3.3.1几何概型
图片预览
文档简介
(共32张PPT)
数学是好“玩”的……
长度
转盘游戏
情景1：
（研究指针位置）
面积
情景2：
一个路口的红绿灯，红灯亮的时间为30秒，黄灯亮的时间为5秒，绿灯亮的时间为40秒，当你到达路口时，遇到红灯和绿灯的概率那个大？为什么？
提出问题
古典概型的两个基本特点:
（1）所有的基本事件只有有限个;
（2）每个基本事件发生都是等可能的。
思考：上述问题的概率是古典概型问题吗？
为什么？
那么对于有无限多个试验结果（不可数）的情况相应的概率应如何求呢
1、几何概型是怎样定义的？
事件A理解为区域Ω的某一子区域A，A的概率只与子区域A的几何度量（长度、面积、体积）成正比，而与A的位置和形状无关. 满足以上条件的试验称为几何概型.
2、在几何概型中，事件A的概率是怎么定义的？
3、几何概型与古典概型有什么区别和联系？并举例说明.
A
（2）每个基本事件出现 的可能性相等.
（1）试验中所有可能出
现的基本事件有有限个；
几何概型的特征
古典概型的特征
（1）试验中所有可能出
现的基本事件有无限个；
（2）每个基本事件出现
现的可能性相等.
异
同
两种概型、概率公式的联系
1.古典概型的概率公式:
2.几何概型的概率公式:
几何概型可以看作是古典概型的推广
求几何概型的概率时考虑试验的结果个数失去意义
辨一辨
先判断是何种概率模型,再求相应概率.
(1)在集合A={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}中任取一 个元素a,则P(a≥3)= .
(2)已知点0(0,0)、M(60,0),在线段OM上任取一点P,则P(|PM|≤10)= .
(2)几何概率模型,P(|PM|≤10)=1/6
(1)古典概率模型,P(a≥3)=7/10
(3) 在1000mL的水中有一个草履虫，现从中任取出2mL水样放到显微镜下观察，发现草履虫的概率.
0.002
(2) 在1万平方千米的海域中有40平方千米的大陆架储藏着石油,如果在海域中任意点钻探,钻到油层面的概率 .
0.004
与面积成比例
练一练
(1)在区间（0，10）内的所有实数中随机取一个实数a，
则这个实数a>7的概率为 .
0.3
与长度成比例
与体积成比例
若满足2≤a≤5呢？
1.如右下图,假设在每个图形上随机撒一粒芝麻,分别计算它落到阴影部分的概率.
2.取一根长度为3米的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得的两段长都不小于1米的概率有多大？
3.在腰长为2的等腰直角三角形内任取一点,
求该点到此三角形的直角顶点的距离小于1
的概率.
◆4：一海豚在水池中自由游弋，水池为长30m，宽为20m的长方形。求此海豚嘴尖离岸边不超过 2m 的概率.
规范解题步骤
规范解题步骤
20m
30m
2m
A
◆解：设事件A=“海豚嘴尖
离岸边不超过2m”，
如右图，则事件A可用
图中的阴影的面积表示，
请同学们归纳求几何概型
概率的规范步骤，
并与古典概型步骤作比较！
典例分析
平面上画了一些彼此相距2a的平行线，把一枚半径r则 ，只有当 时硬币不与平行相 碰，如图。
所以，硬币不与任一条平行线相碰的概率为 。
思路一
A
2a
M
O
O
O
a
r
解：设事件A=“硬币不与任一条平行线相碰”，
为了确定硬币的位置，由硬币中心O向靠得最近的平行线垂线OM，
A
2a
解：设事件A=“硬币不与任一条平行线相碰”，为了求事件A的概率，只需研究硬币不与两条平行线中任何一条相碰即可，由于硬币的位置由硬币中心决定，如图，则事件A可用图中的阴影来表示，可用宽度来表示几何度量，
r
M
O
r
r
O
思路二
r
M
O
r
M
O
r
r
所以，硬币不与任一条平行线相碰的概率为 。
C
n
m
这是一个几何概型问题。
由几何概型的定义知：
解：记“硬币不与任一条平行线相碰”为事件A。
为了确定硬币的位置，过硬币中心O作两平行线间的垂线段，其长度2a即是几何概型定义中Ω的几何度量。
当硬币不与平行线相碰时，硬币中心O可移动长度2a-2r即是子区域A的几何度量。
所以，硬币不与任一条平行线相碰的概率为 。
思路三
如图，平面是由若干个边长为2a的小正方形组成.参加者把半径为 r （r＜a） 的“金币”，任意抛掷在平面上，抛出的“金币”若恰好落在任何一个正方形之内（不与正方形的边相碰），便可获奖，求参加者获奖的概率.
