(共30张PPT)
2．4.1 抛物线及其标准方程
状元随笔(1)(2)题意可确
定方程形式
p
写出抛物线
的标准方程
(3))设出抛物线代入点的写出抛物线
的标准方程坐标求岑的标准方程
写出分悟况讨论写出抛物线
(4)
点坐标焦点的位置的标准方程(共31张PPT)
2．4.2 抛物线的简单几何性质课时作业13 抛物线及其标准方程
[基础巩固]
一、选择题
1．顶点在原点，且过点(－4,4)的抛物线的标准方程是( )
A．y2＝－4x
B．x2＝4y
C．y2＝－4x或x2＝4y
D．y2＝4x或x2＝－4y
2．抛物线y＝ax2的准线方程是y＝2，则a的值为( )
A.
B．－
C．8
D．－8
3．过点A(3,0)且与y轴相切的圆的圆心的轨迹为( )
A．圆
B．椭圆
C．直线
D．抛物线
4．抛物线y2＝2px(p＞0)上横坐标为6的点到焦点的距离是10，则焦点到准线的距离是( )
A．4
B．8
C．16
D．32
5．若抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点是椭圆＋＝1的一个焦点，则p＝( )
A．2
B．3
C．4
D．8
二、填空题
6．若抛物线y2＝2px的焦点坐标为(1,0)，则p＝________，准线方程为________．
7．抛物线y2＝12x上一点M的横坐标是3，纵坐标大于0，则点M到焦点的距离是________．
8．喷灌的喷头装在直立管柱OA的顶点A处，喷出水流的最高点B高5
m，且与OA所在的直线相距4
m，水流落在以O为圆心，半径为9
m的圆上，则管柱OA＝________m.
三、解答题
9．若抛物线y2＝2px(p＞0)上一点M到准线及对称轴的距离分别为10和6，求M点的横坐标及抛物线的方程．
10．平面上一动点P到定点F(1,0)的距离比点P到y轴的距离大1，求动点P的轨迹方程．
[能力提升]
11．已知定点A(1,1)和直线l：x＋y－2＝0，则到定点A的距离和到定直线l的距离相等的点的轨迹为( )
A．椭圆
B．双曲线
C．抛物线
D．直线
12．若抛物线y2＝2x上的两点A，B到焦点的距离之和是5，则线段AB的中点的横坐标是________．
13．若抛物线y2＝－2px(p＞0)上有一点M，其横坐标为－9，它到焦点的距离为10，求抛物线方程和M点的坐标．
14．一辆卡车高3
m，宽1.6
m，欲通过断面为抛物线形的隧道，如图所示，已知拱口AB的宽度恰好是拱高OD的4倍．设拱宽为a
m，求能使卡车安全通过的a的最小整数值．
课时作业13 抛物线及其标准方程
1．解析：设抛物线方程为y2＝－2p1x(p1>0)或x2＝2p2y(p2>0)，把(－4,4)代入得16＝8p1或16＝8p2，即p1＝2或p2＝2.
故抛物线的标准方程为y2＝－4x或x2＝4y.故选C.
答案：C
2．解析：抛物线y＝ax2的标准方程是x2＝1ay，则其准线方程为y＝－14a＝2，所以a＝－18.
答案：B
3．解析：
如图，设P为满足条件的一点，不难得出结论：点P到点A的距离等于点P到y轴的距离，故点P在以点A为焦点，y轴为准线的抛物线上，故点P的轨迹为抛物线．
答案：D
4．解析：因为横坐标为6的点到焦点的距离是10，所以该点到准线的距离为10，
抛物线的准线方程为x＝－p2，
所以6＋p2＝10，所以p＝8.
答案：B
5．解析：∵抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点坐标为p2，0，∴由已知得椭圆x23p＋y2p＝1的一个焦点为p2，0.
∴3p－p＝p24，又p＞0，∴p＝8.
答案：D
6．解析：因为抛物线的焦点坐标为(1,0)，所以p2＝1，p＝2，准线方程为x＝－p2＝－1.
答案：2 x＝－1
7．解析：y2＝12x中，2p＝12，p＝6，焦点坐标是F(3,0)．
方法一 将x＝3代入y2＝12x中，得y2＝36，又M的纵坐标大于0，则y＝6，所以M(3,6)，则|MF|＝?3－3?2＋?0－6?2＝6.
