(共38张PPT)
第1课时 空间向量与平行、垂直关系(共41张PPT)
第2课时 空间向量与空间角
DI
lT
D
X
/|
B
B
X课时作业19 空间向量与平行、垂直关系
[基础巩固]
一、选择题
1．已知平面α内有一点M(1，－1,2)，平面α的一个法向量为n＝(6，－3,6)，则下列点P中，在平面α内的是( )
A．P(2,3,3)
B．P(－2,0,1)
C．P(－4,4,0)
D．P(3，－3,4)
2．已知线段AB的两端点坐标为A(9，－3,4)，B(9,2,1)，则线段AB与坐标平面( )
A．xOy平行
B．xOz平行
C．yOz平行
D．yOz相交
3．已知平面α内的两个向量a＝(2,3,1)，b＝(5,6,4)，则平面α的一个法向量的坐标为( )
A．(1，－1,1)
B．(2，－1,1)
C．(－2,1,1)
D．(－1,1，－1)
4．若直线l的方向向量为a＝(1,1,1)，向量b＝(1，－1,0)和向量c＝(0,1，－1)所在的直线都与平面α平行，则( )
A．l⊥α
B．l∥α
C．l?α
D．以上都不对
5．若平面α，β的一个法向量分别为m＝(－1,2,4)，n＝(x，－1，－2)，且α⊥β，则x的值为( )
A．10
B．－10
C.
D．－
二、填空题
6．若直线l的方向向量为a＝(1,0,2)，平面α的法向量为n＝(－2,0，－4)，则直线l与平面α的位置关系为________．
7．已知两平面α，β的法向量分别为u1＝(1,0,1)，u2＝(0,2,0)，则平面α，β的位置关系为________．
8．给出下列命题：
①若n1，n2分别是平面α，β的法向量，则n1∥n2?α∥β；
②若n1，n2分别是平面α，β的法向量，则α∥β?n1·n2＝0；
③若n是平面α的法向量，且向量a?α，则a·n＝0；
④若两个平面的法向量不垂直，则这两个平面一定不垂直．
其中正确的命题是________(填序号)．
三、解答题
9．根据下列条件，判断相应的线、面位置关系：
(1)直线l1，l2的方向向量分别是a＝(1，－3，－1)，b＝(8,2,2)；
(2)平面α，β的法向量分别是u＝(1,3,0)，v＝(－3，－9,0)；
(3)直线l的方向向量、平面α的法向量分别是a＝(1，－4，－3)，u＝(2,0,3)；
(4)直线l的方向向量、平面α的法向量分别是a＝(3,2,1)，u＝(－1,2，－1)；
(5)直线l1与l2的方向向量分别是a＝(－2,1,4)，b＝(6,3,3)；
(6)平面α与β的法向量分别是u＝(1，－1,2)，v＝(3,2，－)．
10．长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝3，AA1＝4，AD＝5，求证：平面A1BD∥平面B1D1C.
[能力提升]
11．已知直线l1的一个方向向量a＝(2,4，x)，直线l2的一个方向向量b＝(2，y,2)，若|a|＝6，且l1⊥l2，则x＋y的值是( )
A．－3或1
B．3或－1
C．－3
D．1
12．若点A(0,2，)，B(1，－1，)，C(－2,1，)是平面α内的三点，设平面α的法向量a＝(x，y，z)，则x?y?z＝________.
13．如图所示，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，垂足为A，AB⊥AD于A，AC⊥CD于C，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中点．
求证：PD⊥平面ABE.
14．如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD＝DC，E是PC的中点，作EF⊥PB于点F.
(1)证明PA∥平面EDB；
(2)证明PB⊥平面EFD.
课时作业19 空间向量与平行、垂直关系
1．解析：逐一验证法，对于选项A，＝(1,4,1)，
所以·n＝6－12＋6＝0，所以⊥n，
所以点P在平面α内，同理可验证其他三个点不在平面α内．
答案：A
2．解析：因为＝(9,2,1)－(9，－3,4)＝(0,5，－3)，所以AB∥平面yOz.