分析：
不妨先考虑金币与一个小正方形的关系.
S
2a
2a
A
试验的基本事件是:
金币的中心投在由若干个小正方形组成的平面里.
设事件A为“金币不与小正方形边相碰”,
如图，Ａ即为“金币的中心要投在绿色正方形内”
参加者获奖的概率为:
解：
由几何概型的定义知：
变式引申
若r>a, 你愿意玩这个游戏吗？
例 某公共汽车站每隔15分钟有一辆汽车到达，乘客到达车站的时刻是任意的，求一个乘客到达车站后候车时间大于10 分钟的概率？
例 某公共汽车站每隔15分钟有一辆汽车到达，乘客到达车站的时刻是任意的，求一个乘客到达车站后候车时间大于10 分钟的概率？
分析：把时刻抽象为点，时间抽象为线段，故可以用几何概型求解。
解：设上辆车于时刻T1到达，而下一辆车于时刻T2到达，线段T1T2的长度为15，设T是T1T2上的点，且T1T=5，T2T=10，如图所示:·
答：侯车时间大于10 分钟的概率是1/3.
T1
T2
T
记候车时间大于10分钟为事件A，则当乘客到达车站的时刻落在线段T1T上时，事件发生，区域D的测度为15，区域d的测度为5。
所以
变式：1.假设题设条件不变，求候车时间不超过10分钟的概率.
T1
T2
T
分析：
2某公共汽车站每隔15分钟有一辆汽车到达，并且出发前在车站停靠3分钟。乘客到达车站的时刻是任意的，求一个乘客到达车站后候车时间大于10 分钟的概率？
分析：设上辆车于时刻T1到达，而下一辆车于时刻T0到达，T2时刻出发。线段T1T2的长度为15，设T是T1T2上的点，且T0T2=3，TT0=10，如图所示:·记候车时间大于10分钟为事件A，则当乘客到达车站的时刻落在线段T1T上时，事件A发生，区域D的测度为15，区域d的测度为15-3-10=2。
所以
T1
T2
T
T0
1.某人一觉醒来,发现表停了,他打开收音机,想听电台整点报时,求他等待的时间不多于10分钟的概率.
解:设事件A={等待的时间不多于10分钟}
事件A发生的区域为时间段[50,60]
巩固练习
2.教室后面墙壁上的时钟掉下来,面板摔坏了,刻度5至7的部分没了,如图:但指针运行正常,若指针都指向有刻度的地方视为能看到准确时间,求不能看到准确时间的概率.
1/6
巩固练习
3 .在直角坐标系内,射线OT落在60o 角的终边上,任作一条射线OA,求射线OA落在∠XOT内的概率。
巩固练习
甲、乙二人约定在12点到5点之间在某地会面,
先到者等一个小时后即离去设二人在这段时间
内的各时刻到达是等可能的,且二人互不影响.
求二人能会面的概率.
想一想
解:以 X ,Y 分别表示甲乙二人到达的时刻,于是
即点 M 落在图中的阴影部分.
