个性化教学辅导教案
学生姓名
年
级
学
科
数学
上课时间
教师姓名
课
题
第19讲
最优化问题
教学目标
1.学生通过简单事例，初步体会统筹思想在实际问题中的应用；
2.体会解决问题策略的多样性，形成解决问题最优方案的意识；
3.从日常生活中体会时间的重要性，发现最优化的数学问题，并尝试解答；
4.在各种方案中寻求一个最合理，最省事，最节约的方案。
教学过程
教师活动
学生活动
1、用绳子测游泳池的深度，绳子3折时，多余40厘米，绳子4折时，还差15厘米，则游泳池的水深多少厘米？绳子长多少厘米？
2、李老师从家到单位如果以每分钟60米的速度行走，就要迟到2分钟，改用每分钟80米的速度行走，就可早到1分钟，李老师家离单位有多远？
3、某商店出售甲、乙两件商品，售价都是600元，甲盈利20%，乙亏本20%，求两件商品卖出后是盈利还是亏损？具体盈利或亏损是多少元？
4、某商品按20%利润定价，然后又按八折出售，结果亏损了64元，问这一商品的成本是多少？????
最优化概念反映了人类实践活动中十分普遍的现象，即要在尽可能节省人力、物力和时间前提下，争取获得在可能范围内的最佳效果，因此，最优化问题成为现代数学的一个重要课题，涉及统筹、线性规划一排序不等式等内容。
最优化问题不仅具有趣味性，而且由于解题方法灵活，技巧性强，因此对于开拓解题思路，增强数学能力很有益处。但解决这类问题需要的基础知识相当广泛，很难做到一一列举。因此，主要是以例题的方式让大家体会解决这些问题的方法和经验。
我国著名大数学家华罗庚爷爷曾积极推广、普及的“统筹方法”和“优选法“华罗庚曾利用数学知识创造许多优化解决问题的方法。我们所破到的最优化问题，是通过适当规划安排，在许多方案中，寻找一个最合理、最节约、最省事的方案。
引例：母亲节那天小芳爸爸、妈妈都加班了，小芳想让爸爸、妈妈下班就能吃上晚饭，送上一份特别的礼物。她准备做大米饭、炒鸡蛋和水果沙拉。她估计了一下时间，洗米要3分钟，蒸大米饭20分钟，打鸡蛋要1分钟，洗炒锅勺要1分钟，炒菜要5分钟，做水果沙拉要10分钟。你知道聪明的小芳是怎样最合理的安排时间的吗？至少需要多长时间能做好这顿饭？感恩节的时候你能否也送上这样一份暖心的礼物？
题型一、统筹安排事情
例题1：小强、小明、小红和小蓉4个小朋友效游回家时天色已晚，他们来到一条河的东岸，要通过一座小木桥到西岸，但是他们4个人只有一个手电筒，由于桥的承重量小，每次只能过2人，因此必须先由2个人拿着手电筒过桥，并由1个人再将手电筒送回，再由2个人拿着手电筒过桥……直到4人都通过小木桥，已知，小强单独过桥要1分钟；小明单独过桥要1.5分钟；小红单独过桥要2分钟；小蓉单独过桥要2.5分钟。那么，4个人都通过小木桥，最少要多少分钟？
例题2：用一只平底锅煎饼，每次能同时放两个饼。如果煎1个饼需要2分钟（假定正、反面各需1分钟），问煎1993个饼至少需要几分钟？问煎1994个饼至少需要几分钟？
例题3：某商店汽水做促销活动，规定每5个空瓶能换1瓶汽水。小强家买了80瓶汽水，喝完后再按规定用空瓶去换汽水，那么他们家前后最多能喝到多少瓶汽水？
例题4：有十个村庄，座落在从县城出发的一条公路上，现要安装水管，从县城供各村自来水．可以用粗、细两种水管，粗管每千米7000元，细管每千米2000元．粗管足够供应所有各村用水，细管只能供应一个村用水，各村与县城间距离如图所示（图中单位是千米），现要求按最节约的方法铺设，总费用是多少？
题型二、沙漠探险
例题5：有5位探险家计划横穿沙漠。他们每人驾驶一辆吉普车，每辆车最多能携带可供一辆车行驶315千米的汽油。显然，5个人不可能共同穿越500千米以上的沙漠。于是，他们计划在保证其余车安全返回出发点的前提下，让一辆车穿越沙漠。当然，实现这一计划需要几辆车相互借用汽油。问：穿越沙漠的那辆车最多能穿越多宽的沙漠?
