人教版数学八年级上册13．4最短路径问题课件（共18张PPT WPS打开）
文档属性
| 名称 | 人教版数学八年级上册13．4最短路径问题课件（共18张PPT WPS打开） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 736.4KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2020-07-30 18:41:57 | ||
图片预览
文档简介
(共18张PPT)
八年级
上册
最短路径问题
学习目标
1.用轴对称解决最短路径问题
2.用平移解决造桥选址问题。
教学重点：掌握解决最短路径问题的方法思路
合作探究
问题1：
B
A
l
牧童饮马问题：一个牧童从A点出发去B点，但路途中必须去河流l旁边饮马，如何规划路线最短。
合作探究
步骤1：这是一个实际问题，你打算首先做什么？
将A，B
两地抽象为两个点，将河l
抽象为一条直线．
B
·
·
A
l
合作探究
步骤2：用自己的语言把它抽象为数学问题
在河边饮马的地点有无穷多处，把这些地点与A，B
连接起来的两条线段的长度之和，就是从A地到饮马地点，再回到B
地的路程之和。
数学问题：设C为直线上的一个动点，上面的问题就转化为：当点C
在l
的什么位置时，AC
与CB
的和最小（如图）.
B
A
l
C
合作探究
作法：
（1）作点B
关于直线l
的对称点B′；
（2）连接AB′，与直线l
相交于点C．则点C
即为所求。
步骤3：将点B“移”到l
的另一侧B′处，满足直线l上的任意一点C，都保持CB
与CB′的长度相等。
B
·
l
A
·
B′
C
合作探究
步骤4：你能用所学的知识证明AC
+BC最短吗？
证明：如图，在直线l
上任取一点C′（与点C
不重合），连接AC′，BC'，B′C′
由轴对称的性质知，
BC
=B′C，BC′=B′C′
∴ AC
+BC=
AC
+B′C
=
AB′
AC′+BC′=
AC′+B′C′
在△AB′C′中，
AB′＜AC′+B′C′，
∴ AC
+BC＜AC′+BC′．
即 AC
+BC
最短．
B
·
l
A
·
B′
C
C′
合作探究
问题2：
如图，A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN.桥建在何处才能使从A到B的路径AM+MN+NB最短？（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直）
B
A
合作探究
步骤1：如图假定任选位置造桥ＭＮ，连接ＡＭ和ＢＮ
B
A
Ｍ
Ｎ
从A到B的路径为
AM+MN+BN
合作探究
步骤2：能否在不改变AM+MN+BN的前提下把桥转化到一侧呢
如图，平移A到A1，使ＡA1等于河宽，连接A1Ｂ交河岸于Ｎ作桥ＭＮ，此时路径ＡＭ＋ＭＮ＋ＢＮ最短.
B
A
A1
M
N
合作探究
步骤2：能否在不改变AM+MN+BN的前提下把桥转化到一侧呢
B
A
A1
M
N
Ｎ１
Ｍ１
理由：另任作桥Ｍ１Ｎ１，连接ＡＭ１，ＢＮ１，Ａ１Ｎ１.
由平移性质可知，ＡＭ＝Ａ１Ｎ，ＡＡ１＝ＭＮ＝Ｍ１Ｎ１，ＡＭ１＝Ａ１Ｎ１.
AM+MN+BN转化为ＡＡ１＋Ａ１Ｂ，而ＡＭ１＋Ｍ１Ｎ１＋ＢＮ１ 转化为ＡＡ１＋Ａ１Ｎ１＋ＢＮ１.
在△Ａ１Ｎ１Ｂ中，由三角形三边关系得A1N1+BN1＞A1B
因此ＡＭ１＋Ｍ１Ｎ１＋ＢＮ１＞
AM+MN+BN
知识小结
知识点1 用轴对称解决最短路径问题
求直线同侧的两点到直线上一点距离的和最小的问题，找到其中一个点关于这条直线的对称点，连接对称点与另一个点，所得线段与该直线的交点即为所求的位置．
知识点2 用平移解决造桥选址问题
我们把河的两岸看成两条平行线，把河的宽度作为固定的数值，桥的位置作为动点，通过平移使桥的一端与已知两点在同一条直线上时，根据“两点之间线段最短”确定桥的一端的位置，再结合桥垂直于河岸，即可得出桥的位置．
随堂练习
1．直线l是一条河，P、Q是两个村庄，欲在l上的某处修建一个水泵站向P、Q两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则所需管道最短的是( )
D
随堂练习
2．如图，在直角坐标系中，点A、B的坐标分别为(1,4)和(3,0)，点C是y轴上的一个动点，且A、B、C三点不在同一条直线上，当△ABC的周长最小时，点C的坐标是_____________.
