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第二十三章
旋转
第31课时
图形的旋转作图
知识点导学
A.
旋转后的图形的作法：根据旋转的性质可知，对应角相等，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形.
B.
旋转作图有自己的特点，决定图形位置的因素较多，如旋转角度、旋转方向、旋转中心，任一因素不同，位置就不同，但得到的图形全等.
1.
如图1-23-31-1,画出△ABC绕点C顺时针旋转90°后的图形△A′B′C.
解：如答图23-31-1，△A′B′C即为所求．
典型例题
知识点1：以图形上的某一点为旋转中心作图
【例1】如图1-23-31-2，已知△ABC是等腰直角三角形，∠C为直角.
画出△ABC以点A为旋转中心，逆时针旋转45°后的图形.
解：如答图23-31-2,△AB′C′即为所求.
变式训练
1.
如图1-23-31-3，等边三角形ABC中有一点P，在图中画出△APC绕点A顺时针旋转60°后的△AP1B.
解：如答图23-31-5,△AP1B即为所求.
典型例题
知识点2：以图形外的某一点为旋转中心作图
【例2】如图1-23-31-4，画出线段AB以点O为中心，逆时针旋转90°后的图形.
解：如答图23-31-3,A′B′即为所求.
变式训练
2.
如图1-23-31-5，画出将△ABC绕点O顺时针旋转90°后的对应三角形.
解：如答图23-31-6,△A′B′C′即为所求.
典型例题
知识点3：网格中的旋转作图
【例3】在如图1-23-31-6所示的方格纸中，每个小方格都是边长为1个单位的正方形.△ABC的三个顶点都在格点上.
画出△ABC绕点O顺时针旋转90°后的△A1B1C1.
解：如答图23-31-4,△A1B1C1即为所求.
变式训练
3.
如图1-23-31-7，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为A（4，6）,B（5，2）,C（2，1）.将△ABC绕点C按逆时针方向旋转90°
得到△A′B′C.
（1）画出△A′B′C；
（2）写出点A′和B′的坐标.
解：（1）如答图23-31-7,△A′B′C即为所求.
（2）点A′的坐标为（-3，3），
点B′的坐标为（1，4）.
分层训练
A
组
4.
如图1-23-31-8，画出△ABC绕点A按逆时针方向旋转90°后的△AB′C′.
解：如答图23-31-8，△AB′C′即为所求.
5.
如图1-23-31-9，在6×6的方形网格中，有一个Rt△ABC，∠ACB=90°，A，B，C三点都在格点上.
将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△A′B′C，在图中作出△A′B′C.
解：如答图23-31-9，△A′B′C即为所求.
B
组
6.
如图1-23-31-10，在平面直角坐标系中，△ABC三个顶点的坐标分别为A（1，1），B（4，2），C（3，4）.
（1）请画出△ABC绕O点逆时针旋转90°后的△A1B1C1；
（2）写出A1，B1，C1的坐标.
6.
解：（1）如答图23-31-10，△A1B1C1即为所求.
（2）A1（-1,1），B1（-2,4），C1（-4,3）.
7.
如图1-23-31-11，已知A（-3，-3），
B（-2，-1），C（-1，-2）是平面直角坐标系上的三点.
画出△ABC绕原点O顺时针旋转90°后的图形，并写出各顶点旋转后的坐标.
解：图略.旋转后点A,B,C的对应点的坐标分别为（-3，3），（-1，2），（-2，1）.
C
组
8.
如图1-23-31-12，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BC=1，AC=
（1）以点B为旋转中心，将△ABC按逆时针方向旋转90°得到△A′BC′，请画出变换后的图形；
（2）求点A和点A′之间的距离.
解：（1）如答图23-31-11，△A′BC′即为所求.
9.
如图1-23-31-13，已知四边形ABCD四个顶点的坐标分别是A（-2，1），B（0，-1），C（3，2），D（0，3），
（1）将四边形ABCD绕原点O顺时针旋转90°得四边形A1B1C1D1，画出四边形A1B1C1D1，并写出A1，B1，C1，D1的坐标；
（2）直接写出四边形ABCD与
四边形A1B1C1D1重叠部分的面积.
解：（1）如答图23-31-12，四边形A1B1C1D1即为所求.其中，A1的坐标为（1，2），B1的坐标为（-1，0），C1的坐标为（2，-3），D1的坐标为（3，0）.
（2）四边形ABCD与四边形A1B1C1D1重叠部分的面积为3×3-2×
×2×2-2×
×1×1=4.(共74张PPT)
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第二十三章
旋转
第36课时
旋转单元复习课
知识点导学
C
A.
旋转的相关概念及性质.
1.
在学习《图形变化的简单应用》这一节时，老师要求同学们利用图形变化设计图案．下列设计的图案中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是
(
)
B.