方法二 由焦半径公式知|MF|＝3＋p2＝3＋3＝6.
答案：6
8．解析：如图所示，建立直角坐标系，设水流所形成的抛物线的方程为x2＝－2py(p＞0)，
因为点C(5，－5)在抛物线上，
所以25＝－2p?(－5)，因此2p＝5，
所以抛物线的方程为x2＝－5y，
因为点A(－4，y0)在抛物线上，
所以16＝－5y0
即y0＝－165，
所以OA的长为5－165＝1.8(m)．
即管柱OA的长为1.8
m.
答案：1.8
9．解析：∵点M到对称轴的距离为6，且抛物线的对称轴为x轴，
∴可设点M的坐标为(x,6)．
又∵点M到准线的距离为10，
∴62＝2px，x＋p2＝10，
解得x＝9，p＝2或x＝1，p＝18.
故当点M的横坐标为9时，抛物线的方程为y2＝4x；当点M的横坐标为1时，抛物线的方程为y2＝36x.
10．解析：方法一 设点P的坐标为(x，y)，则有?x－1?2＋y2＝|x|＋1.
两边平方并化简，得y2＝2x＋2|x|.
即y2＝4x?x≥0?，0?x＜0?，
故动点P的轨迹方程为y2＝4x(x≥0)或y＝0(x＜0)．
方法二 由题意，动点P到定点F(1,0)的距离比到y轴的距离大1，由于点F(1,0)到y轴的距离为1，故当x＜0时，直线y＝0上的点符合题意；当x≥0时，题中条件等价于点P到点F(1,0)与到直线x＝－1的距离相等，故点P的轨迹是以F为焦点，直线x＝－1为准线的抛物线，轨迹方程为y2＝4x.
故所求动点P的轨迹方程为y2＝4x(x≥0)或y＝0(x＜0)．
11．解析：因为点A(1,1)在直线l：x＋y－2＝0上，所以到定点A的距离和到定直线l的距离相等的点的轨迹是过定点A且与直线l：x＋y－2＝0垂直的直线．
答案：D
12．解析：设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，由抛物线定义知点A到焦点F的距离等于点A到准线的距离，即|AF|＝x1＋p2＝x1＋12.同理|BF|＝x2＋p2＝x2＋12.故|AF|＋|BF|＝x1＋x2＋1＝5，即x1＋x2＝4，得x1＋x22＝2.故线段AB的中点的横坐标是2.
答案：2
13．解析：由抛物线定义，得焦点为F－p2，0，准线为x＝p2，
由题意设M到准线的距离为|MN|，则
|MN|＝|MF|＝10，
即p2－(－9)＝10，
所以p＝2，
故抛物线方程为y2＝－4x，
将M(－9，y0)代入y2＝－4x，解得y0＝±6，
所以M(－9,6)或M(－9，－6)．
14．解析：以拱顶O为原点，拱高DO所在的直线为y轴建立平面直角坐标系，如图所示．
设抛物线方程为x2＝－2py(p＞0)，易知点B的坐标为a2，－a4.
由点B在抛物线上，
得a22＝－2p?－a4，
∴p＝a2，∴抛物线方程是x2＝－ay.
设点E(0.8，y0)为此抛物线上一点，代入方程x2＝－ay，
得(0.8)2＝－ay0，
∴y0＝－0.64a，
∴点E到拱底AB的距离h＝a4－|y0|＝a4－0.64am，
令h＞3，即a4－0.64a＞3，
解得a＞12＋154.242或a＜12－154.242(舍去)，
∴能使卡车安全通过的a的最小整数值为13.
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-课时作业14 抛物线的简单几何性质
[基础巩固]
一、选择题
1．过抛物线C：y2＝4x的焦点作直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)，如果x1＋x2＝6，那么|AB|＝( )
A．8
B．10
C．6
D．4
2．抛物线y＝－x2上的点到直线4x＋3y－8＝0距离的最小值是( )
A.
B.
C.