所有的点构成一个正方形,即
有无穷多个结果.由于每人在
任一时刻到达都是等可能的,
所以落在正 方 形 内 各 点是
等可能的.
0 1 2 3 4 5
y
x
5
4
3
2
1
.M(X,Y)
二人会面的条件是：
0 1 2 3 4 5
y
x
5
4
3
2
1
y-x =1
y-x = -1
我的收获
3.几何概型的概率计算公式
1.几何概型的特征
2.几何概型的定义
每个基本事件出现的可能性 .
几何概型中所有可能出现的基本事件有 个；
如果某个事件发生的概率只与构成该事件区域的几何度量(长度、面积或 体积)成正比例,则称这样的概率模型为几何概率模型。
无限
相等
4 .解决几何概型的关键是构造随机事件对应的几何图形.
解题步骤
记事件
构造几何图形
计算几何度量
求概率
下结论
思考题：
有只蚂蚁在如图的五角星区域内自由的爬行，且它
停在任意一点的可能性相等，已知圆形区域的半径为2，
蚂蚁停在圆形内的概率为0.1，求图中五角星的面积.
(计算结果保留π）
随堂练习，巩固提高
解：记“蚂蚁最后停在五角星内”为事件A,
解:以x，y分别表示两人的到达时刻，
则两人能会面的充要条件为
试一试:
3.两人相约8点到9点在某地会面,先到者等候另一人20分钟,过时就可离去,试求这两人能会面的概率.
思考与讨论
假设小明家订了一份报纸，送报人可能在早上6：30至7：30之间把报纸送到家，小明离开家去上学的时间在早上7：00至8：00之间，问小明在离开家之前能得到报纸（称为事件A）的概率是多少？
（提示：可借助直角坐标系）
课堂小结
1.几何概型的特点.
2.几何概型的概率公式.
3.公式的运用.
本节核心内容是几何概型特点及概率 求法，易错点是容易找错、求错几何度量。要求在做解答题时要有规范的步骤和必要的文字说明，在平时的学习中养成良好的学习习惯！
数学是好“玩”的……
长度
转盘游戏
情景1：
（研究指针位置）
面积
情景2：
一个路口的红绿灯，红灯亮的时间为30秒，黄灯亮的时间为5秒，绿灯亮的时间为40秒，当你到达路口时，遇到红灯和绿灯的概率那个大？为什么？
提出问题
古典概型的两个基本特点:
（1）所有的基本事件只有有限个;
（2）每个基本事件发生都是等可能的。
思考：上述问题的概率是古典概型问题吗？
为什么？
那么对于有无限多个试验结果（不可数）的情况相应的概率应如何求呢
1、几何概型是怎样定义的？
事件A理解为区域Ω的某一子区域A，A的概率只与子区域A的几何度量（长度、面积、体积）成正比，而与A的位置和形状无关. 满足以上条件的试验称为几何概型.
2、在几何概型中，事件A的概率是怎么定义的？
3、几何概型与古典概型有什么区别和联系？并举例说明.
A
（2）每个基本事件出现 的可能性相等.
（1）试验中所有可能出
现的基本事件有有限个；
几何概型的特征
古典概型的特征
（1）试验中所有可能出
现的基本事件有无限个；
（2）每个基本事件出现
现的可能性相等.
异
同
两种概型、概率公式的联系
1.古典概型的概率公式:
2.几何概型的概率公式:
几何概型可以看作是古典概型的推广
求几何概型的概率时考虑试验的结果个数失去意义
辨一辨
先判断是何种概率模型,再求相应概率.
(1)在集合A={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}中任取一 个元素a,则P(a≥3)= .
(2)已知点0(0,0)、M(60,0),在线段OM上任取一点P,则P(|PM|≤10)= .
(2)几何概率模型,P(|PM|≤10)=1/6
(1)古典概率模型,P(a≥3)=7/10
(3) 在1000mL的水中有一个草履虫，现从中任取出2mL水样放到显微镜下观察，发现草履虫的概率.
