2.1.1 锐角三角函数（含答案）
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第二章 直角三角形的边角关系
2.1 锐角三角函数
第1课时
知识梳理
知识点1 正切的定义
定义:如图所示，在Rt△ABC中，如果锐角A确定，那么∠A的__________与__________的比便随之确定，这个比叫做∠A的正切，记作tanA，即tanA＝______________。
若图中，AC＝6，BC＝4，则tanA＝__________ ，tanB＝___________。
说明：（1）正切是在直角三角形中定义的，它实质上是两线段长度的比，即某角的正切只是一个数值，其大小只与这个角的大小有关.（2）tanA是一个完整的符号，不能写成tan·A.（3）由于直角三角形的各边都为正数，所以tanA＞0.
知识点2 梯子的倾斜程度与tanA的关系
判断梯子的倾斜程度，可以计算∠A的正切值。tanA值越大，梯子越_________。
如图所示是甲、乙两个自动扶梯，由图中的数据可知甲扶梯中tana＝_____________，乙扶梯中tanβ＝____________，因为tana________tanβ，所以__________扶梯陡。
知识点3 坡度与坡角
斜坡的倾斜程度通常用坡度来表示.坡面的___________与___________的比叫做坡度（或坡比）。
坡面与水平面的夹角叫做_____________。坡度是坡角的____________。
如图所示，山坡在水平方向每前进100m，高度就升高25m，那么山坡的坡度tanA＝___________。
说明：坡度表示的是斜坡的倾斜程度，坡度越大，坡角越大，坡面越陡。习惯上坡度用字母i表示。
考点突破
考点① 求锐角的正切值
典例1 如图所示，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，
AB＝10，AC＝8.
（1）求tanA的值；
（2）设∠BCD＝∠a，求tana的值。
思路导析:（1）先根据勾股定理求出BC的长，再根据正切的定义求出tanA的值.（2）由∠a＝∠A，可得 tana＝tanA.
解:（1）∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∴BC＝＝＝6.
∴tanA＝；
（2）∵∠ACB＝90°，∴∠ACD＋∠a＝90°。
∵CD⊥AB，∴∠ADC＝90°，∠A＋∠ACD＝90°
∴∠a＝∠A.∴tana＝tanA＝.
友情提示（1）求一个锐角的正切值就是求锐角所在的直角三角形的对边与邻边的比.（2）注意利用图形中的等角转化思想来求解。
变式1 如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，AC＝3，求tanA.
变式2 在Rt△ABC中，∠C＝90°，根据下列条件分别求出∠A，∠B的正切值。
（1）已知a＝3，b＝6；
（2）已知a＝4，c＝5；
通过上述计算，你发现什么规律？
典例2 如图所示，在△ABC中，AB＝AC，AB＝2，BC＝2.
（1）求tanB的值；
（2）求tan的值。
思路导析:（1）求∠B的正切值，需把∠B放在直角三角形中，故过点A作AD⊥BC于点D，构造直角三角形.（2）由（1）可知∠BAD＝∠BAC，故tan＝tan∠BAD.
解:（1）如图所示，过点A作AD⊥BC于点D。
∵AB＝AC，AD⊥BC，∴BD＝BC＝×2＝.
∴AD＝＝＝1.
∴在Rt△ABD中，tanB＝;
（2）∵AB＝AC，AD⊥BC，∴∠BAD＝∠BAC.
在Rt△ABD中，tan∠BAD＝＝.即tan＝.
友情提示（1）在求正切的锐角不在直角三角形中时，需通过作垂线构造直角三角形，使这个锐角成为直角三角形的一个内角（2）tan≠tanA.
变式3 如图所示，将△ABC放在每个小正方形的边长为1的网格中，点A，B，C均在格点上，则tanA的值是（ ）
B.