D．3
3．已知抛物线y2＝4x的焦点为F，准线为l，点P为抛物线上一点，且在第一象限，PA⊥l，垂足为A，|PF|＝4，则直线AF的倾斜角等于( )
A.
B.
C.
D.
4．若直线y＝2x＋与抛物线x2＝2py(p＞0)相交于A，B两点，则|AB|等于( )
A．5p
B．10p
C．11p
D．12p
5．已知点P在抛物线x2＝4y上，则当点P到点Q(1,2)的距离与点P到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P的坐标为( )
A．(2,1)
B．(－2,1)
C．－1，
D．1，
二、填空题
6．已知点F为抛物线y2＝4x的焦点，该抛物线上位于第一象限的点A到其准线的距离为5，则直线AF的斜率为________．
7．已知抛物线y2＝x，则弦长为定值1的焦点弦有________条．
8．已知A(2,0)，B为抛物线y2＝x上一点，则|AB|的最小值为________．
三、解答题
9．已知直线x－2y－1＝0被焦点在y轴上，顶点在原点的抛物线截得的弦长为，求此抛物线的方程．
10．已知等边三角形AOB的顶点A，B在抛物线y2＝x上，O为坐标原点，顶点A到抛物线的焦点F的距离等于，求△AOB的面积．
[能力提升]
11．设抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过点(－2,0)且斜率为的直线与C交于M，N两点，则·＝( )
A．5
B．6
C．7
D．8
12．设F为抛物线C：y2＝4x的焦点，过点P(－1,0)的直线l交抛物线C于A，B两点，点Q为线段AB的中点．若|FQ|＝2，则直线l的斜率等于________．
13．已知抛物线C：y2＝3x的焦点为F，斜率为的直线l与C的交点为A，B，与x轴的交点为P.
(1)若|AF|＋|BF|＝4，求l的方程；
(2)若＝3，求|AB|.
14．设点P(x，y)(y≥0)为平面直角坐标系xOy内的一个动点(其中O为坐标原点)，点P到定点M0，的距离比点P到x轴的距离大.
(1)求点P的轨迹方程；
(2)若直线l：y＝kx＋1与点P的轨迹相交于A，B两点，且|AB|＝2，求实数k的值．
课时作业14 抛物线的简单几何性质
1．解析：根据抛物线的定义可知，抛物线上的点到焦点的距离等于到抛物线准线的距离，所以|AB|＝x1＋x2＋p＝6＋2＝8.
答案：A
2．解析：设抛物线y＝－x2上一点为(m，－m2)，该点到直线4x＋3y－8＝0的距离为
|4m－3m2－8|5＝－3m－232－2035，
故当m＝23时，取得最小值，为43.
答案：A
3．解析：设P(x1，y1)，由题意得F(1,0)，
所以|PF|＝x1＋1＝4?x1＝3，所以y1＝23，
所以A(－1,23)，所以kAF＝23－0－1－1＝－3，所以倾斜角为2π3.
答案：B
4．解析：将直线方程代入抛物线方程，可得x2－4px－p2＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝4p，
∴y1＋y2＝9p.
∵直线过抛物线的焦点，
∴|AB|＝y1＋y2＋p＝10p.
答案：B
5．解析：根据抛物线的定义，点P到焦点的距离等于点P到准线的距离，所以点P到点Q(1,2)的距离与点P到抛物线焦点距离之和最小，只需点P到点Q(1,2)的距离与点P到准线的距离之和最小，过点Q(1,2)作准线的垂线，交抛物线于点P，此时距离之和最小，点P的坐标为1，14.
答案：D
6．解析：由抛物线定义得：xA＋1＝5，xA＝4，又点A位于第一象限，因此yA＝4，从而kAF＝4－04－1＝43.
答案：43
7．解析：因为通径的长2p为焦点弦长的最小值，所以给定弦长a，若a＞2p，则焦点弦存在两条；若a＝2p，则焦点弦存在一条；若a＜2p，则焦点弦不存在．由y2＝12x知p＝14，则通径长2p＝12，因为1＞12，所以弦长为定值1的焦点弦有2条．
答案：2
8．解析：设点B(x，y)，则x＝y2≥0，所以
|AB|＝?x－2?2＋y2＝?x－2?2＋x＝x2－3x＋4＝x－322＋74.