例题6：甲乙两个人要到沙漠中探险，他们每天向沙漠深处走20千米，已知每人最多可带一个人24天的食物和水，如不允许将部分食物放于途中，那么其中一个人最多可以深入沙漠多少千米？(要求最后两人都回到出发点)
题型三、排队问题
例题7：5个人各拿一个水桶在自来水龙头前等候打水，他们打水所需的时间分别是1分钟、2分钟、3分钟、4分钟和5分钟。如果只有一个水龙头，试问怎样适当安排他们的打水顺序，才能使每个人排队和打水时间的总和最小？并求出最小值。
例题8：理发室里有甲、乙两位理发师，同时来了五位顾客，根据他们所要理的发型，分别需要10，12，15，20和24分钟。怎样安排他们的理发顺序，才能使这五人理发和等候所用时间的总和最少？最少要用多少时间？
例题9：车间里有五台车床同时出现故障，已知第一台到第五台修复时间依次为18，30，17，25，20分钟，每台车床停产一分钟造成经济损失5元。现有两名工作效率相同的修理工：
（1）怎样安排才能使得经济损失最少？
（2）怎样安排才能使从开始维修到维修结束历时最短？
题型四、场地设置问题
例题10：如图，在街道上有A、B、C、D、E五栋居民楼，现在设立一个邮筒，为使五栋楼的居民到邮筒的距离之和最短，邮局应立于何处？
例题11：在一条公路上，每隔10千米有一座仓库（如图），共有五座，图中数字表示各仓库库存货物的重量.现在要把所有的货物集中存放在一个仓库里，如果每吨货物运输1千米需要运费0.9元，那么集中到哪个仓库运费最少？
例题12：下图是A，B，C，D，E五个村之间的道路示意图，○中数字是各村要上学的学生人数，道路上的数表示两村之间的距离（单位：千米）。现在要在五村之中选一个村建立一所小学。为使所有学生到学校的总距离最短，试确定最合理的方案.
1、学校师生1140人外出参观，计划每人发2瓶汽水，商店规定每6个空汽水瓶可以换1瓶汽水，老师最少买多少瓶汽水，合理筹划，回收空瓶换汽水后，可以保证每人按计划喝到汽水？
2、如图，道路上有8个幼儿园，现在要在道路上建造一个送奶站，为使送奶站到8个幼儿园的距离和最短，送奶站应建在哪个幼儿园？
3、一条直街上有5栋楼，从左到右编号为1，2，3，4，5，相邻两楼的距离都是50米。第1号楼有1名职工在A厂上班，第2号楼有2名职工在A厂上班……，第5号楼有5名职工在A厂上班。A厂计划在直街上建一通勤车站接送这5栋楼的职工上下班，为使这些职工到通勤车站所走的路程之和最小，车站应建在距1号楼多少米处？
4、1元钱一瓶汽水，喝完后6个空瓶换一瓶汽水，问：你有20元钱，最多可以喝到几瓶汽水？
5、有一个水塔要供应某条公路旁的A～F六个居民点用水（见右图，单位：千米），要安装水管，有粗细两种水管，粗管足够供应6个居民点用水，细管只能供应1个居民点用水，粗管每千米要7000元，细管每千米要2000元，粗细管怎样互相搭配，才能使费用最省？费用应是多少？
7、车间里有5台车床同时出现故障。已知第一台至第五台修复的时间依次为15，8，29，7，10分钟，每台车床停产一分钟造成经济损失5元。问：如果只有一名修理工，那么怎样安排修理顺序才能使经济损失最少？最少为多少元？