答案：C
3．解析：显然a与b不平行．设平面α的法向量为n＝(x，y，z)，
则
∴
令z＝1，得x＝－2，y＝1，
∴n＝(－2,1,1)．故选C.
答案：C
4．解析：∵a·b＝(1,1,1)·(1，－1,0)＝0，
a·c＝(1,1,1)·(0,1，－1)＝0，
∴a⊥b，a⊥c，又b与c不平行且b、c所在的直线都与平面α平行，
∴l⊥α.
答案：A
5．解析：若α⊥β，则它们的法向量也互相垂直，即m·n＝0，即(－1,2,4)·(x，－1，－2)＝0，解得x＝－10，故选B.
答案：B
6．解析：因为a＝(1,0,2)，n＝(－2,0，－4)，
所以n＝－2a，即a∥n.所以l⊥α.
答案：垂直
7．解析：因为u1·u2＝(1,0,1)·(0,2,0)＝0，所以两平面的法向量垂直，即两平面垂直．
答案：垂直
8．解析：②中，α∥β?n1∥n2.
答案：①③④
9．解析：(1)∵a＝(1，－3，－1)，b＝(8,2,2)，
∴a·b＝8－6－2＝0，
∴a⊥b，即l1⊥l2.
(2)∵u＝(1,3,0)，v＝(－3，－9,0)，
∴v＝－3u，
∴v∥u，即α∥β.
(3)∵a＝(1，－4，－3)，u＝(2,0,3)，
∴a·u≠0且a≠ku(k∈R)，
∴a与u既不共线也不垂直，即l与α相交但不垂直．
(4)∵a＝(3,2,1)，u＝(－1,2，－1)，
∴a·u＝－3＋4－1＝0，
∴a⊥u，即l∥α或l在α内．
(5)∵a＝(－2,1,4)，b＝(6,3,3)，∴a·b≠0且a≠kb(k∈R)，∴a，b既不共线也不垂直，即l1与l2相交但不垂直或异面但不垂直．
(6)∵u＝(1，－1,2)，v＝(3,2，－)，∴u·v＝3－2－1＝0，∴u⊥v，即α⊥β.
10．解析：如图，以D为坐标原点，分别以DA、
DC、DD1所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系．
则A1(5,0,4)，B(5,3,0)，D(0,0,0)，D1(0,0,4)，B1(5,3,4)，C(0,3,0)，
∴＝(－5,0，－4)，＝(0,3，－4)，＝(0,3，－4)，＝(－5,0，－4)．
设平面A1BD的法向量为m＝(x，y，z)，
则即
取z＝1，解得x＝－，y＝，即m＝.
设平面B1D1C的法向量为n＝(a，b，c)，
则即
令c＝1，可求得n＝，
∴m＝n，即m∥n，
∴平面A1BD∥平面B1D1C1.
11．解析：∵|a|＝＝6，∴x＝±4.
又l1⊥l2，∴a⊥b，∴a·b＝2×2＋4y＋2x＝0，
∴y＝－1－x.
当x＝4时，y＝－3；当x＝－4时，y＝1，∴x＋y＝－3或1.
答案：A
12．解析：＝(1，－3，－)，＝(－2，－1，－)．
由得
得∴x?y?z＝y?y?(－y)＝2?3?(－4)．
答案：2?3?(－4)
13．解析：如图所示，以A为坐标原点建立空间直角坐标系，
设PA＝AB＝BC＝1，则A(0,0,0)，P(0,0,1)，B(1,0,0)，
因为∠ABC＝60°，AB＝BC，
所以△ABC为正三角形．
所以C，E.
设D(0，y,0)，
由AC⊥CD得·＝0，
所以·＝0，
即y＝，则D.