中心对称与中心对称图形.
C.
坐标与旋转变换.
典型例题
知识点1：旋转的相关概念及性质
【例1】如图1-23-36-1，将△AOB绕点O按逆时针方向旋转45°后得到△A′OB′.若∠AOB=15°，则∠AOB′的度数是
（
)
A.
25°
B.
30°
C.
35°
D.
40°
B
变式训练
1.
如图1-23-36-2,将△ABC绕点A顺时针旋转90°得到△AED.若点B,D,E在同一条直线上，∠BAC=20°，则∠ADB的度数为
（
）
A.
55°
B.
60°
C.
65°
D.
70°
C
典型例题
知识点2：中心对称与中心对称图形
【例2】如图1-23-36-3，△ABC绕点O旋转180°后得到△A1B1C1.有下列说法：
①∠BAC=∠B1A1C1；
②AC=A1C1；
③OA=OA1；
④△ABC与△A1B1C1的面积相等.
其中正确的有
（
）
A.
1个
B.
2个
C.
3个
D.
4个
D
变式训练
2.
以下分别是回收、
节水、
绿色包装、
低碳四个标志，
其中是中心对称图形的是
(
)
C
典型例题
知识点3：坐标与旋转变换
【例3】如图1-23-36-4，若将△ABC绕点O逆时针旋转90°.
（1）画出旋转后的图形△A1B1C1；
（2）点B1的坐标为
_____________.
（-2，4）
解：（1）略.
变式训练
3.
如图1-23-36-5，△ABC在平面直角坐标系内，顶点的坐标分别为A(－1,5)，B(－4,2)，C(－2,2)．
（1）平移△ABC，使点B移动到点B1(1,1)，画出平移后的△A1B1C1，并写出点A1，C1的坐标；
（2）画出△ABC关于原点O对
称的△A2B2C2；
（3）线段AA1的
长度为
______________．
解：（1）平移后的△A1B1C1如答图23-36-1所示.点A1(4，4)，C1(3,1)．
（2）△ABC关于原点O对称的△A2B2C2如答图23-36-1所示．
（3）AA1=
故答案为
分层训练
A
组
4.
有下列现象：①时针的转动；②摩天轮的转动；③地下水位逐年下降；④传送带上的机器人.
其中，属于旋转的是
（
）
A.
①②
B.
②③
C.
①④
D.
③④
A
5.
在平面直角坐标系中，点A的坐标为(a,3)，点B的坐标是(4,b).若点A与点B关于原点O对称，则
ab=
________．
6.
如图1-23-36-6，点A,B,C,D都在方格纸的格点上.若△AOB绕点O按逆时针方向旋转到△COD的位置，则旋转角为
________.
12
90°
7.
下列图标中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是
（
）
D
B
组
8.
如图1-23-36-7，将Rt△ABC绕直角顶点C顺时针旋转90°，得到△DEC，连接AD.若∠BAC=25°，则∠BAD=
________．
70°
9.
如图1-23-36-8，将△ABC绕点A逆时针旋转150°，得到△ADE.这时点B，C，D恰好在同一直线上，则∠B的度数为
________．
15°
C
组
10.
如图1-23-36-9，在Rt△ABC中，∠C=90°.把Rt△ABC绕着点B逆时针旋转，得到Rt△DBE，点E在AB上.
（1）若∠BDA=70°，求∠BAC的度数；
（2）若BC=8，AC=6，求
△ABD中AD边上的高的长.
解：（1）由旋转的性质知BD=BA,∠CBA=∠EBD.
∵BA=BD，
∴∠BAD=∠BDA=70°.
∴∠ABD=∠ABC=40°.
∵∠C=90°，∴∠BAC=50°.
11.
如图1-23-36-10,正方形ABCD的边长为3，E,F分别是AB，BC边上的点，且∠EDF=45°.
将△DAE绕点D逆时针旋转90°，得到△DCM.
（1）求证：EF=FM；
（2）当AE=1时，求EF的长.
（1）证明：∵∠EDF=45°，
∴∠ADE+∠FDC=45°.
由旋转的性质可知，∠CDM=∠ADE，DE=DM，F，C，M
三点共线，
∴∠FDM=∠FDC+∠CDM=∠FDC+∠ADE=45°.
∴∠FDM=∠EDF.
在△EDF和△MDF中，
∴△EDF≌△MDF(SAS).
∴EF=FM.
（2）解:设EF=MF=x.
∵AE=CM=1，BC=3，
∴BM=BC+CM=3+1=4.
∴BF=BM-MF=BM-EF=4-x.
EB=AB-AE=3-1=2.
在Rt△EBF中，由勾股定理,得
EB2+BF2=EF2，即22+（4-x）2=x2.
解得x=2.5，则EF=2.5.(共30张PPT)
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第二十三章
旋转
第33课时
中心对称图形
知识点导学
A.