8、设有十个人各拿着一只提桶同时到水龙头前打水，设水龙头注满第一个人的桶需要1分钟，注满第二个人的桶需要2分钟，…….如此下去，当只有两个水龙头时，巧妙安排这十个人打水，使他们总的费时时间最少.这时间等于多少分钟？
9、在一条公路上每隔100千米，有一个仓库（如图）共有5个仓库，一号仓库存有10吨货物，二号仓库有20吨货物，五号仓库存有40吨货物，其余两个仓库是空的。现在想把所以的货物集中存放在一个仓库里，如果每吨货物运输1公里需要0.5元运输费，那么最少要多少运费才行？
1、某水池可以用甲、乙两水管注水，单放甲管需12小时注满，单放乙管需24小时注满。若要求10小时注满水池，并且甲、乙两管合放的时间尽可能地少，则甲乙两管全放最少需要多少小时？
2、把25拆成若干个正整数的和，使它们的积最大。
3、今有围棋子1400颗，甲、乙两人做取围棋子的游戏，甲先取，乙后取，两人轮流各取一次，规定每次只能取7P（P为1或不超过20的任一质数）颗棋子，谁最后取完为胜者，问甲、乙两人谁有必胜的策略？
4、十个自然数之和等于1001，则这十个自然数的最大公约数可能取的最大值是多少？（不包括0）
5、甲、乙两人轮流在黑板上写下不超过10的自然数，规则是禁止写黑板上已写过的数的约数，不能完成下一步的为失败者。问：是先写者还是后写者必胜？如何取胜？
6、妈妈让小明给客人烧开水切茶，洗开水壶要用1分钟，烧开水要用15分钟，洗茶壶要用2分钟，洗茶杯要用1分钟，拿茶叶要用2分钟。小明估算了一下，完成这些工作要花20分钟。为了使客人早点和上茶，按你认为最合理的安排，多少分钟就能切茶了？
代数法解题（二）
例题1：甲、乙两校共有22人参加竞赛，甲校参加人数的比乙校参加人数的少1人，甲、乙两校各有多少人参加？
变式1-1：学校图书馆买来文艺书和连环画共126本，文艺书的比连环画的少7本，图书馆买来的文艺书和连环画各是多少本？
变式1-2：某小有学生465人，其中女生的比男生的少20人，男、女生各有多少人？
变式1-3：王师傅和李师傅共加工零件62个，王师傅加工零件个数的比李师傅的少2个，两人各加工了多少个？
例题2：甲书架上的书是乙书架上的，两个书架上各借出154本后，甲书架上的书是乙书架上的，甲、乙两书架上原有书各多少本？
变式2-1：儿子今年的年龄是父亲的，4年后儿子的年龄是父亲的，父亲今年多少岁？
变式2-2：某校六年级男生是女生人数的，后来转进2名男生，转走3名女生，这时男生人数是女生的。原来男、女生各有多少人？
变式2-3：第一车间人数的等于第二车间人数的，第一车间比第二车间多50人。两个车间各有多少人？
例题3：一个班女同学比男同学的多4人，如果男生减少3人，女生增加4人，男、女生人数正好相等。这个班男、女生各有多少人？
变式3-1：某学校的男教师比女教师的多8人。如果女教师减少4人，男教师增加8人，男、女教师人数正好相等。这个学校男、女教师各有多少人？
变式3-2：某无线电厂有两个仓库。第一仓库储存的电视机是第二仓库的3倍。如果从第一仓库取出30台，存入第二仓库，则第二仓库就是第一仓库的。两个仓库原来各有电视机多少台？
变式3-3：某工厂第一车间的人数比第二车间的人数的少30人。如果从第二车间调10人到第一车间，则第一车间的人数就是第二车间的。求原来每个车间的人数。个性化教学辅导教案