0.002
(2) 在1万平方千米的海域中有40平方千米的大陆架储藏着石油,如果在海域中任意点钻探,钻到油层面的概率 .
0.004
与面积成比例
练一练
(1)在区间（0，10）内的所有实数中随机取一个实数a，
则这个实数a>7的概率为 .
0.3
与长度成比例
与体积成比例
若满足2≤a≤5呢？
1.如右下图,假设在每个图形上随机撒一粒芝麻,分别计算它落到阴影部分的概率.
2.取一根长度为3米的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得的两段长都不小于1米的概率有多大？
3.在腰长为2的等腰直角三角形内任取一点,
求该点到此三角形的直角顶点的距离小于1
的概率.
◆4：一海豚在水池中自由游弋，水池为长30m，宽为20m的长方形。求此海豚嘴尖离岸边不超过 2m 的概率.
规范解题步骤
规范解题步骤
20m
30m
2m
A
◆解：设事件A=“海豚嘴尖
离岸边不超过2m”，
如右图，则事件A可用
图中的阴影的面积表示，
请同学们归纳求几何概型
概率的规范步骤，
并与古典概型步骤作比较！
典例分析
平面上画了一些彼此相距2a的平行线，把一枚半径r
所以，硬币不与任一条平行线相碰的概率为 。
思路一
A
2a
M
O
O
O
a
r
解：设事件A=“硬币不与任一条平行线相碰”，
为了确定硬币的位置，由硬币中心O向靠得最近的平行线垂线OM，
A
2a
解：设事件A=“硬币不与任一条平行线相碰”，为了求事件A的概率，只需研究硬币不与两条平行线中任何一条相碰即可，由于硬币的位置由硬币中心决定，如图，则事件A可用图中的阴影来表示，可用宽度来表示几何度量，
r
M
O
r
r
O
思路二
r
M
O
r
M
O
r
r
所以，硬币不与任一条平行线相碰的概率为 。
C
n
m
这是一个几何概型问题。
由几何概型的定义知：
解：记“硬币不与任一条平行线相碰”为事件A。
为了确定硬币的位置，过硬币中心O作两平行线间的垂线段，其长度2a即是几何概型定义中Ω的几何度量。
当硬币不与平行线相碰时，硬币中心O可移动长度2a-2r即是子区域A的几何度量。
所以，硬币不与任一条平行线相碰的概率为 。
思路三
如图，平面是由若干个边长为2a的小正方形组成.参加者把半径为 r （r＜a） 的“金币”，任意抛掷在平面上，抛出的“金币”若恰好落在任何一个正方形之内（不与正方形的边相碰），便可获奖，求参加者获奖的概率.
分析：
不妨先考虑金币与一个小正方形的关系.
S
2a
2a
A
试验的基本事件是:
金币的中心投在由若干个小正方形组成的平面里.
设事件A为“金币不与小正方形边相碰”,
如图，Ａ即为“金币的中心要投在绿色正方形内”
参加者获奖的概率为:
解：
由几何概型的定义知：
变式引申
若r>a, 你愿意玩这个游戏吗？
例 某公共汽车站每隔15分钟有一辆汽车到达，乘客到达车站的时刻是任意的，求一个乘客到达车站后候车时间大于10 分钟的概率？
例 某公共汽车站每隔15分钟有一辆汽车到达，乘客到达车站的时刻是任意的，求一个乘客到达车站后候车时间大于10 分钟的概率？
分析：把时刻抽象为点，时间抽象为线段，故可以用几何概型求解。
解：设上辆车于时刻T1到达，而下一辆车于时刻T2到达，线段T1T2的长度为15，设T是T1T2上的点，且T1T=5，T2T=10，如图所示:·
答：侯车时间大于10 分钟的概率是1/3.