把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心.
B.
中心对称图形和中心对称不同，中心对称是两个图形之间的关系，而中心对称图形是指一个图形自身的特点，这点应注意区分，它们性质相同，应用方法相同.
1.
（2019内江）下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是
(
)
D
典型例题
知识点1：中心对称图形
【例1】下面四个手机应用图标属于中心对称图形的是
（
）
B
变式训练
1.
（2019桂林）下列图形是中心对称图形的是
(
)
A
典型例题
知识点2：中心对称与中心对称图形
【例2】下列说法错误的是
（
）
A.
成中心对称的两个图形全等
B.
成中心对称的两个图形中，对称点的连线被对称轴平分
C.
中心对称图形的对称中心是对称点连线的中点
D.
中心对称图形绕对称中心旋转180°后，都能与自身重合
B
变式训练
2.
（2019百色）下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是
(
)
A.
正三角形
B.
正五边形
C.
等腰直角三角形
D.
矩形
D
典型例题
知识点3：中心对称图形与轴对称图形
【例3】（2019绵阳）不考虑颜色，对如图1-23-33-1的图形对称性的表述，正确的是
(
)
A.
它是轴对称图形
B.
它是中心对称图形
C.
它既是轴对称图形又是中心对称图形
D.
它既不是轴对称图形又不是中心对称图形
B
变式训练
3.
下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的有_______个
(
)
A.
0
B.
1
C.
2
D.
3
C
分层训练
A
组
4.
下列四个图形是中心对称图形的是
（
）
C
5.
下列图形既是中心对称图形又是轴对称图形的是
(
)
A
B
组
6.
北京教育资源丰富，高校林立.下面四个高校校徽图案既不是中心对称图形，也不是轴对称图形的是
（
）
D
7.
如图1-23-33-3,图1和图2中所有的小正方形都全等，将图1的正方形放在图2中①②③④的某一位置，使它与原来7个小正方形组成的图形是中心对称图形，这个位置是
(
)
A.
①
B.
②
C.
③
D.
④
C
C
组
8.
如图1-23-33-4是4×4的正方形网格，把其中一个标有数字的白色小正方形涂灰，就可以使图中的灰色部分构成一个中心对称图形，则这个白色小正方形内的数字是
________．
3
9.
如图1-23-33-5①所示的四张牌，若只将其中一张牌旋转180°后得到图1-23-33-5②，则旋转的牌是
________.
方块5(共67张PPT)
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第二十三章
旋转
第35课时
课题学习图案设计
知识点导学
A.
一个基本图案经过平移、旋转、轴对称以及中心对称等变换可得到一些复合图案.
B.
利用旋转设计图案的关键是利用旋转中的三个要素（①旋转中心；②旋转方向；③旋转角度）设计图案.
通过变换不同的旋转角度或者绕着不同的旋转中心向着不同的方向进行旋转都可设计出美丽的图案.
1.
将图1-23-35-1中所示的图案以圆心为中心，旋转180°后得到的图案是
(
)
C
典型例题
知识点1：图案的形成
【例1】以下由两个全等的直角三角板拼成的图形属于中心对称图形的是
(
)
D
变式训练
1.
在下面的四个设计好的图案中，是中心对称图形的是
(
)
C
典型例题
知识点2：图案的简单设计
【例2】在如图1-23-35-2所示的方格纸中，选择标有序号1,2,3,4中的一个小正方形涂灰，与图中阴影部分构成中心对称图形，涂灰的小正方形上的序号是
________.
4
变式训练
2.
要在一块长方形的空地上修建一个既是轴对称图形又是中心对称图形的花坛（阴影部分为花坛），下列图案不符合设计要求的是
（
）
D
典型例题
知识点3：图案的综合设计
【例3】如图1-23-35-3是用围棋棋子在6×6的正方形网格中摆出的图案.棋子的位置用有序实数对表示，如A点的位置为(5,1).若再摆一黑一白两枚棋子，使这9枚棋子组成的图案既是轴对称图形又是中心对称图形，则下列摆放正确的是
________（请填写正确答案的序号）.
①黑(1,5)，白(5,5)
②黑(3,2)，白(3,3)
③黑(3,3)，白(3,1)
④黑(3,1)，白(3,3)
④
变式训练
3.
李兵同学家买了新房，准备装修地面.为节约开支，购买了两种质量相同、颜色不同的残缺地砖，现已加工成如图1-23-35-4①的等腰直角三角形形状，李兵同学设计出如图1-23-35-4②所示的四种图案：
（1）请问你喜欢哪种图案?并简述该图案的形成过程；
（2）请你利用平移、旋转、轴对称等知识再设计一幅与上述不同的图案.
