所以P(1,0)是双曲线的右顶点，所以过P(1,0)并且和x轴垂直的直线是双曲线的一条切线，与双曲线只有一个公共点，另外还有两条就是过P(1,0)分别和两条渐近线平行的直线，所以符合要求的直线l共有3条．
答案：B
12.
解析：双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的渐近线方程为y＝±bax，
∵F1B→?F2B→＝0，∴F1B⊥F2B，
∴点B在⊙O：x2＋y2＝c2上，如图所示，
不妨设点B在第一象限，由y＝bax，x2＋y2＝c2，a2＋b2＝c2，x＞0得点B(a，b)，
∵F1A→＝AB→，∴点A为线段F1B的中点，
∴Aa－c2，b2，将其代入y＝－bax得b2＝－ba×a－c2.
解得c＝2a，故e＝ca＝2.
答案：2
13．解析：(1)方法一 由题意可设所求双曲线方程为4x2－9y2＝λ(λ≠0)，将点(1,2)的坐标代入方程解得λ＝－32.
因此所求双曲线的标准方程为y2329－x28＝1.
方法二 由题意可设所求双曲线方程为x2m－y2n＝1(mn＞0)．
由题意，得1m－4n＝1，nm＝49，解得m＝－8，n＝－329.
因此所求双曲线的标准方程为y2329－x28＝1.
(2)设所求双曲线方程为y24－x23＝λ(λ≠0)．
由点M(3，－2)在双曲线上得44－93＝λ，得λ＝－2.
故所求双曲线的标准方程为x26－y28＝1.
(3)当所求双曲线的焦点在x轴上时，可设其方程为x264－y216＝λ(λ＞0)，将点(2,0)的坐标代入方程得λ＝116，故所求双曲线的标准方程为x24－y2＝1；
当所求双曲线的焦点在y轴上时，可设其方程为y264－x216＝λ(λ＞0)，将点(2,0)的坐标代入方程得λ＝－14＜0(舍去)．
综上可知，所求双曲线的标准方程为x24－y2＝1.
(4)方法一 由椭圆方程可得焦点坐标为(－3,0)，(3,0)，即c＝3且焦点在x轴上．
设双曲线的标准方程为x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)．
因为e＝ca＝32，所以a＝2，则b2＝c2－a2＝5，故所求双曲线的标准方程为x24－y25＝1.
方法二 因为椭圆焦点在x轴上，所以可设双曲线的标准方程为x225－λ－y2λ－16＝1(16＜λ＜25)．
因为e＝32，所以λ－1625－λ＝94－1，解得λ＝21.故所求双曲线的标准方程为x24－y25＝1.
14．解析：由y＝ax＋1，3x2－y2＝1，得(3－a2)x2－2ax－2＝0.
由题意可得3－a2≠0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝2a3－a2，x1x2＝－23－a2.
(1)|AB|＝?x1－x2?2＋?y1－y2?2
＝?1＋a2?[?x1＋x2?2－4x1x2]
＝?1＋a2?2a3－a22＋83－a2
＝2?1＋a2??6－a2?|3－a2|.
(2)由题意知，OA⊥OB，则OA→?OB→＝0，即x1x2＋y1y2＝0，
∴x1x2＋(ax1＋1)(ax2＋1)＝0.
即(1＋a2)x1x2＋a(x1＋x2)＋1＝0，
∴(1＋a2)?－23－a2＋a?2a3－a2＋1＝0，解得a＝±1.
经检验，a＝±1时，以AB为直径的圆经过坐标原点．
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