设平面ABE的法向量为n＝(x，y，z)，
因为＝(1,0,0)，
＝，
所以
即
令y＝2，则n＝(0,2，－)．
又＝，
显然＝n，所以∥n，
所以⊥平面ABE，
即PD⊥平面ABE.
14．解析：如图所示，建立空间直角坐标系，D是坐标原点，设DC＝a.
(1)连接AC交BD于G，连接EG.
依题意，得A(a,0,0)，P(0,0，a)，E(0，，)．
∵底面ABCD是正方形，∴G是正方形ABCD的中心．
故点G的坐标为，
则＝(a,0，－a)，＝，∴＝2，
即PA∥EG.
而EG?平面EDB，PA?平面EDB，
∴PA∥平面EDB.
(2)依题意，得D(0,0,0)，B(a，a,0)，∴＝(a，a，－a)．
又＝，故·＝0＋－＝0，
∴PB⊥DE.
又EF⊥PB，且EF∩DE＝E，
∴PB⊥平面EFD.
PAGE
-
6
-课时作业20 空间向量与空间角
[基础巩固]
一、选择题
1．如图，在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，
AA1＝2AB，则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为( )
A.
B.
C.
D.
2．已知A∈α，P?α，＝(－，，)，平面α的一个法向量n＝(0，－，－)，则直线PA与平面α所成的角为( )
A．30° B．45°
C．60° D．150°
3．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为BB1的中点，则平面A1ED与平面ABCD所成的锐二面角的余弦值为( )
A.
B.
C.
D.
4．如图，在长方体ABCD－
A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AA1＝1，则BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为( )
A.
B.
C.
D.
5．已知在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝2AB，则CD与平面BDC1所成角的正弦值等于( )
A.
B.
C.
D.
二、填空题
6．设直线l1的方向向量为s1＝(1,1,1)，直线l2的方向向量为s2＝(－2,2，－2)，则l1，l2夹角的余弦值为________．
7．正三角形ABC与正三角形BCD所在的平面互相垂直，则直线CD与平面ABD所成角的正弦值为________．
8．已知A(2,2,0)，B(1,4,2)，C(0,0,1)，则原点O到平面ABC的距离为________．
三、解答题
9．如图，已知两个正四棱锥P－ABCD与Q－ABCD的高分别为1和2，AB＝4.求异面直线AQ与PB所成角的余弦值．
10．如图，四棱锥P－ABCD的底面ABCD为平行四边形，DA＝DP，BA＝BP.
(1)求证：PA⊥BD；
(2)若DA⊥DP，∠ABP＝60°，BA＝BP＝BD＝2，求二面角D－PC－B的正弦值．
[能力提升
]
11．已知矩形ABCD与ABEF全等，D－AB－F为直二面角，M为AB中点，FM与BD所成角为θ，且cos
θ＝，则AB与BC的边长之比为( )
A．1∶1
B.∶1
C.∶2
D．1∶2
12．正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为a，则平面AB1D1与平面BDC1的距离为________．
13．如图，在四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，侧棱AA1⊥底面ABCD，AB∥DC，AA1＝1，AB＝3k，AD＝4k，BC＝5k，DC＝6k(k＞0)．
(1)求证：CD⊥平面ADD1A1；
(2)若直线AA1与平面AB1C所成角的正弦值为，求k的值．
14．已知边长为4的正三角形ABC，E，F分别为BC和AC的中点．PA＝2，且PA⊥平面ABC，设Q是CE的中点．
(1)求证：AE∥平面PFQ；
(2)求AE与平面PFQ间的距离．
课时作业20 空间向量与空间角
1．解析：以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系Dxyz(图略)，设AB＝1，
则B(1,1,0)，A1(1,0,2)，A(1,0,0)，D1(0,0,2)，
＝(0,1，－2)，＝(－1,0,2)，
cos〈，〉＝＝＝－，所以异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为.故选D
答案：D
2．解析：设直线PA与平面α所成的角为θ，
则sin
θ＝|cos〈，n〉|
＝＝.