解:（1）答图23-35-1最后一个图案的形成过程是：以同行或同列的两个小正方形组成的长方形为“基本图案”，绕大正方形的中心旋转180°得到．
（2）如答图23-35-1.
(答案不唯一)
分层训练
A
组
4.
如图1-23-35-5所示的美丽图案，可以看作是由一个三角形绕旋转中心旋转
________次，每次旋转
________度形成的．
7
45
5.
如图1-23-35-6，三菱标志是一种常见的商标，你认为怎样设计可得到它?
（
）
A.
用一个菱形平移得到的
B.
用一个菱形经过两次旋转，每次旋转60°得到的
C.
用一个菱形经过两次旋转，每次旋转90°得到的
D.
用一个菱形经过两次旋转，每次旋转120°得到的
D
B
组
6.
在俄罗斯方块的游戏中，已拼好的图案如图1-23-35-7.现又出现一小方格体正向下运动，为了使所有图案消失，你必须进行以下哪项操作，才能拼成一个完整图案，使其自动消失?
（
）
A.
顺时针旋转90°，向右平移
B.
逆时针旋转90°，向右平移
C.
顺时针旋转90°，向下平移
D.
逆时针旋转90°，向下平移
A
7.
下列四个图形中，若以其中一部分作为基本图案，无论用旋转还是平移都不能得到整个图形的是
（
）
C
8.
如图1-23-35-8，香港特别行政区区徽由五个相同的花瓣组成，它是以一个花瓣为“基本图案”通过连续四次旋转组成的.在这四次旋转中，旋转角度最小是
________度.
72
9.
下列四个图案中，既可用旋转来分析整个图案的形成过程，又可用平移来分析整个图案的形成过程的是
（
）
C
C
组
10.
请在图1-23-35-9的两个2×2的方格中，各画出一个三角形，使所画的三角形顶点与方格中的小正方形顶点重合，并将所画三角形涂上阴影．所画三角形要符合下列要求：
（1）在图1中所画三角形与原三角形（阴影部分）成轴对称图形；
（2）在图2中所画三角形与
原三角形（阴影部分）成
中心对称图形．
解：（1）如答图23-35-2的图1，△ABC即为所求.
（2）如答图23-35-2的图2所示，△DEF即为所求．
(1)、(2)答案均不唯一.
11.
在如图1-23-35-10的4×4的方格内选5个小正方形，让它们组成一个轴对称图形.请在图中画出你的4种方案（每个4×4的方格内限画一种）.要求：
（1）5个小正方形必须相连（有公共边或公共顶点视为相连）；
（2）将选中的小正方形的方格用黑色签字笔涂成阴影图形.
（若两个方案的图形经过翻折、平移、旋转后能够重合，则视为一种方案）
略.(共42张PPT)
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第二十三章
旋转
本章知识结构图
核心内容
图形的旋转
把一个平面图形绕着平面内某一点O转动一个角度的图形变换叫做旋转,点O叫做旋转中心,转动的角叫做旋转角．
旋转的三个要素：旋转中心、旋转方向和旋转角度．
旋转的性质：
①对应点到旋转中心的距离相等；②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；③旋转前后的图形全等.
核心内容
中心对称
把一个图形绕着某一点旋转180°，如果它能与另一个图形重合，那么这两个图形关于这一点对称或中心对称，这个点叫做对称中心，这两个图形的对应点叫做关于对称中心的对称点.
中心对称的性质：①关于中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心平分;②关于中心对称的两个图形是全等图形.
当两个点关于原点对称时，它们的坐标的符号相反，即点P（x，y）关于原点对称的点的坐标为P′（-x，-y）.
核心内容
课题学习
图案设计
由一个基本图案可以通过平移、旋转、轴对称以及中心对称等方法变换出一些复合图案.
利用旋转设计图案的关键是利用旋转中的三个要素（①旋转中心；
②旋转方向；
③旋转角度）设计图案.
通过变换不同的旋转角度或者绕着不同的旋转中心向着不同的方向进行旋转都可以设计出美丽的图案.(共19张PPT)
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第二十三章
旋转
第29课时
旋转的概念及性质
知识点导学
B
A.
把一个平面图形绕着平面内某一点O转动一个角度的图形变换叫做旋转,点O叫做旋转中心,转动的角叫做旋转角.
1.
下列事件中，属于旋转的是
(
)
A.
小明向北走了4
m
B.
时针转动
C.
电梯从1楼到12楼
D.
一物体从高空坠下
B.
旋转的性质：
①对应点到旋转中心的距离相等；②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；③旋转前、后的图形全等.
C.
旋转的三个要素：旋转中心、旋转方向和旋转角度.
典型例题
知识点1：旋转的有关概念
【例1】如图1-23-29-1，△AOB旋转到△A′OB′的位置.