学生姓名
年
级
学
科
数学
上课时间
教师姓名
课
题
第19讲
最优化问题
教学目标
1.学生通过简单事例，初步体会统筹思想在实际问题中的应用；
2.体会解决问题策略的多样性，形成解决问题最优方案的意识；
3.从日常生活中体会时间的重要性，发现最优化的数学问题，并尝试解答；
4.在各种方案中寻求一个最合理，最省事，最节约的方案。
教学过程
教师活动
学生活动
1、用绳子测游泳池的深度，绳子3折时，多余40厘米，绳子4折时，还差15厘米，则游泳池的水深多少厘米？绳子长多少厘米？
水深：（cm）
绳长：（cm）
2、李老师从家到单位如果以每分钟60米的速度行走，就要迟到2分钟，改用每分钟80米的速度行走，就可早到1分钟，李老师家离单位有多远？
（分钟）
（米）
3、某商店出售甲、乙两件商品，售价都是600元，甲盈利20%，乙亏本20%，求两件商品卖出后是盈利还是亏损？具体盈利或亏损是多少元？
（元）
亏了50元
4、某商品按20%利润定价，然后又按八折出售，结果亏损了64元，问这一商品的成本是多少？????
（元）
最优化概念反映了人类实践活动中十分普遍的现象，即要在尽可能节省人力、物力和时间前提下，争取获得在可能范围内的最佳效果，因此，最优化问题成为现代数学的一个重要课题，涉及统筹、线性规划一排序不等式等内容。
最优化问题不仅具有趣味性，而且由于解题方法灵活，技巧性强，因此对于开拓解题思路，增强数学能力很有益处。但解决这类问题需要的基础知识相当广泛，很难做到一一列举。因此，主要是以例题的方式让大家体会解决这些问题的方法和经验。
我国著名大数学家华罗庚爷爷曾积极推广、普及的“统筹方法”和“优选法“华罗庚曾利用数学知识创造许多优化解决问题的方法。我们所破到的最优化问题，是通过适当规划安排，在许多方案中，寻找一个最合理、最节约、最省事的方案。
引例：母亲节那天小芳爸爸、妈妈都加班了，小芳想让爸爸、妈妈下班就能吃上晚饭，送上一份特别的礼物。她准备做大米饭、炒鸡蛋和水果沙拉。她估计了一下时间，洗米要3分钟，蒸大米饭20分钟，打鸡蛋要1分钟，洗炒锅勺要1分钟，炒菜要5分钟，做水果沙拉要10分钟。你知道聪明的小芳是怎样最合理的安排时间的吗？至少需要多长时间能做好这顿饭？感恩节的时候你能否也送上这样一份暖心的礼物？
先洗米用1分钟，在蒸大米饭20分钟，在蒸饭的过程中打鸡蛋、洗炒锅勺、炒菜、做水果沙拉一起进行。所以至少需要用20+1=21（分钟）
题型一、统筹安排事情
例题1：小强、小明、小红和小蓉4个小朋友效游回家时天色已晚，他们来到一条河的东岸，要通过一座小木桥到西岸，但是他们4个人只有一个手电筒，由于桥的承重量小，每次只能过2人，因此必须先由2个人拿着手电筒过桥，并由1个人再将手电筒送回，再由2个人拿着手电筒过桥……直到4人都通过小木桥，已知，小强单独过桥要1分钟；小明单独过桥要1.5分钟；小红单独过桥要2分钟；小蓉单独过桥要2.5分钟。那么，4个人都通过小木桥，最少要多少分钟？
第一次：小强、小明一起过河，用1.5分钟；小强返回用1分钟；
第二次：小红、小蓉一起过河，用2.5分钟，小明返回用1.5分钟；
第三次：小强、小明一起过河，用1.5分钟。