C. 2 D.
变式4 等腰三角形的一条腰长为13 cm，底边长为10 cm，求底角的正切值。
典例3 如图所示，在△ABC中，AB：AC：BC＝2：：1，求最小锐角的正切值。
思路导析: 通过勾股定理逆定理，可判断出△ABC为直角三角形，由BC与AC之间的比值，可求出∠A的正切值。
解:∵在△ABC中，AB:AC:BC＝2:3:1，∴可设AB＝2a，AC＝3a，BC＝a.
∵AC2＋BC2＝（3a）2＋a2＝4a2＝AB2，∴∠C＝90°，且∠A为最小锐角.
∴tanA＝＝＝。
友情提示 如果知道直角三角形的两边关系求锐角的正切值，可通过设辅助未知数的方法表示出各边。
变式5 在Rt△ABC中，∠C＝90°，若AC＝2BC，则tanA的值是（ ）
B. 2 C. D.
变式6 如图所示，已知四边形ABCD为正方形，如果将线段BD绕着点B旋转后，点D落在CB延长线上的点D＇处，求tan∠BAD＇的值.
考点2 利用正切值求线段长
典例4 在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，tanB＝，求BC，AB的长.
思路导析: 由tanB＝，可得BC＝＝，再用勾股定理求出AB的值。
解: 如图所示，∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，∴tanB＝。
∴BC＝＝.
∴AB＝＝＝12.
友情提示：在Rt△ABC中，若∠C＝90°，由tanA＝可得a＝b·tanA，b＝；由tanB＝，可得b＝a·tanB，a＝。
变式7 在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝8，tanA＝，求AC，AB的长.
考点③ 与坡度有关的问题
典例5 如图1所示，在坡度为1:2的山坡上种树，要求株距为6m，试求斜坡上相邻两树间的坡面距离.（参考数据:≈2.24，结果精确到0.1m）
思路导析: 如图2所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，由题意得，tanA＝＝。
解: ∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，＝＝，
∴BC＝AC·tanA＝6×＝3（m）.
∴AB＝＝＝3≈6.7（m）。
故斜坡上相邻两树间的坡面距离约为6.7m.
友情提示 坡度是坡面的铅直高度与水平宽度的比。
变式8 如图所示，河堤横断面迎水坡AB的坡比是1:，堤高BC＝5m，求坡面AB的长度。
巩固提高
1.如图所示，点A（t，3）在第一象限，OA与x轴所夹的锐角为a，tana＝，则t的值是（ ）
A. 1 B. 1.5
C. 2 D. 3
2.在Rt△ABC中，∠C＝90°，若斜边AB是直角边BC的3倍，则tanB的值为（ ）
A. B. 3 C. D. 2
3.如图所示，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，若AC＝2，AB＝3，则
tan∠BCD的值为（ ）
A. B. C. D.
4.如图所示，已知Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，tanA＝2，则BC的长是（ ）
A. 2 B. 8 C. 2 D. 4
5.在正方形网格中，∠a的位置如图所示，则tana的值是（ ）
A. B. C. D. 2
6.如图所示，在网格中，小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，则∠ABC的正切值是（ ）A. 2 B. C. D.
7.如图所示，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，BC＝1，则tanA的值是____________。
8.如图所示，在地面上的点A处测得树顶B的仰角为a度，AC＝7米，则树高BC为_______米.（用
含a的代数式表示）
9.某人沿着有一定坡度的坡面前进了10米，此时他与水平地面的垂直距离为2米，则这个坡面的坡度为_____________。
10.在Rt△ABC中，∠C＝90°，根据下列条件分别求出∠A，∠B的正切值.
（1）已知a＝4，b＝5；
（2）已知b＝4，c＝4；
（3）已知c＝2a.
11.如图所示，∠C＝90°，DE⊥AB，垂足为点E，AB＝10，BC＝6，求tan∠BDE的值.