若∠AOA′=90°，则旋转中心是点
________,旋转角是
___________________,点A的对应点是点
________,线段AB的对应线段是
________,∠B的对应角是
________,∠BOB′=
________.
O
∠AOA′或∠BOB′
A′
A′B′
∠B′
90°
变式训练
1.
如图1-23-29-2，△ABC绕点C顺时针旋转90°后得到△A′B′C，则：
（1）线段AB的对应线段是
________，线段AC的对应线段是
________，线段BC的对应线段是
________；
（2）∠A的对应角是
__________，
∠B的对应角是
________.
A′B′
A′C
B′C
∠A′
∠B′
典型例题
知识点2：运用旋转的基本性质求角度和边长
【例2】如图1-23-29-3，△OAB绕点O逆时针旋转90°到△OCD的位置，已知∠AOB=40°，则∠AOD的度数为
________.
50°
变式训练
2.
如图1-23-29-4，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6.△ABC绕着点B逆时针旋转90°到△A′BC′的位置，则AA′的长为
（
）
A.
10
B.
10
C.
20
D.
5
A
典型例题
知识点3：旋转基本性质的简单运用
【例3】如图1-23-29-5，△ABC旋转后与△AED重合，且△ABE为等边三角形，那么:
（1）旋转中心是
________；
（2）旋转方向是
________；
（3）旋转角是
__________________；
点A
顺时针
∠BAE或∠CAD
（4）AC的对应线段是
________，BC的对应线段是
________，∠ABC的对应角是
________;
（5）连接CD，试判断△ACD的形状.
AD
ED
∠AED
解：（5）依题意，∵△ABC顺时针旋转60°
后与△AED重合，
∴∠CAD=60°,且CA=AD.
∴△ACD是等边三角形.
变式训练
3.
如图1-23-29-6，四边形ABCD是正方形，E是DC上一点，F是CB延长线上一点.△ADE旋转后能与△ABF重合.
（1）旋转中心是哪一点？
（2）旋转了多少度？
（3）连接EF，那么△AEF
是怎样的三角形？
解：（1）点A.
（2）90°.
（3）△AEF是等腰直角三角形.理由如下.
∵△ADE绕点A顺时针旋转90°后与△ABF重合，
∴AE=AF,且∠FAE=90°.
∴△AEF是等腰直角三角形.
分层训练
A
组
4.
时间经过25分钟，钟表的分针旋转了(
)
A.
150°
B.
120°
C.
25°
D.
12.5°
A
5.
将图1-23-29-7的图形绕其中心点O按顺时针方向旋转60°后可得到的图形是
(
)
A
6.
如图1-23-29-8，将△ABC绕点O旋转得到△A′B′C′，且∠AOB=30°，∠AOB′=20°，则：
（1）点B的对应点是
________；
（2）线段OB的对应线段是
____________；
（3）∠AOB的对应角是
_______________；
（4）△ABC旋转的度数是
________.
点B′
线段OB′
∠A′OB′
50°
7.
如图1-23-29-9，△ABC绕旋转中心O逆时针旋转60°后到△A′B′C′的位置，则OA=
________，OB=
________，AB=
________，BC=
________，CA=
________，∠CAB=
________________，
∠ABC=____________，∠BCA=
_______________，
∠AOA′=
________________________=60°.
OA′
OB′
A′B′
B′C′
C′A′
∠C′A′B′
∠A′B′C′
∠B′C′A′
∠COC′或∠BOB′
B
组
8.
如图1-23-29-10，把△AOB绕点O顺时针旋转得到△COD，则旋转角是
（
）
A.
∠AOC
B.
∠AOD
C.
∠AOB
D.
∠BOC
A
9.
如图1-23-29-11，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=35°．将△ABC绕点C逆时针旋转α得到△DCE.若DC∥AB，则旋转角α的度数等于
(
)
A.
35°
B.
45°
C.
55°
D.
65°
C
C
组
10.
如图1-23-29-12，△ABC为等边三角形，将BC边绕点B顺时针旋转30°，得到线段BD，连接AD，CD，求∠ADC的度数．
解：根据题意可知BD=BC，∠DBC=30°．
∴∠BDC=(180°-∠DBC)÷2=
(180°-30°)÷2=75°．
∵△ABC为等边三角形，
∴AB=BC，∠ABC=60°．
∴AB=BD,∠ABD=∠ABC+∠DBC=60°+30°=90°.
∴∠BDA=45°．
∴∠ADC=∠BDC-∠BDA=75°-45°=30°．
11.
如图1-23-29-13，以点A为旋转中心，把△ABC逆时针旋转120°，得到△AB′C′（点B,C的对应点分别为点B′,C′），连接BB′.若AC′∥BB′，求∠CAB′的度数.(共48张PPT)
第一部分
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第二十三章
旋转
第32课时
中
心
对
称
知识点导学
A.