一个用了1.5+1+2.5+1.5+1.5=8（分钟）
例题2：用一只平底锅煎饼，每次能同时放两个饼。如果煎1个饼需要2分钟（假定正、反面各需1分钟），问煎1993个饼至少需要几分钟？问煎1994个饼至少需要几分钟？
1993个饼需要1993分钟，1994个饼需要1994分钟。
例题3：某商店汽水做促销活动，规定每5个空瓶能换1瓶汽水。小强家买了80瓶汽水，喝完后再按规定用空瓶去换汽水，那么他们家前后最多能喝到多少瓶汽水？
（1）喝掉80瓶汽水，用80个空瓶换回16瓶汽水；
（2）喝掉16瓶汽水，用16个空瓶换回3瓶汽水，余下1个空瓶；
（3）喝掉3瓶汽水，连上次余下的1个空瓶共有4个空瓶，此时再借一个空瓶，与剩下的4个一起又换回1瓶汽水，喝完后还空瓶。所以一共可以喝80+16+3+1=100（瓶）
例题4：有十个村庄，座落在从县城出发的一条公路上，现要安装水管，从县城供各村自来水．可以用粗、细两种水管，粗管每千米7000元，细管每千米2000元．粗管足够供应所有各村用水，细管只能供应一个村用水，各村与县城间距离如图所示（图中单位是千米），现要求按最节约的方法铺设，总费用是多少？
工程的设计是从县城到A7（A8）安一条粗管；A7、A8之间安装三条细管；A8、A9之间安装二条细管；A9、A10之间安装一条细管这样做，工程总费用最少。
（元）
题型二、沙漠探险
例题5：有5位探险家计划横穿沙漠。他们每人驾驶一辆吉普车，每辆车最多能携带可供一辆车行驶315千米的汽油。显然，5个人不可能共同穿越500千米以上的沙漠。于是，他们计划在保证其余车安全返回出发点的前提下，让一辆车穿越沙漠。当然，实现这一计划需要几辆车相互借用汽油。问：穿越沙漠的那辆车最多能穿越多宽的沙漠?
首先得给这5辆吉普车设计一套行驶方案，而这个方案的核心就在于：其中的4辆车只是燃料供给车，它们的作用就是在保证自己能够返回的前提下，为第5辆车提供足够的燃料。
如图所示，5辆车一起从A点出发，设第1辆车到B点时留下足够自己返回A点的汽油，剩下的汽油全部转给其余4辆车。注意，B点的最佳选择应该满足刚好使这4辆车全部加满油。
剩下的4辆车继续前进，到C点时第2辆车留下够自己返回A点的汽油，剩下的汽油全部转移给其余3辆车，使它们刚好加满汽油。以此类推，
（千米）
（千米）
例题6：甲乙两个人要到沙漠中探险，他们每天向沙漠深处走20千米，已知每人最多可带一个人24天的食物和水，如不允许将部分食物放于途中，那么其中一个人最多可以深入沙漠多少千米？(要求最后两人都回到出发点)
（天）
（天）
（天）
（千米）
题型三、排队问题
例题7：5个人各拿一个水桶在自来水龙头前等候打水，他们打水所需的时间分别是1分钟、2分钟、3分钟、4分钟和5分钟。如果只有一个水龙头，试问怎样适当安排他们的打水顺序，才能使每个人排队和打水时间的总和最小？并求出最小值。
顺序依次是需要1分钟的，2分钟的，3分钟的，4分钟的，5分钟的。
（分钟）
例题8：理发室里有甲、乙两位理发师，同时来了五位顾客，根据他们所要理的发型，分别需要10，12，15，20和24分钟。怎样安排他们的理发顺序，才能使这五人理发和等候所用时间的总和最少？最少要用多少时间？
甲给10、12、20分钟的顾客理发，乙给15、24分钟的顾客理发。