12.如图所示，一架梯子斜靠在墙上，若梯子顶端到墙角的竖直距离BC＝4米，tan∠BAC＝，求梯子AB的长度。
13.在矩形ABCD中AB＝10，BC＝8，E为AD边上一点，沿CE将△CDE对折，使点D正好落在AB边于点F，求tan∠AFE.
14.如图所示，方方和圆圆分别将两根木棒AB＝10cm，CD＝6cm斜立在墙上，其中BE＝6cm，DE＝2cm，你能判断谁的木棒更陡吗？说明理由。
体验中考
1.（2019·广州）如图所示，有一斜坡AB，坡顶B离地面的高度BC为30 m，斜坡的倾斜角是∠BAC，若tan∠BAC＝，则此斜坡的水平距离AC为（ ）
A. 75 m B. 50 m C. 30 m D. 12 m
2.（2018·云南）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝1，BC＝3，则∠A的正切值为（ ）
A. 3 B. C. D.
3.（2017·金华）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，则tanA的值是（ ）
A. B. C. D.
参考答案
知识梳理
知识点1：对边BC 邻边AC
知识点2：陡 > 甲
知识点3：铅直高度 水平宽度 坡角 正切值
考点突破
1.
2，解:（1）:在Rt△ABC中，∠C＝90?，a＝3，b＝6，∴tanA＝＝＝，
tanB＝＝＝2；
（2）∵在Rt△ABC中，∠C＝90?，a＝4，c＝5，∴b2＝c2－a2＝52－42＝9.∴b＝3.
∴tanA＝，tanB＝.
通过上述计算，发现互余角的正切值互为倒数.
D 4. 12 5. A 6. 7. AC＝6，AB＝10 8. AB＝10 m
巩固提高
C 2. D 3. B 4. A 5. D 6. D
8. 7tana 9. 1 ：2
10.解（1）tanA＝，tanB＝；（2）tanA＝1， tanB＝1；（3）tanA＝，tanB＝.
11. 12. AB＝5米
13.解:根据图形有:∠AFE＋∠EFC＋∠BFC＝180?，根据折叠的性质，∠EFC＝∠EDC＝90?，
即∠AFE＋ ∠BFC＝90?.在Rt ABCF中，有∠BCF ＋∠BFC＝90?，易得∠AFE＝∠BCF.
在Rt△BFC中，根据折叠的性质，有CF＝CD.在Rt△BFC中，BC＝8，CF＝CD＝10，由勾股定理易得BF＝6，则tan∠BCF＝，故有tan∠AFE＝tan∠BCF＝。
14.解:圆圆的木棒更陡.理由如下:
在Rt△ABE中，AE＝＝＝8（cm），∴tan∠ABE＝.
在Rt△CDE中，CE＝＝＝4（cm），∴tan∠CDE＝＝＝2.
∴tan∠CDE ＞ tan∠ABE.∴圆圆的木棒更陡.
体验中考
A 2. A 3. A
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第二章 直角三角形的边角关系
2.1 锐角三角函数
第1课时
知识梳理
知识点1 正切的定义
定义:如图所示，在Rt△ABC中，如果锐角A确定，那么∠A的__________与__________的比便随之确定，这个比叫做∠A的正切，记作tanA，即tanA＝______________。
若图中，AC＝6，BC＝4，则tanA＝__________ ，tanB＝___________。
说明：（1）正切是在直角三角形中定义的，它实质上是两线段长度的比，即某角的正切只是一个数值，其大小只与这个角的大小有关.（2）tanA是一个完整的符号，不能写成tan·A.（3）由于直角三角形的各边都为正数，所以tanA＞0.