3．如图，在平面直角坐标系中，点A(－2,4)、B(4,2)，在x轴上取一点P，使点P到点A、B的距离之和最小，则点P的坐标是( )
A．(－2,0)
B．(4,0)
C．(2,0)
D．(0,0)
C
(0,3)
随堂练习
4．如图，直线l外不重合的两点A、B，在直线l上求作一点C，使得AC＋BC的长度最短．作法为：①作点B关于直线l的对称点B′；②连接AB′与直线l相交于点C，则点C为所求作的点．在解决这个问题时没有运用到的知识或方法是( )
A．转化思想
B．三角形的两边之和大于第三边
C．两点之间，线段最短
D．三角形的一个外角大于与它不相邻的任意一个内角
D
随堂练习
5．如图，荆州古城河在CC′处直角转弯，从A处到达B处需经两座桥：DD′、EE′(桥宽不计)，设护城河以及两座桥都是东西、南北方向的，如何架桥可使ADD′E′EB的路程最短？
解：作AF⊥CD，且AF＝河宽；
作BG⊥CE，且BG＝河宽．连接GF，与河岸相交于点E′、D′.作DD′、EE′即为所求作的桥．
随堂练习
6．如图，为了做好春运期间的交通安全工作，某交警执勤小队从A处出发，先到公路l1上设卡检查，再到公路l2上设卡检查，最后到B地执行任务，他们应如何走才能使总路程最短？
解：
(1)作点A关于l1的对称点A′；
(2)作点B关于l2的对称点B′；
(3)连接A′B′，分别与l1、l2相交于C、D两
点，连接AC、DB.则沿路线A→C→D→B走，
才能使总路程最短．
THANKS
谢谢观看！
八年级
上册
最短路径问题
学习目标
1.用轴对称解决最短路径问题
2.用平移解决造桥选址问题。
教学重点：掌握解决最短路径问题的方法思路
合作探究
问题1：
B
A
l
牧童饮马问题：一个牧童从A点出发去B点，但路途中必须去河流l旁边饮马，如何规划路线最短。
合作探究
步骤1：这是一个实际问题，你打算首先做什么？
将A，B
两地抽象为两个点，将河l
抽象为一条直线．
B
·
·
A
l
合作探究
步骤2：用自己的语言把它抽象为数学问题
在河边饮马的地点有无穷多处，把这些地点与A，B
连接起来的两条线段的长度之和，就是从A地到饮马地点，再回到B
地的路程之和。
数学问题：设C为直线上的一个动点，上面的问题就转化为：当点C
在l
的什么位置时，AC
与CB
的和最小（如图）.
B
A
l
C
合作探究
作法：
（1）作点B
关于直线l
的对称点B′；
（2）连接AB′，与直线l
相交于点C．则点C
即为所求。
步骤3：将点B“移”到l
的另一侧B′处，满足直线l上的任意一点C，都保持CB
与CB′的长度相等。
B
·
l
A
·
B′
C
合作探究
步骤4：你能用所学的知识证明AC
+BC最短吗？
证明：如图，在直线l
上任取一点C′（与点C
不重合），连接AC′，BC'，B′C′
由轴对称的性质知，
BC
=B′C，BC′=B′C′
∴ AC
+BC=
AC
+B′C
=
AB′
AC′+BC′=
AC′+B′C′
在△AB′C′中，
AB′＜AC′+B′C′，
∴ AC
+BC＜AC′+BC′．
即 AC
+BC
最短．
B
·
l
A
·
B′
C
C′
合作探究
问题2：
如图，A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN.桥建在何处才能使从A到B的路径AM+MN+NB最短？（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直）
B
A
合作探究
步骤1：如图假定任选位置造桥ＭＮ，连接ＡＭ和ＢＮ
B
A
Ｍ
Ｎ
从A到B的路径为
AM+MN+BN
合作探究
步骤2：能否在不改变AM+MN+BN的前提下把桥转化到一侧呢
如图，平移A到A1，使ＡA1等于河宽，连接A1Ｂ交河岸于Ｎ作桥ＭＮ，此时路径ＡＭ＋ＭＮ＋ＢＮ最短.