等候总时间：（分钟）
例题9：车间里有五台车床同时出现故障，已知第一台到第五台修复时间依次为18，30，17，25，20分钟，每台车床停产一分钟造成经济损失5元。现有两名工作效率相同的修理工：
（1）怎样安排才能使得经济损失最少？
（2）怎样安排才能使从开始维修到维修结束历时最短？
其中一个修17、18、25分钟的，另一个修20、30的。
总时间：（分钟）
经济损失最少：（元）
题型四、场地设置问题
例题10：如图，在街道上有A、B、C、D、E五栋居民楼，现在设立一个邮筒，为使五栋楼的居民到邮筒的距离之和最短，邮局应立于何处？
应建立在点C处。
例题11：在一条公路上，每隔10千米有一座仓库（如图），共有五座，图中数字表示各仓库库存货物的重量.现在要把所有的货物集中存放在一个仓库里，如果每吨货物运输1千米需要运费0.9元，那么集中到哪个仓库运费最少？
经过比较，集中在点D仓库运费最少，运费为：
（元）
例题12：下图是A，B，C，D，E五个村之间的道路示意图，○中数字是各村要上学的学生人数，道路上的数表示两村之间的距离（单位：千米）。现在要在五村之中选一个村建立一所小学。为使所有学生到学校的总距离最短，试确定最合理的方案.
若设在A村，则学生到校的总距离为（千米）
若设在B村，则学生到校的总距离为（千米）
若设在C村，则学生到校的总距离为（千米）
若设在D村，则学生到校的总距离为（千米）
通过比较，设在D村比较合理。
1、学校师生1140人外出参观，计划每人发2瓶汽水，商店规定每6个空汽水瓶可以换1瓶汽水，老师最少买多少瓶汽水，合理筹划，回收空瓶换汽水后，可以保证每人按计划喝到汽水？
（瓶）
（瓶）
借1个瓶子加上前面剩下的5瓶可以换一瓶
需要买：（瓶）
2、如图，道路上有8个幼儿园，现在要在道路上建造一个送奶站，为使送奶站到8个幼儿园的距离和最短，送奶站应建在哪个幼儿园？
应建在D、E之间的任意一个地方。
3、一条直街上有5栋楼，从左到右编号为1，2，3，4，5，相邻两楼的距离都是50米。第1号楼有1名职工在A厂上班，第2号楼有2名职工在A厂上班……，第5号楼有5名职工在A厂上班。A厂计划在直街上建一通勤车站接送这5栋楼的职工上下班，为使这些职工到通勤车站所走的路程之和最小，车站应建在距1号楼多少米处？
分析：如图所示，“小往大处靠”的原则来解决，故应建在4号楼的位置，距1号楼150米处．
假设建在3号楼，总路程：（米）
假设建在4号楼，总路程：（米）
应选择建在4号楼处，与1号楼的距离（米）
4、1元钱一瓶汽水，喝完后6个空瓶换一瓶汽水，问：你有20元钱，最多可以喝到几瓶汽水？
3个空瓶+2个空瓶再借1个空瓶可以换1瓶，还1个瓶子。
（瓶）
5、有一个水塔要供应某条公路旁的A～F六个居民点用水（见右图，单位：千米），要安装水管，有粗细两种水管，粗管足够供应6个居民点用水，细管只能供应1个居民点用水，粗管每千米要7000元，细管每千米要2000元，粗细管怎样互相搭配，才能使费用最省？费用应是多少？
四根细管花费超过1根粗管，所以从水塔到C点用粗管，其余用细管。费用：
（元）