T1
T2
T
记候车时间大于10分钟为事件A，则当乘客到达车站的时刻落在线段T1T上时，事件发生，区域D的测度为15，区域d的测度为5。
所以
变式：1.假设题设条件不变，求候车时间不超过10分钟的概率.
T1
T2
T
分析：
2某公共汽车站每隔15分钟有一辆汽车到达，并且出发前在车站停靠3分钟。乘客到达车站的时刻是任意的，求一个乘客到达车站后候车时间大于10 分钟的概率？
分析：设上辆车于时刻T1到达，而下一辆车于时刻T0到达，T2时刻出发。线段T1T2的长度为15，设T是T1T2上的点，且T0T2=3，TT0=10，如图所示:·记候车时间大于10分钟为事件A，则当乘客到达车站的时刻落在线段T1T上时，事件A发生，区域D的测度为15，区域d的测度为15-3-10=2。
所以
T1
T2
T
T0
1.某人一觉醒来,发现表停了,他打开收音机,想听电台整点报时,求他等待的时间不多于10分钟的概率.
解:设事件A={等待的时间不多于10分钟}
事件A发生的区域为时间段[50,60]
巩固练习
2.教室后面墙壁上的时钟掉下来,面板摔坏了,刻度5至7的部分没了,如图:但指针运行正常,若指针都指向有刻度的地方视为能看到准确时间,求不能看到准确时间的概率.
1/6
巩固练习
3 .在直角坐标系内,射线OT落在60o 角的终边上,任作一条射线OA,求射线OA落在∠XOT内的概率。
巩固练习
甲、乙二人约定在12点到5点之间在某地会面,
先到者等一个小时后即离去设二人在这段时间
内的各时刻到达是等可能的,且二人互不影响.
求二人能会面的概率.
想一想
解:以 X ,Y 分别表示甲乙二人到达的时刻,于是
即点 M 落在图中的阴影部分.
所有的点构成一个正方形,即
有无穷多个结果.由于每人在
任一时刻到达都是等可能的,
所以落在正 方 形 内 各 点是
等可能的.
0 1 2 3 4 5
y
x
5
4
3
2
1
.M(X,Y)
二人会面的条件是：
0 1 2 3 4 5
y
x
5
4
3
2
1
y-x =1
y-x = -1
我的收获
3.几何概型的概率计算公式
1.几何概型的特征
2.几何概型的定义
每个基本事件出现的可能性 .
几何概型中所有可能出现的基本事件有 个；
如果某个事件发生的概率只与构成该事件区域的几何度量(长度、面积或 体积)成正比例,则称这样的概率模型为几何概率模型。
无限
相等
4 .解决几何概型的关键是构造随机事件对应的几何图形.
解题步骤
记事件
构造几何图形
计算几何度量
求概率
下结论
思考题：
有只蚂蚁在如图的五角星区域内自由的爬行，且它
停在任意一点的可能性相等，已知圆形区域的半径为2，
蚂蚁停在圆形内的概率为0.1，求图中五角星的面积.
(计算结果保留π）
随堂练习，巩固提高
解：记“蚂蚁最后停在五角星内”为事件A,
解:以x，y分别表示两人的到达时刻，
则两人能会面的充要条件为
试一试:
3.两人相约8点到9点在某地会面,先到者等候另一人20分钟,过时就可离去,试求这两人能会面的概率.
思考与讨论
假设小明家订了一份报纸，送报人可能在早上6：30至7：30之间把报纸送到家，小明离开家去上学的时间在早上7：00至8：00之间，问小明在离开家之前能得到报纸（称为事件A）的概率是多少？
（提示：可借助直角坐标系）
课堂小结
1.几何概型的特点.
2.几何概型的概率公式.
3.公式的运用.
本节核心内容是几何概型特点及概率 求法，易错点是容易找错、求错几何度量。要求在做解答题时要有规范的步骤和必要的文字说明，在平时的学习中养成良好的学习习惯！