人教B版（2019）高中数学选择性必修第一册 1.1.1　空间向量及其运算 课件（50张PPT）

1.1.1　空间向量及其运算
核心素养
1.理解空间向量的概念,掌握空间向量的表示方法.(数学抽象)
2.学会空间向量的线性运算及它们的运算律.(数学运算)
3.能用空间向量的线性运算解决简单的立体几何问题.(逻辑推理)
4.理解空间向量夹角的概念,并掌握两个向量数量积的定义、性质及运算律.(数学抽象)
5.能用两个向量的数量积解决立体几何中的角度和长度等问题.(逻辑推理)
思维脉络
激趣诱思
知识点拨
一天,梭子鱼、虾和天鹅发现路上有一辆车,上面装满了好吃的东西,于是就想把车子从路上拖下来,三个家伙一齐铆足了劲,使出了平生的力气一起拖车,可是,无论它们怎样用力,小车还是在老地方一步也动不了.原来,天鹅使劲往天上提,虾一步步向后倒拖,梭子鱼又朝着池塘拉去.同学们,你们知道这样拉车,车子为什么不动吗?
激趣诱思
知识点拨
1.空间向量的概念
空间向量
空间中既有大小,又有方向的量
零向量、单位向量
始点和终点相同的向量称为零向量,记为0.模等于1的向量称为单位向量,一般记为e
向量的模(或长度)
表示向量a的有向线段的长度,记作|a|
相等向量
大小相等、方向相同的向量
平行向量(或共线向量)
方向相同或者相反的两个非零向量
共面向量
空间中的多个向量,如果表示它们的有向线段通过平移之后,都能在同一平面内
激趣诱思
知识点拨
微判断
(1)两个有共同始点且相等的向量,其终点必相同.(　　)
(2)两个有公共终点的向量,一定是共线向量.(　　)
(3)在空间中,任意一个向量都可以进行平移.(　　)
答案:(1)√　(2)×　(3)√
微练习
在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,与向量AD相等的向量共有(　)
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个

答案:C
激趣诱思
知识点拨
2.空间向量的线性运算及其运算律
(3)数乘:λa,
①当λ≠0,a≠0时,
|λa|=|λ||a|,而且λa的方向:
当λ>0时,λa与a方向相同;
当λ<0时,λa与a方向相反;
②当λ=0或a=0时,λa=0.
激趣诱思
知识点拨
(4)线性运算律
①加法交换律:a+b=b+a;
②加法结合律:(a+b)+c=a+(b+c);
③分配律:(λ+μ)a=λa+μa,λ(a+b)=λa+λb.
名师点析 空间向量的线性运算中,加法满足三角形法则和平行四边形法则,减法满足三角形法则.

(2)以向量a,b对应的有向线段为邻边的平行四边形中,a+b与a-b对应的有向线段所表示的是两条对角线,|a+b|与|a-b|为两条对角线的长度.
(3)三个不共面的向量和,等于以这三个向量对应的有向线段为邻边的平行六面体中,与这三个向量有共同始点的体对角线所表示的向量.
激趣诱思
知识点拨
微判断
空间中两个非零向量相加时,可以在空间中任取一点作为它们的共同始点.(　　)
答案:√
微练习1

　　　　　　　　
A.a+b+c　B.a+b-c C.a-b-c D.-a+b+c

答案:C
激趣诱思
知识点拨
微练习2
微思考
首尾相接的若干向量若构成一个封闭图形,它们的和向量有什么特点?
提示:和向量为0.
激趣诱思
知识点拨
3.空间向量的夹角
激趣诱思
知识点拨
微判断

答案:×
微思考
两个非零向量共线时,其夹角分别是多少?
提示:两个非零向量共线且同向时,=0;两个非零向量共线且反向时,=π.
激趣诱思
知识点拨
4.空间向量的数量积
(1)定义:空间中已知两个非零向量a,b,则|a||b|cos叫做a,b的数量积(也称为内积),记作a·b.即a·b=|a||b|cos.
(2)规定零向量与任意向量的数量积为0.
微判断
若非零向量a,b为共线且同向的向量,则a·b=|a||b|.(　　)
答案:√
微思考
两个向量的数量积与数乘向量有何不同?
提示:两个向量的数量积是它们的模与其夹角的余弦值的乘积,其结果是实数;数乘向量是一个数与一个向量的乘积,其结果仍是一个向量,如0·a=0,而0·a=0.
激趣诱思
知识点拨
5.空间向量的数量积的性质
(1)a⊥b?a·b=0;
(2)a·a=|a|2=a2;
(3)|a·b|≤|a||b|;
(4)(λa)·b=λ(a·b);
(5)a·b=b·a(交换律);
(6)(a+b)·c=a·c+b·c(分配律).
激趣诱思
知识点拨
名师点析 (1)空间向量的数量积的运算符号是“·”,不能省略,更不能写成“×”;
(2)空间向量的数量积(内积)是一个实数而不是一个向量,它有别于数乘向量;
(3)若a·b=k,不能得出a= ;
(4)a⊥b的充要条件是a·b=0,这是用向量证明空间中垂直关系的根本方法,同时也说明了命题“a·b=0?a=0或b=0”是错误的.
激趣诱思
知识点拨
微判断
(1)对于非零向量b,由a·b=b·c,可得a=c.(　　)
(2)对于向量a,b,c,有(a·b)·c=a·(b·c).(　　)
答案:(1)×　(2)×
微练习
已知|a|=1,|b|= ,且a-b与a垂直,则a与b的夹角为(　　)
A.60°　　B.30°　　C.135°　　D.45°
解析:∵a-b与a垂直,∴(a-b)·a=0,
∴a·a-a·b=|a|2-|a|·|b|·cos