7、车间里有5台车床同时出现故障。已知第一台至第五台修复的时间依次为15，8，29，7，10分钟，每台车床停产一分钟造成经济损失5元。问：如果只有一名修理工，那么怎样安排修理顺序才能使经济损失最少？最少为多少元？
（分钟）
（元）
8、设有十个人各拿着一只提桶同时到水龙头前打水，设水龙头注满第一个人的桶需要1分钟，注满第二个人的桶需要2分钟，…….如此下去，当只有两个水龙头时，巧妙安排这十个人打水，使他们总的费时时间最少.这时间等于多少分钟？
第一个水龙头第二个水龙头第一个AF第二个BG第三个CH第四个DI第五个EJ
最短时间为：
（分钟）
9、在一条公路上每隔100千米，有一个仓库（如图）共有5个仓库，一号仓库存有10吨货物，二号仓库有20吨货物，五号仓库存有40吨货物，其余两个仓库是空的。现在想把所以的货物集中存放在一个仓库里，如果每吨货物运输1公里需要0.5元运输费，那么最少要多少运费才行？
集中在五号仓库费用最低：（元）
1、某水池可以用甲、乙两水管注水，单放甲管需12小时注满，单放乙管需24小时注满。若要求10小时注满水池，并且甲、乙两管合放的时间尽可能地少，则甲乙两管全放最少需要多少小时？
（小时）
2、把25拆成若干个正整数的和，使它们的积最大。
[分析]
先从较小数形开始实验，发现其规律：
把6拆成3+3，其积为3×3=9最大；
把7拆成3+2+2，其积为3×2×2=12最大；
把8拆成3+3+2，其积为3×3×2=18最大；
把9拆成3+3+3，其积为3×3×3=27最大；……
这就是说，要想分拆后的数的乘积最大，应尽可能多的出现3，而当某一自然数可表示为若干个3与1的和时，要取出一个3与1重合在一起再分拆成两个2之和，因此25可以拆成3+3+3+3+3+3+3+2+2，其积37×22=8748为最大。
3、今有围棋子1400颗，甲、乙两人做取围棋子的游戏，甲先取，乙后取，两人轮流各取一次，规定每次只能取7P（P为1或不超过20的任一质数）颗棋子，谁最后取完为胜者，问甲、乙两人谁有必胜的策略？
[分析]
因为1400=7×200，所以原题可以转化为：有围棋子200颗，甲、乙两人轮流每次取P颗，谁最后取完谁获胜。
[解]
乙有必胜的策略。
由于200=4×50，P或者是2或者可以表示为4k+1或4k+3的形式（k为零或正整数）。乙采取的策略为：若甲取2，4k+1，4k+3颗，则乙取2，3，1颗，使得余下的棋子仍是4的倍数。如此最后出现剩下数为不超过20的4的倍数，此时甲总不能取完，而乙可全部取完而获胜。
[说明]
（1）此题中，乙是“后发制人”，故先取者不一定存在必胜的策略，关键是看他们所面临的“情形”；
（2）我们可以这样来分析这个问题的解法，将所有的情形——剩余棋子的颗数分成两类，第一类是4的倍数，第二类是其它。若某人在取棋时遇到的是第二类情形，那么他可以取1或2或3，使得剩下的是第一类情形，若取棋时面临第一类情形，则取棋后留给另一个人的一定是第二类情形。所以，谁先面临第二类情形谁就能获胜，在绝大部分双人比赛问题中，都可采用这种方法。
4、十个自然数之和等于1001，则这十个自然数的最大公约数可能取的最大值是多少？（不包括0）
∵1001=7×11×13，∴可以7×13为公约数，这样这十个正整数可以是
，91×2，它们的最大公约数为91.