又θ∈[0°，90°]，所以θ＝60°.
答案：C
3．解析：如图所示，建立空间直角坐标系，设正方体
棱长为1，
则D(0,0,0)，A1(1,0,1)，E(1,1，)，
所以＝(1,0,1)，＝(1,1，)．
设平面A1ED的法向量为n＝(x，y，z)，
则n·＝0，且n·＝0，
即
令x＝1，得y＝－，z＝－1，
所以n＝(1，－，－1)．
又平面ABCD的一个法向量为＝(0,0,1)．
所以cos〈n，〉＝＝－.
所以平面A1ED与平面ABCD所成的锐二面角的余弦值为.
故选B.
答案：B
4．解析：如图所示，建立空间直角
坐标系，则D(0,0,0)，A(2,0,0)，B(2,2,0)，C(0,2,0)，D1(0,0,1)，C1(0,2,1)，∴＝(－2,0,1)．连接AC，易证AC⊥平面BB1D1D，所以平面BB1D1D的一个法向量为a＝＝(－2,2,0)．
∴所求角的正弦值为|cos〈a，〉|＝＝＝.
答案：D
5．解析：以D为坐标原点，建立空间直角坐标
系，如图．设AA1＝2AB＝2，则D(0,0,0)，C(0,1,0)，B(1,1,0)，C1(0,1,2)，则＝(0,1,0)，＝(1,1,0)，＝(0,1,2)．设平面BDC1的法向量为n＝(x，y，z)，则n⊥，n⊥，所以有令y＝－2，可得平面BDC1的一个法向量为n＝(2，－2,1)．设CD与平面BDC1所成的角为θ，则sin
θ＝|cos〈n，〉|＝＝.
答案：A
6．解析：∵cos〈s1，s2〉＝＝
＝－＜0，∴〈s1，s2〉＞，
∴l1，l2的夹角θ＝π－〈s1，s2〉，∴cos
θ＝.
答案：
7．解析：取BC的中点O，连接AO，DO，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz.
设BC＝1，则A，B，C，D，
所以＝，＝，
＝.
设平面ABD的法向量为n＝(x，y，z)，
则所以取x＝1，则y＝－，
z＝1，
所以n＝(1，－，1)，
所以cos〈n，〉＝＝，
因此直线CD与平面ABD所成角的正弦值为.
答案：
8．解析：由题意得＝(－1,2,2)，＝(－2，－2,1)，设平面ABC的法向量为n＝(x，y，z)，则n·＝－x＋2y＋2z＝0，n·＝－2x－2y＋z＝0，
解得：x＝－2y，z＝－2y.令y＝－1，得x＝z＝2.
∴平面ABC的一个法向量n＝(2，－1,2)．又＝(2,2,0)，
∴原点O到平面ABC的距离为d＝＝.
答案：
9．解析：由题设知，ABCD是正方形，连接AC，BD，交于点O，则AC⊥BD.连接PQ，则PQ过点O.
由正四棱锥的性质知PQ⊥平面ABCD，故以O为坐标原点，以直线CA，DB，QP分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则P(0,0,1)，A(2，0,0)，Q(0,0，－2)，B(0,2，0)，
∴＝(－2，0，－2)，＝(0,2，－1)．
于是cos〈，〉＝＝，
∴异面直线AQ与PB所成角的余弦值为.
10．解析：(1)如图，取AP的中点M，连接DM，BM，
∵DA＝DP，BA＝BP，
∴PA⊥DM，PA⊥BM，
∵DM∩BM＝M，
∴PA⊥平面DMB，
又BD?平面DMB，
∴PA⊥BD.
(2)∵DA＝DP，BA＝BP，
DA⊥DP，∠ABP＝60°，
∴△DAP是等腰直角三角形，△ABP是等边三角形，
∵AB＝PB＝BD＝2，
∴DM＝1，BM＝.
∴BD2＝MB2＋MD2，∴MD⊥MB.