把一个图形绕着某一点旋转180°，如果它能与另一个图形重合，那么这两个图形关于这一点对称或中心对称，这个点叫做对称中心.这两个图形在旋转后能重合的对应点叫做关于对称中心的对称点.
B.
中心对称的性质：①中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心平分；②中心对称的两个图形是全等图形.
1.
如图1-23-32-1，四边形ABCD与四边形FGHE关于一个点中心对称，则这个点是
(
)
A.
O1
B.
O2
C.
O3
D.
O4
A
典型例题
知识点1：中心对称的有关概念
【例1】如图1-23-32-2，如果△ABC与△A′B′C′关于点O中心对称，那么：
（1）△ABC绕点O旋转
________°后能与△A′B′C′重合；
（2）线段AA′,BB′,CC′都经过点
________；
（3）OA=
________，
OB′=
________，
AC=
________.
180
O
OA′
OB
A′C′
变式训练
1.
下列选项中，△A′B′C′与△ABC成中心对称的是
（
）
A
典型例题
知识点2：中心对称的性质
【例2】已知△ABC和△EDF关于点O对称，相应的对称点如图1-23-32-3，则下列结论正确的是
（
）
A.
AO=BO
B.
点A关于点O的对称点是点D
C.
BO=EO
D.
点D
在BO的延长线上
D
变式训练
2.
如图1-23-32-4，△ABC与△A′B′C′是成中心对称的两个图形，则下列说法不正确的是
（
）
A.
AB=A′B′，BC=B′C′
B.
AB∥A′B′，BC∥B′C′
C.
S△ABC=S△A′B′C′
D.
△ABC≌△A′OC′
D
典型例题
知识点3：中心对称的作图
【例3】如图1-23-32-5，将△ABC绕着点B旋转180°得到△A2B2C2，画出△A2B2C2.
略.
变式训练
3.
如图1-23-32-6，已知△ABC和点O，画出△DEF，使△DEF和△ABC关于点O中心对称.
解：如答图23-32-1，△DEF即为所求.
分层训练
A
组
4.
如图1-23-32-7，已知△AOB与△DOC成中心对称.△AOB的面积是6，AB=3，则△DOC中CD边上的高是
____________．
4
5.
如图1-23-32-8，△DEC与△ABC关于点C中心对称.AB=3，AC=1，∠D=90°，则AE的长是
________．
B
组
6.
如图1-23-32-9，已知△ABC与△DEF关于某点对称，则对称中心是
（
）
A.
点C
B.
点D
C.
线段BC的中点
D.
线段FC的中点
D
7.
如图1-23-32-10，△ABC和△DEF关于点O中心对称.
（1）作出对称中心O；
（2）若AB=6，AC=5，BC=4，求△DEF的周长.
解：（1）如答图23-32-2，点O即为所求.
（2）∵△ABC和△DEF关于点O中心对称，
∴△DEF≌△ABC.
∴DE=AB=6，DF=AC=5，EF=BC=4.
∴△DEF的周长=DE+DF+EF=6+5+4=15.
C
组
8.
如图1-23-32-11，△ABO与△CDO关于点O中心对称.点E，F在线段AC上，且AF=CE，求证：DF=BE.
证明：∵△ABO与△CDO关于点O中心对称，
∴BO=DO，AO=CO.∵AF=CE，
∴AO-AF=CO-CE.∴FO=EO.
在△FOD和△EOB中,
∴△FOD≌△EOB（SAS）.
∴DF=BE.
9.
如图1-23-32-12，将一张直角三角形纸片ABC沿中位线DE剪开后在平面上将△BDE绕着CB的中点D逆时针旋转180°，点E到了点E′位置，判断四边形ACE′E的形状并证明.(共18张PPT)
第一部分
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第二十三章
旋转
第34课时
关于原点对称的点的坐标
知识点导学
B
A.
当两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P（x，y）关于原点对称的点为P′的坐标为（-x，-y）.
1.
（2019常德）点(－1,2)关于原点对称的点的坐标是
(
)
A.
(－1,－2)
B.
(1,－2)
C.
(1,2)
D.
(2,－1)
知识点1：求关于原点对称的点的坐标
【例1】在平面直角坐标系中，点P(－3,－5)关于原点对称的点的坐标是
(
)
A.
(3,－5)
B.
(－3,5)
C.
(3,5)
D.
(－3,－5)
C
典型例题
1.
（2019贵港）若点P(m－1,5)与点Q(3,2－n)关于原点中心对称，则m+n的值是
(
)
A.
1
B.
3
C.
5
D.
7
C
变式训练
典型例题
知识点2：求图形中关于原点中心对称的点的坐标
【例2】如图1-23-34-1，
ABCD的对角线的交点是原点，AD∥BC，D（3，2），C（1.5，-2），则点A的坐标为
______________，
点B的坐标为
______________.
（-1.5，2）
（-3，-2）
变式训练
2.