5、甲、乙两人轮流在黑板上写下不超过10的自然数，规则是禁止写黑板上已写过的数的约数，不能完成下一步的为失败者。问：是先写者还是后写者必胜？如何取胜？
先写者存在获胜的策略。甲第一步写6，乙仅可写4，5，7，8，9，10中的一个，把它们分成数对（4，5），（8，10），（7，9）。如果乙写数对中的某个数，甲就写数对中的另一个数，则甲必胜。
6、妈妈让小明给客人烧开水切茶，洗开水壶要用1分钟，烧开水要用15分钟，洗茶壶要用2分钟，洗茶杯要用1分钟，拿茶叶要用2分钟。小明估算了一下，完成这些工作要花20分钟。为了使客人早点和上茶，按你认为最合理的安排，多少分钟就能切茶了？
先决条件。这1分钟不能省，而洗茶壶、洗开水杯、拿茶叶等切茶的准备工作都可以放在烧开水的15分钟里完成。
解
最省时间的安排是：纤细开水壶（用1分钟），按着烧开水（用15分钟），在等待水烧开的时间里，可以洗茶壶、洗茶杯、拿茶叶，水开了就切茶。这样一共用了16分钟。
代数法解题（二）
例题1：甲、乙两校共有22人参加竞赛，甲校参加人数的比乙校参加人数的少1人，甲、乙两校各有多少人参加？
【思路导航】这题中的等量关系是：甲×＝乙×－1
解：设甲校有x人参加，则乙校有（22－x）人参加。
x＝（22－x）×－1
x＝10
22－10＝12（人）
答：甲校有10人参加，乙校有12人参加。
变式1-1：学校图书馆买来文艺书和连环画共126本，文艺书的比连环画的少7本，图书馆买来的文艺书和连环画各是多少本？
解：设图书馆买来的文艺书有本，则连环画有本
126-54=72（本）
变式1-2：某小有学生465人，其中女生的比男生的少20人，男、女生各有多少人？
解：设女生有人，则男生有人
465-240=225（人）
变式1-3：王师傅和李师傅共加工零件62个，王师傅加工零件个数的比李师傅的少2个，两人各加工了多少个？
解：设李师傅加工了个零件，那么王师傅就加工了个
62-32=30（个）
例题2：甲书架上的书是乙书架上的，两个书架上各借出154本后，甲书架上的书是乙书架上的，甲、乙两书架上原有书各多少本？
【思路导航】这道题的等量关系是；甲书架上剩下的书等于乙书架上剩下的。
解：设乙书架上原有x本，则甲书架上原有x本。
（x－154）×＝x－154
x
＝252
252×＝210（本）
答：甲书架上原有210本，乙书架上原有252本。
变式2-1：儿子今年的年龄是父亲的，4年后儿子的年龄是父亲的，父亲今年多少岁？
解：设父亲今年岁
变式2-2：某校六年级男生是女生人数的，后来转进2名男生，转走3名女生，这时男生人数是女生的。原来男、女生各有多少人？
解：设原来女生有人，原来男生有人
（人）
变式2-3：第一车间人数的等于第二车间人数的，第一车间比第二车间多50人。两个车间各有多少人？
解：设第一车间有人，则第二车间有人
150-50=100（人）
例题3：一个班女同学比男同学的多4人，如果男生减少3人，女生增加4人，男、女生人数正好相等。这个班男、女生各有多少人？
【思路导航】抓住“如果男生减少3人，女生增加4人，男、女生人数正好相等”这个等量关系列方程。
解：设男生有x人，则女生有（x+4）人。
x－3＝x+4+4
x＝33
×33+4＝26（人）
答：这个班男生有33人，女生有26人。
变式3-1：某学校的男教师比女教师的多8人。如果女教师减少4人，男教师增加8人，男、女教师人数正好相等。这个学校男、女教师各有多少人？
解：设女老师有人，男老师有人
（人）
变式3-2：某无线电厂有两个仓库。第一仓库储存的电视机是第二仓库的3倍。如果从第一仓库取出30台，存入第二仓库，则第二仓库就是第一仓库的。两个仓库原来各有电视机多少台？
解：设原来第二仓库有电视机台，则原来第一仓库有台
（台）
变式3-3：某工厂第一车间的人数比第二车间的人数的少30人。如果从第二车间调10人到第一车间，则第一车间的人数就是第二车间的。求原来每个车间的人数。
解：设原来第二车间的人数为人，则第一车间的人数为人
（人）
