人教A版（2019）高中数学选择性必修第一册 1.1.1　空间向量及其线性运算 课件（44张PPT）

1.1.1　空间向量及其线性运算
激趣诱思
知识点拨
一天,梭子鱼、虾和天鹅发现路上有一辆车装满了好吃的东西,于是就想把车子从路上拖下来,三个家伙一齐铆足了劲,使出了平生的力气一起拖车,可是,无论它们怎样用力,小车还是在老地方一步也不动.原来,天鹅使劲往天上提,虾一步步向后倒拖,梭子鱼又朝着池塘拉去.
同学们,你知道为什么车会一动不动吗?
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知识点拨
一、空间向量的定义及相关概念
1.定义
在空间,我们把具有　　　　和　　　　的量叫做空间向量,空间向量的大小叫做空间向量的　　　　　　.?
2.空间向量及其模的表示方法
空间向量用字母a,b,c,…表示.若向量a的起点是A,终点是B,则向量a也可以记作　　　　,其模记
大小
方向
长度或模
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3.空间向量的相关概念
平行或重合
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名师点析1.空间向量只有大小和方向,同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量,即向量可以在空间中平移.
2.我们规定:零向量与任意向量平行,即对于任意向量a,都有0∥a.
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微思考
涉及空间两个向量的问题,平面向量中的有关结论是否仍然适用?
提示:适用.
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微练习
(多选题)下列命题正确的是(　　)
A.若向量a与b的方向相反,则称向量a与b为相反向量
B.零向量没有方向
C.若a是单位向量,则|a|=1
D.若向量m,n,p满足m=n,n=p,则一定有m=p
答案:CD　
解析:单位向量是指模等于1的向量,所以若a是单位向量,则必有|a|=1,即选项C正确;由向量相等的定义,知m与p方向相同,模相等,故一定有m=p,选项D正确.
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二、空间向量的线性运算
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微练习1
已知空间四边形ABCD中,
A.a+b-c　　　　B.c-a-b
C.c+a-b D.c+a+b
答案:B
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微练习2
已知空间四边形ABCD,M,G分别是BC,CD的中点,连接AM,AG,MG,
答案:A
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三、共线向量与共面向量
1.
互相平行或重合
同一个平面
a=λb
p=xa+yb
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2.如图,O是直线l上一点,在直线l上取非零向量a,则对于直线l上任意一点P,由数乘向量的定义及向量共线的充要条件可知,存在实数λ,使得 =λa.
我们把与向量a平行的非零向量称为直线l的　　　　　.这样,直线l上任意一点都可以由直线l上的一点和它的方向向量表示,也就是说,直线可以由其上一点和它的方向向量确定.?
方向向量
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名师点析共线向量的特点及三点共线的充要条件
(1)共线向量不具有传递性
因为零向量0=0·a,所以零向量和空间任一向量a是共线(平行)向量,这一性质使共线向量不具有传递性,即若a∥b,b∥c,则a∥c不一定成立.因为当b=0时,a∥0,0∥c,但a与c不一定共线.
(2)空间三点共线的充要条件
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微练习1
满足下列条件,能说明空间不重合的A,B,C三点共线的是(　　)
答案:C
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微练习2
对于空间的任意三个向量a,b,2a-b,它们一定是(　　)
A.共面向量
B.共线向量
C.不共面向量
D.既不共线也不共面的向量
答案:A
解析:因为2a-b=2·a+(-1)·b,
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微判断
判断下列命题是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)若a与b共线,b与c共线,则a与c共线.(　　)
(2)若向量a,b,c共面,即表示这三个向量的有向线段所在的直线共面.(　　)
(3)若a∥b,则存在唯一的实数λ,使a=λb.(　　)
答案: (1)×　(2)×　(3)×
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探究二
探究三
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空间向量及相关概念的理解
解析:①错误,在同一条直线上的单位向量,方向可能相同,也可能相反,故它们不一定相等;
②正确,零向量的模等于0,模等于0的向量只有零向量;
②③
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反思感悟空间向量概念的辨析
(1)向量的两个要素是大小与方向,两者缺一不可;
(2)单位向量的方向虽然不一定相同,但长度一定为1;
(3)两个向量的模相等,即它们的长度相等,但方向不确定,即两个向量(非零向量)的模相等是两个向量相等的必要不充分条件;
(4)由于方向不能比较大小,因此“大于”“小于”对向量来说是没有意义的,但向量的模是可以比较大小的.