如图1-23-34-2，在平面直角坐标系中，
MNEF的两条对角线ME，NF交于原点O，点F的坐标是（4，2)，则点N的坐标为
（
）
A.
（－4，－2)
B.
（－4，2)
C.
（－2，4)
D.
（2，4)
A
典型例题
知识点3：平面直角坐标系中的中心对称
【例3】如图1-23-34-3，在边长为1的正方形网格中，建立平面直角坐标系，△ABC的顶点均在格点上.
画出△ABC关于原点中心对称的△A′B′C′，并直接写出△A′B′C′各顶点的坐标.
解：图略.A′（4,0），
B′（3,3），C′（1,3）.
变式训练
3.
如图1-23-34-4，在平面直角坐标系内，△ABC的顶点坐标分别为A（-1，5），B（-4，2），
C（-2，2）.
（1）画出△ABC关于原点O对称的△A1B1C1；
（2）线段BB1的长度为
________.
解：（1）图略.
分层训练
A组
4.
（2019巴中）在平面直角坐标系中，已知点A(－4,3)与点B关于原点对称，则点B的坐标为
(
)
A.
(－4,－3)
B.
(4,3)
C.
(4,－3)
D.
(－4,3)
C
5.
已知点A(a,1)与点A′(5,b)关于坐标原点对称，则实数a，b的值是
(
)
A.
a=5，b=1
B.
a=－5，b=1
C.
a=5，b=－1
D.
a=－5，b=－1
D
6.
（2019安顺）在平面直角坐标系中，点P(－3,m2+1)关于原点对称的点在
(
)
A.
第一象限
B.
第二象限
C.
第三象限
D.
第四象限
D
7.
若点P（x，-3）与点Q（4，y）关于原点对称，则xy的值是
（
）
A.
12
B.
-12
C.
64
D.
-64
B
B
组
8.
若点A（a-2，3）和点B（-1，2b+2）关于原点对称，求a，b的值.
解：∵点A（a-2，3）和点B（-1，2b+2）关于原点对称，
∴a-2=-（-1），3=-（2b+2）.
解得a=3，b=-
9.
已知点A（1-2x，y-4）与点B（2y+1，x-1）关于原点对称，求yx.
解：由题意，得
解得
∴yx=23=8.
10.
如图1-23-34-5，已知在△ABC中，A（-3，3），B（-4，1），C（-2，2）.
（1）画出△ABC关于坐标原点对称的△A1B1C1;
（2）写出△A1B1C1各顶点的坐标.
解：（1）图略.
（2）A1（3，-3），
B1（4，-1），
C1（2，-2）.
11.
如图1-23-34-6，在平面直角坐标系中画正方形网格，△ABC的顶点都在格点上，点C坐标是
（0，-1）.
（1）作出△ABC关于原点对称的△A1B1C1；
（2）写出点A1的坐标.
解：（1）图略.
（2）点A1的坐标为（1，-2）.
C
组
12.
设点A与点B关于x轴对称，点A与点C关于y轴对称，则点B与点C
（
）
A.
关于x轴对称
B.
关于y轴对称
C.
关于原点对称
D.
既关于x轴对称，又关于y轴对称
C
13.
已知点P（a＋1，2a－3)关于原点的对称点在第二象限，则a的取值范围是
（
）
A.
a＜－1
B.
－1＜a＜
C.
－
＜a＜1
D.
a＞
B(共37张PPT)
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第二十三章
旋转
第30课时
旋转的性质应用
知识点导学
A.
由于旋转前后的两个图形的大小、形状未发生改变，所以我们在利用旋转来解决其他问题时，要注意抓住以下几点：①找准旋转中的“变”与“不变”；②找准旋转前后的“对应关系”；③充分挖掘旋转过程中线段与线段之间的关系.
1.
（2019湘潭）如图1-23-30-1，将△OAB绕点O逆时针旋转70°到△OCD的位置.若∠AOB=40°，则∠AOD=
(
)
A.
45°
B.
40°
C.
35°
D.
30°
D
典型例题
知识点1：求旋转角的度数
【例1】如图1-23-30-2，△ABC绕点B逆时针方向旋转到△EBD的位置.若∠A=15°，∠C=10°，点E，B，C在一条直线上，则旋转角是
________度，
∠ABD=
________度.
25
130
变式训练
1.
如图1-23-30-3，Rt△AOB绕点O逆时针旋转到△COD的位置.若∠BOC=127°，求旋转角的度数.
解:依题意，∠AOC为旋转角.
∠AOC=∠BOC-∠AOB=
127°-90°=37°.
∴旋转角的度数为37°.