B
A
A1
M
N
合作探究
步骤2：能否在不改变AM+MN+BN的前提下把桥转化到一侧呢
B
A
A1
M
N
Ｎ１
Ｍ１
理由：另任作桥Ｍ１Ｎ１，连接ＡＭ１，ＢＮ１，Ａ１Ｎ１.
由平移性质可知，ＡＭ＝Ａ１Ｎ，ＡＡ１＝ＭＮ＝Ｍ１Ｎ１，ＡＭ１＝Ａ１Ｎ１.
AM+MN+BN转化为ＡＡ１＋Ａ１Ｂ，而ＡＭ１＋Ｍ１Ｎ１＋ＢＮ１ 转化为ＡＡ１＋Ａ１Ｎ１＋ＢＮ１.
在△Ａ１Ｎ１Ｂ中，由三角形三边关系得A1N1+BN1＞A1B
因此ＡＭ１＋Ｍ１Ｎ１＋ＢＮ１＞
AM+MN+BN
知识小结
知识点1 用轴对称解决最短路径问题
求直线同侧的两点到直线上一点距离的和最小的问题，找到其中一个点关于这条直线的对称点，连接对称点与另一个点，所得线段与该直线的交点即为所求的位置．
知识点2 用平移解决造桥选址问题
我们把河的两岸看成两条平行线，把河的宽度作为固定的数值，桥的位置作为动点，通过平移使桥的一端与已知两点在同一条直线上时，根据“两点之间线段最短”确定桥的一端的位置，再结合桥垂直于河岸，即可得出桥的位置．
随堂练习
1．直线l是一条河，P、Q是两个村庄，欲在l上的某处修建一个水泵站向P、Q两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则所需管道最短的是( )
D
随堂练习
2．如图，在直角坐标系中，点A、B的坐标分别为(1,4)和(3,0)，点C是y轴上的一个动点，且A、B、C三点不在同一条直线上，当△ABC的周长最小时，点C的坐标是_____________.
3．如图，在平面直角坐标系中，点A(－2,4)、B(4,2)，在x轴上取一点P，使点P到点A、B的距离之和最小，则点P的坐标是( )
A．(－2,0)
B．(4,0)
C．(2,0)
D．(0,0)
C
(0,3)
随堂练习
4．如图，直线l外不重合的两点A、B，在直线l上求作一点C，使得AC＋BC的长度最短．作法为：①作点B关于直线l的对称点B′；②连接AB′与直线l相交于点C，则点C为所求作的点．在解决这个问题时没有运用到的知识或方法是( )
A．转化思想
B．三角形的两边之和大于第三边
C．两点之间，线段最短
D．三角形的一个外角大于与它不相邻的任意一个内角
D
随堂练习
5．如图，荆州古城河在CC′处直角转弯，从A处到达B处需经两座桥：DD′、EE′(桥宽不计)，设护城河以及两座桥都是东西、南北方向的，如何架桥可使ADD′E′EB的路程最短？
解：作AF⊥CD，且AF＝河宽；
作BG⊥CE，且BG＝河宽．连接GF，与河岸相交于点E′、D′.作DD′、EE′即为所求作的桥．
随堂练习
6．如图，为了做好春运期间的交通安全工作，某交警执勤小队从A处出发，先到公路l1上设卡检查，再到公路l2上设卡检查，最后到B地执行任务，他们应如何走才能使总路程最短？
解：
(1)作点A关于l1的对称点A′；
(2)作点B关于l2的对称点B′；
(3)连接A′B′，分别与l1、l2相交于C、D两
点，连接AC、DB.则沿路线A→C→D→B走，
才能使总路程最短．
THANKS
谢谢观看！