知识点2 梯子的倾斜程度与tanA的关系
判断梯子的倾斜程度，可以计算∠A的正切值。tanA值越大，梯子越_________。
如图所示是甲、乙两个自动扶梯，由图中的数据可知甲扶梯中tana＝_____________，乙扶梯中tanβ＝____________，因为tana________tanβ，所以__________扶梯陡。
知识点3 坡度与坡角
斜坡的倾斜程度通常用坡度来表示.坡面的___________与___________的比叫做坡度（或坡比）。
坡面与水平面的夹角叫做_____________。坡度是坡角的____________。
如图所示，山坡在水平方向每前进100m，高度就升高25m，那么山坡的坡度tanA＝___________。
说明：坡度表示的是斜坡的倾斜程度，坡度越大，坡角越大，坡面越陡。习惯上坡度用字母i表示。
考点突破
考点① 求锐角的正切值
典例1 如图所示，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，
AB＝10，AC＝8.
（1）求tanA的值；
（2）设∠BCD＝∠a，求tana的值。
思路导析:（1）先根据勾股定理求出BC的长，再根据正切的定义求出tanA的值.（2）由∠a＝∠A，可得 tana＝tanA.
解:（1）∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∴BC＝＝＝6.
∴tanA＝；
（2）∵∠ACB＝90°，∴∠ACD＋∠a＝90°。
∵CD⊥AB，∴∠ADC＝90°，∠A＋∠ACD＝90°
∴∠a＝∠A.∴tana＝tanA＝.
友情提示（1）求一个锐角的正切值就是求锐角所在的直角三角形的对边与邻边的比.（2）注意利用图形中的等角转化思想来求解。
变式1 如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，AC＝3，求tanA.
变式2 在Rt△ABC中，∠C＝90°，根据下列条件分别求出∠A，∠B的正切值。
（1）已知a＝3，b＝6；
（2）已知a＝4，c＝5；
通过上述计算，你发现什么规律？
典例2 如图所示，在△ABC中，AB＝AC，AB＝2，BC＝2.
（1）求tanB的值；
（2）求tan的值。
思路导析:（1）求∠B的正切值，需把∠B放在直角三角形中，故过点A作AD⊥BC于点D，构造直角三角形.（2）由（1）可知∠BAD＝∠BAC，故tan＝tan∠BAD.
解:（1）如图所示，过点A作AD⊥BC于点D。
∵AB＝AC，AD⊥BC，∴BD＝BC＝×2＝.
∴AD＝＝＝1.
∴在Rt△ABD中，tanB＝;
（2）∵AB＝AC，AD⊥BC，∴∠BAD＝∠BAC.
在Rt△ABD中，tan∠BAD＝＝.即tan＝.
友情提示（1）在求正切的锐角不在直角三角形中时，需通过作垂线构造直角三角形，使这个锐角成为直角三角形的一个内角（2）tan≠tanA.
变式3 如图所示，将△ABC放在每个小正方形的边长为1的网格中，点A，B，C均在格点上，则tanA的值是（ ）
B.
C. 2 D.
变式4 等腰三角形的一条腰长为13 cm，底边长为10 cm，求底角的正切值。
典例3 如图所示，在△ABC中，AB：AC：BC＝2：：1，求最小锐角的正切值。
思路导析: 通过勾股定理逆定理，可判断出△ABC为直角三角形，由BC与AC之间的比值，可求出∠A的正切值。
解:∵在△ABC中，AB:AC:BC＝2:3:1，∴可设AB＝2a，AC＝3a，BC＝a.
∵AC2＋BC2＝（3a）2＋a2＝4a2＝AB2，∴∠C＝90°，且∠A为最小锐角.
∴tanA＝＝＝。
友情提示 如果知道直角三角形的两边关系求锐角的正切值，可通过设辅助未知数的方法表示出各边。
变式5 在Rt△ABC中，∠C＝90°，若AC＝2BC，则tanA的值是（ ）
B. 2 C. D.
变式6 如图所示，已知四边形ABCD为正方形，如果将线段BD绕着点B旋转后，点D落在CB延长线上的点D＇处，求tan∠BAD＇的值.
考点2 利用正切值求线段长
典例4 在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，tanB＝，求BC，AB的长.