答案:D
探究一
探究二
探究三
探究四
探究五
素养形成
当堂检测
空间向量的概念
例1给出下列命题:①两个空间向量相等,则它们的起点相同,终点也相同;②若空间向量a,b满足|a|=|b|,则a=b;③在正方体ABCD-A1B1C1D1中,必有 ;④若空间向量m,n,p满足m=n,n=p,则m=p;⑤空间中任意两个单位向量必相等.其中正确的个数为(　　)
A.4 B.3
C.2 D.1
探究一
探究二
探究三
探究四
探究五
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答案:C
探究一
探究二
探究三
探究四
探究五
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反思感悟 解决有关向量概念的问题,要熟练掌握空间向量的有关概念,注意区分向量与向量的模以及数量.相等向量只需方向相同,长度相等,与向量的起点和终点没有必然的联系.尤其要注意解决此类概念问题时,要多结合几何图形进行分析,并要与平面向量中的结论进行类比.
探究一
探究二
探究三
探究四
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当堂检测
变式训练1下列关于空间向量的说法中正确的是(　　)
A.空间向量不满足加法结合律
B.若|a|=|b|,则a,b的长度相等而方向相同或相反

D.相等向量其方向必相同
解析:A中,空间向量满足加法结合律;B中,|a|=|b|只能说明a,b的长度相等而方向不确定;C中,向量作为矢量不能比较大小,故选D.
答案:D
探究一
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探究三
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空间向量的线性运算
例2如图,已知长方体ABCD-A'B'C'D',化简下列向量表达式,并在图中标出化简结果的向量.
探究一
探究二
探究三
探究四
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探究一
探究二
探究三
探究四
探究五
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例3已知在平行六面体ABCD - A'B'C'D'中,M为CC'的中点(如图).化简下列各表达式,并在图中标出化简结果的向量.
探究一
探究二
探究三
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反思感悟 (1)对于借助几何图形的向量运算,应该在线性运算的基础上挖掘好几何体中本身的特征,如平行、垂直、相等等.
(2)化归与转化思想意识要加强,除借助向量的运算律外,还可以将已知向量转化为与之相等的向量以方便其运算,如例3中第(2)问将
探究一
探究二
探究三
探究四
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探究一
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探究三
探究四
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答案:A
探究一
探究二
探究三
探究四
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求向量的数量积
探究一
探究二
探究三
探究四
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探究一
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探究三
探究四
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反思感悟 求两个向量m,n的数量积一般分为两个层次:一是结合图形确定向量m,n的模及的大小,直接利用空间向量数量积的定义来求,此种情况下要注意向量夹角的正确性;二是选定一组基向量表示向量m,n,从而把m,n的数量积通过运算转化为基向量之间的数量积来求.题目中没有明确基底的时候,合理选取基底是至关重要的,比如此题的基底选取既方便向量表示,又方便计算.
探究一
探究二
探究三
探究四
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变式训练4
如图所示,在棱长为1的正四面体ABCD中,E,F分别是AB,AD的中点,求:
探究一
探究二
探究三
探究四
探究五
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探究一
探究二
探究三
探究四
探究五
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利用数量积证明垂直问题
例5



如图所示,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为平行四边形,∠DAB=60°,AB=2AD,PD⊥底面ABCD.
求证:PA⊥BD.
探究一
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反思感悟 (1)由数量积的性质a⊥b?a·b=0可知,要证两直线垂直,可构造与两直线分别平行的向量(a,b是非零向量),只要证明这两个向量的数量积为0即可.
(2)用向量法证明线面(面面)垂直,离不开线面(面面)垂直的判定定理,需将线面(面面)垂直转化为线线垂直,然后利用向量法证明线线垂直.
探究一
探究二
探究三
探究四
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变式训练5如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,O为AC与BD的交点,G为CC1的中点,求证:A1O⊥平面GBD.
探究一
探究二
探究三
探究四
探究五
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探究一
探究二
探究三
探究四
探究五
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利用数量积求解距离或长度问题
例6平行四边形ABCD中,AB=2AC=2且∠ACD=90°,将它沿对角线AC折起,使AB与CD成60°角,求B,D间的距离.
探究一
探究二
探究三
探究四
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探究一
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探究四
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反思感悟 利用向量的数量积求两点间的距离,可以转化为求向量的模的问题,其基本思路是先选择以两点为端点的向量,将此向量表示为几个已知向量的和的形式,求出这几个已知向量的两两之间的夹角以及它们的模,利用公式 求解即可.
探究一
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变式训练6在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,
AB=1,AD=2,AA1=3,∠BAD=90°,∠BAA1=∠DAA1=60°,求AC1的长.
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易错点——因将向量夹角与直线夹角混淆而致错
案例 如图,空间四边形ABCD中,每条边的长度和两条对角线的长度都等于1,M,N分别是AB,AD的中点,计算
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1.“两个非零空间向量的模相等”是“两个空间向量相等”的(　　)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
答案:B
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答案:C
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答案:D
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4.若a,b,c为空间两两夹角都是60°的三个单位向量,则|a-b+2c|=　　　　.?
解析:|a-b+2c|2=(a-b+2c)2
=a2+b2+4c2-2a·b+4a·c-4b·c
=5.
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答案:60°　1
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6.已知空间四边形OABC中,M,N,P,Q分别为BC,AC,OA,OB的中点,若AB=OC,求证:PM⊥QN.