典型例题
知识点2：旋转的基本性质的简单应用
【例2】如图1-23-30-4，在Rt△ABC中，∠ACB=90°.
如果△ABC经过旋转得到了△EBD，那么：
（1）旋转中心是
________；
（2）旋转方向是
___________；
（3）旋转角是
__________________；
（4）如果AC=5
cm，∠ABC=30°，
那么
BE=
________，DB=
________，
ED=
________.
点B
顺时针
∠CBD或∠ABE
10
cm
5
cm
变式训练
2.
如图1-23-30-5，△ABE和△ACD都是等边三角形，△AEC逆时针旋转一定角度后能与△ABD重合，EC与BD相交于点F.
（1）旋转中心是
________，旋转角是
_____度；
（2）求∠DFC的度数.
点A
60
解：（2）易证得△ABD≌AEC.
∴∠ADB=∠ACE.
∴∠FDC+∠FCD=∠FDC+∠ACD+∠FCA=∠FDC+∠ACD+∠ADB=∠ACD+∠FDC+∠ADB=∠ACD+∠ADC=120°.
∴∠DFC=180°-(∠FDC+∠FCD)=180°-
120°=60°.
典型例题
知识点3：旋转的基本性质的综合应用
【例3】如图1-23-30-6，将Rt△ABC绕直角顶点C顺时针旋转90°，得到△A′B′C，连接AA′.若∠1=25°.
（1）△ACA′是
_____________三角形；
（2）求∠BAA′的度数.
等腰直角
解：（2）∵AC=A′C,且∠ACA′=90°,
∴∠CAA′=∠CA′A=45°.
∴∠CA′B′=∠CA′A-∠1=20°.
∴∠BAC=∠CA′B′=20°,∠CB′A′=70°.
∴∠CAA′=∠CB′A′-∠1=45°.
∴∠BAA′=∠BAC+∠CAA′=20°+45°=65°.
变式训练
3.
如图1-23-30-7，在Rt△OAB中，∠OAB=90°，OA=AB=6.将△OAB绕点O沿逆时针方向旋转90°得到△OA1B1.
（1）线段OA1的长是
________，∠AOB1的度数是
________；
（2）连接AA1，求证：四边形
OAA1B1是平行四边形.
6
135°
（2）证明：
∵∠AOA1=∠OA1B1=90°，
∴OA∥A1B1.
又∵OA=AB=A1B1，
∴四边形OAA1B1是平行四边形.
分层训练
A
组
4.
如图1-23-30-8，将△ABC绕点A逆时针旋转90°得到△ADE.若点D恰在线段BC的延长线上，则下列选项错误的是
(
)
A.
∠BAD=∠CAE
B.
∠ACB=120°
C.
∠ABC=45°
D.
∠CDE=90°
B
5.
如图1-23-30-9，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转100°，得到△AB1C1，若点B1在线段BC的延长线上，则∠BB1C1的大小为
(
)
A.
70°
B.
80°
C.
84°
D.
86°
B
B
组
6.
如图1-23-30-10，把Rt△ABC绕点A逆时针旋转40°，得到Rt△AB′C′，点C′恰好落在边AB上，连接BB′，求∠BB′C′的度数.
7.
（2019苏州）如图1-23-30-11，在△ABC中，点E在BC边上，AE=AB.将线段AC绕点A旋转到AF的位置，使得∠CAF=∠BAE，连接EF交AC于点G．
（1）求证：EF=BC；
（2）若∠ABC=65°，∠ACB=28°，求∠FGC的度数．
（2）解：∵AB=AE，∠ABC=65°，
∴∠BAE=180°－65°×2=50°.
∴∠FAG=∠BAE=50°．
∵△ABC≌△AEF，∴∠F=∠C=28°.
∴∠FGC=∠FAG+∠F=50°+28°=78°．
C
组
8.
如图1-23-30-12，△ABC是等边三角形，点D在AC边上，将△BCD绕点C旋转得到△ACE．
（1）求证：DE∥BC;
（2）若AB=8，BD=7，求△ADE的周长．
（1）证明：∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC=AC，∠ACB=60°.
∵将△BCD绕点C旋转得到△ACE,
∴CD=CE，∠ACB=∠ACE=60°.
∴△CDE是等边三角形.
∴∠CDE=60°=∠ACB，
∴DE∥BC.
（2）解：∵将△BCD绕点C旋转得到△ACE，
∴AE=BD=7.
∵△ABC是等边三角形，
∴AC=AB=8.
∴△ADE的周长=AE+DE+AD=AE+DC+AD=AE+AC=7+8=15．
9.
如图1-23-30-13，已知AC⊥BC，垂足为C，AC=4，BC=33.将线段AC绕点A按逆时针方向旋转60°，得到线段AD，连接DC，DB.
（1）线段DC=
________；
（2）求线段DB的长度．
4