以M为坐标原点，MP，MB，MD所在的直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则A(－1,0,0)，B(0，，0)，P(1,0,0)，D(0,0,1)，从而得＝(1,0，－1)，＝＝(1，，0)，＝(1，－，0)，＝＝(1,0,1)．
设平面DPC的法向量为n1＝(x1，y1，z1)，
则即
∴取n1＝(－，1，－)，
设平面PCB的法向量为n2＝(x2，y2，z2)，
由得∴取n2＝(，1，－)，
∴cos〈n1，n2〉＝＝.
设二面角D－PC－B的平面角为α，
∴sin
α＝＝.
11．解析：设AB＝a，BC＝b，建立如图所示的空间
直角坐标系Axyz，则相关各点坐标为F(b,0,0)，M(0，，0)，B(0，a,0)，D(0,0，b)，
＝(－b，，0)，＝(0，－a，b)，
所以||＝，
||＝，·＝－，
|cos〈，〉|＝＝，
整理得4×＋5×－26＝0，解得＝2或＝－(舍)，
所以＝＝.故选C.
答案：C
12．解析：由正方体的性质易得平面AB1D1∥平面BDC1，则两平面间的距离可转化为点B到平面AB1D1的距离．显然A1C⊥平面AB1D1，以D为坐标原点，，，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系，则平面AB1D1的一个法向量为n＝(1，－1,1)．又A(a,0,0)，B(a，a,0)，＝(0，－a,0)，则两平面间的距离d＝＝＝a.
答案：a
13．解析：(1)如图，取CD的中点E，连接BE.
∵AB∥DE，AB＝DE＝3k，∴四边形ABED为平行四边形，
∴BE∥AD且BE＝AD＝4k.
在△BCE中，∵BE＝4k，CE＝3k，BC＝5k，
∴BE2＋CE2＝BC2，∴∠BEC＝90°，即BE⊥CD.
又BE∥AD，∴CD⊥AD.
∵AA1⊥平面ABCD，CD?平面ABCD，∴AA1⊥CD.
又AA1∩AD＝A，∴CD⊥平面ADD1A1.
(2)以D为坐标原点，，，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，
则A(4k,0,0)，C(0,6k,0)，B1(4k,3k,1)，A1(4k,0,1)，
∴＝(－4k,6k,0)，＝(0,3k,1)，＝(0,0,1)．
设平面AB1C的法向量为n＝(x，y，z)，则即取y＝2，可得平面AB1C的一个法向量为n＝(3,2，－6k)．
设AA1与平面AB1C所成的角为θ，则sin
θ＝|cos〈，n〉|＝||＝＝，解得k＝1.
故k的值为1.
14．解析：如图，以A为坐标原
点，平面ABC内垂直于AC边所在直线的直线为x轴，AC所在直线为y轴，AP所在直线为z轴建立空间直角坐标系．
∵AP＝2，AB＝BC＝AC＝4，又E，F分别是BC，AC的中点，
∴A(0,0,0)，B(2，2,0)，C(0,4,0)，F(0,2,0)，E(，3,0)，Q(，，0)，P(0,0,2)．
(1)∵＝(，，0)，＝(，3,0)，∴＝2.∵与无交点，∴AE∥FQ.又FQ?平面PFQ，AE?平面PFQ，
∴AE∥平面PFQ.
(2)由(1)知，AE∥平面PFQ，
∴点A到平面PFQ的距离就是AE与平面PFQ间的距离．
设平面PFQ的法向量n＝(x，y，z)，
则n⊥，n⊥，即n·＝0，n·＝0.
又＝(0,2，－2)，∴n·＝2y－2z＝0，即y＝z.
又＝(，，0)，∴n·＝x＋y＝0，
即x＝－y.
令y＝1，则x＝－，z＝1，∴平面PFQ的一个法向量为n＝(－，1,1)．又＝(－，－，0)，∴所求距离d＝＝.
PAGE
-
1
-