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变式训练1下列说法正确的是(　　)
A.若|a|=|b|,则a,b的长度相同,方向相同或相反
B.若向量a是向量b的相反向量,则|a|=|b|
C.两个向量相等,若它们的起点相同,则其终点不一定相同
D.若|a|>|b|,|b|>|c|,则a>c
答案:B　
解析:两个向量是相反向量时,它们的模必相等,故选项B正确.
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空间向量的线性运算
思路分析根据数乘向量及三角形法则,平行四边形法则求解.
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反思感悟空间向量线性运算的技巧和思路
(1)空间向量加法、减法运算的两个技巧
①巧用相反向量:向量加减法的三角形法则是解决空间向量加法、减法运算的关键,灵活应用相反向量可使有关向量首尾相接,从而便于运算.
②巧用平移:利用三角形法则和平行四边形法则进行向量的加法、减法运算时,务必要注意和向量、差向量的方向,必要时可采用空间向量的自由平移获得更准确的结果.
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(2)化简空间向量的常用思路
①分组:合理分组,以便灵活运用三角形法则、平行四边形法则进行化简.
②多边形法则:在空间向量的加法运算中,若是多个向量求和,还可利用多边形法则,若干个向量的和可以将其转化为首尾相接的向量求和.
③走边路:灵活运用空间向量的加法、减法法则,尽量走边路(即沿几何体的边选择途径).
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空间共线向量定理及其应用
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反思感悟利用空间向量共线定理可解决的主要问题
1.判断两向量是否共线:判断两向量a,b(b≠0)是否共线,即判断是否存在实数λ,使a=λb.
2.求解参数:已知两非零向量共线,可求其中参数的值,即利用“若a∥b,则a=λb(λ∈R)”.
3.判断或证明空间中的三点(如P,A,B)是否共线:
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解:∵M,N分别是AC,BF的中点,
且四边形ABCD,ABEF都是平行四边形,
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空间共面向量定理及其应用
(2)判断点M是否在平面ABC内.
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反思感悟证明共面问题的基本方法
(1)证明两个空间向量共面时,可以利用共面向量的充要条件,也可直接利用共面向量的定义,通过线面平行、直线在平面内等进行证明.
(2)证明空间四点P,M,A,B共面时,可以通过以下几种条件进行证明.
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变式训练4已知A,B,C三点不共线,点O是平面ABC外的任意一点,若点P分别满足下列关系:
试判断点P是否与点A,B,C共面.
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一题多变——空间向量的加法、减法运算
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解:(1)根据六棱柱的性质知四边形BB1C1C,DD1E1E都是平行四边形,
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方法总结在进行减法运算时,可将减去一个向量转化为加上这个向量的相反向量,而在进行加法运算时,首先考虑这两个向量在哪个平面内,然后与平面向量求和一样,运用向量运算的平行四边形法则、三角形法则及多边形法则来求.
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1.“两个非零空间向量的模相等”是“两个空间向量相等”的(　　)
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
2.在平行六面体ABCD-A‘B’C‘D’中,与向量 相等的向量共有(　　)
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
答案:B　
解析:两个向量相等是指两个向量的模相等并且方向相同,因此“两个非零向量的模相等”是“两个向量相等”的必要不充分条件.
答案:C　
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3.如图,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,点M为A1C1与B1D1的交
答案:B　
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4.下列条件使点M与点A,B,C一定共面的是(　　)
答案:D　
解析:根据共面向量定理知A,B,C均错,只有D能使其一定共面.
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5.如图所示,已知矩形ABCD,P为平面ABCD外一点,且PA⊥平面ABCD,M,N分别为PC,PD上的点,且PM∶MC=2∶1,N为PD中点,
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解:如图,在PD上取一点F,使PF∶FD=2∶1,连接MF,