所以当x＝32时，|AB|取得最小值，且|AB|min＝72.
答案：72
9．解析：设抛物线方程为x2＝ay(a≠0)，
由x2＝ay，x－2y－1＝0消去y，得2x2－ax＋a＝0.
∵直线与抛物线有两个交点，
∴Δ＝(－a)2－4×2×a＞0，即a＜0或a＞8.
设直线与抛物线的两个交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1＋x2＝a2，x1x2＝a2，y1－y2＝12(x1－x2)，
∴|AB|＝?x1－x2?2＋?y1－y2?2＝54?x1－x2?2
＝54[?x1＋x2?2－4x1x2]＝145?a2－8a?.
∵|AB|＝15，
∴145?a2－8a?＝15，
即a2－8a－48＝0，解得a＝－4或a＝12，
∴抛物线方程为x2＝－4y或x2＝12y.
10．解析：∵△AOB是等边三角形，A、B在抛物线y2＝x上，
∴顶点A，B关于抛物线的对称轴(x轴)对称，
不妨设A(y0，y0)(y0＞0)，则B(y0，－y0)．
由|AF|＝y0＋14＝134，解得y0＝3，∴y0＝3，
∴△AOB的边长|AB|＝2y0＝23，
∴△AOB的面积为12×(23)2×32＝33.
11．解析：设M(x1，y1)，N(x2，y2)．由已知可得直线的方程为y＝23(x＋2)，即x＝32y－2，由y2＝4x，x＝32y－2得y2－6y＋8＝0.
由根与系数的关系可得y1＋y2＝6，y1y2＝8，∴x1＋x2＝32(y1＋y2)－4＝5，x1x2＝?y1y2?216＝4，∵F(1,0)，∴FM→?FN→＝(x1－1)?(x2－1)＋y1y2＝x1x2－(x1＋x2)＋1＋y1y2＝4－5＋1＋8＝8，故选D.
答案：D
12．解析：方法一 设直线l的方程为x＝my－1(m≠0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，由x＝my－1，y2＝4x，消去x整理得y2－4my＋4＝0，由根与系数关系得y1＋y2＝4m，y1y2＝4，则x1＋x2＝m(y1＋y2)－2＝4m2－2，所以Q(2m2－1,2m)．由F(1,0)及|FQ|＝2知，?2m?2＋?2m2－1－1?2＝2，解得m2＝1，故直线l的斜率等于±1(此时直线AB与抛物线相切，为满足题意的极限情况)．
方法二 注意到|FQ|＝2，正好是抛物线通径长的一半，所以点Q为通径的一个端点，其坐标为(1,2)或(1，－2)，这时A，B，Q三点重合，直线l的斜率为±1.
答案：±1
13．解析：设直线l：y＝32x＋t，A(x1，y1)，B(x2，y2)．
(1)由题设得F34，0，故|AF|＋|BF|＝x1＋x2＋32.
又|AF|＋|BF|＝4，所以x1＋x2＝52.
由y＝32x＋t，y2＝3x可得9x2＋12(t－1)x＋4t2＝0，
则x1＋x2＝－12?t－1?9.
从而－12?t－1?9＝52，得t＝－78.
所以l的方程为y＝32x－78.
(2)由AP→＝3PB→可得y1＝－3y2.
由y＝32x＋t，y2＝3x可得y2－2y＋2t＝0，
所以y1＋y2＝2.从而－3y2＋y2＝2，故y2＝－1，y1＝3.
代入C的方程得x1＝3，x2＝13.
故|AB|＝4133.
14．解析：(1)过点P作x轴的垂线且垂足为点N，则|PN|＝y，由题意知|PM|－|PN|＝12，∴
x2＋y－122＝y＋12，化简得x2＝2y.故点P的轨迹方程为x2＝2y.
(2)由题意设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
联立y＝kx＋1，x2＝2y，消去y化简得x2－2kx－2＝0，
则x1＋x2＝2k，x1x2＝－2.
∵|AB|＝1＋k2?x1＋x2?2－4x1x2
＝1＋k24k2＋8
＝26，
∴k4＋3k2－4＝0，又k2≥0，∴k2＝1，∴k＝±1.
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