思路导析: 由tanB＝，可得BC＝＝，再用勾股定理求出AB的值。
解: 如图所示，∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，∴tanB＝。
∴BC＝＝.
∴AB＝＝＝12.
友情提示：在Rt△ABC中，若∠C＝90°，由tanA＝可得a＝b·tanA，b＝；由tanB＝，可得b＝a·tanB，a＝。
变式7 在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝8，tanA＝，求AC，AB的长.
考点③ 与坡度有关的问题
典例5 如图1所示，在坡度为1:2的山坡上种树，要求株距为6m，试求斜坡上相邻两树间的坡面距离.（参考数据:≈2.24，结果精确到0.1m）
思路导析: 如图2所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，由题意得，tanA＝＝。
解: ∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，＝＝，
∴BC＝AC·tanA＝6×＝3（m）.
∴AB＝＝＝3≈6.7（m）。
故斜坡上相邻两树间的坡面距离约为6.7m.
友情提示 坡度是坡面的铅直高度与水平宽度的比。
变式8 如图所示，河堤横断面迎水坡AB的坡比是1:，堤高BC＝5m，求坡面AB的长度。
巩固提高
1.如图所示，点A（t，3）在第一象限，OA与x轴所夹的锐角为a，tana＝，则t的值是（ ）
A. 1 B. 1.5
C. 2 D. 3
2.在Rt△ABC中，∠C＝90°，若斜边AB是直角边BC的3倍，则tanB的值为（ ）
A. B. 3 C. D. 2
3.如图所示，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，若AC＝2，AB＝3，则
tan∠BCD的值为（ ）
A. B. C. D.
4.如图所示，已知Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，tanA＝2，则BC的长是（ ）
A. 2 B. 8 C. 2 D. 4
5.在正方形网格中，∠a的位置如图所示，则tana的值是（ ）
A. B. C. D. 2
6.如图所示，在网格中，小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，则∠ABC的正切值是（ ）A. 2 B. C. D.
7.如图所示，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，BC＝1，则tanA的值是____________。
8.如图所示，在地面上的点A处测得树顶B的仰角为a度，AC＝7米，则树高BC为_______米.（用
含a的代数式表示）
9.某人沿着有一定坡度的坡面前进了10米，此时他与水平地面的垂直距离为2米，则这个坡面的坡度为_____________。
10.在Rt△ABC中，∠C＝90°，根据下列条件分别求出∠A，∠B的正切值.
（1）已知a＝4，b＝5；
（2）已知b＝4，c＝4；
（3）已知c＝2a.
11.如图所示，∠C＝90°，DE⊥AB，垂足为点E，AB＝10，BC＝6，求tan∠BDE的值.
12.如图所示，一架梯子斜靠在墙上，若梯子顶端到墙角的竖直距离BC＝4米，tan∠BAC＝，求梯子AB的长度。
13.在矩形ABCD中AB＝10，BC＝8，E为AD边上一点，沿CE将△CDE对折，使点D正好落在AB边于点F，求tan∠AFE.
14.如图所示，方方和圆圆分别将两根木棒AB＝10cm，CD＝6cm斜立在墙上，其中BE＝6cm，DE＝2cm，你能判断谁的木棒更陡吗？说明理由。
体验中考
1.（2019·广州）如图所示，有一斜坡AB，坡顶B离地面的高度BC为30 m，斜坡的倾斜角是∠BAC，若tan∠BAC＝，则此斜坡的水平距离AC为（ ）
A. 75 m B. 50 m C. 30 m D. 12 m
2.（2018·云南）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝1，BC＝3，则∠A的正切值为（ ）
A. 3 B. C. D.
3.（2017·金华）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，则tanA的值是（ ）
A. B. C. D.
参考答案
知识梳理
知识点1：对边BC 邻边AC
知识点2：陡 > 甲
知识点3：铅直高度 水平宽度 坡角 正切值
考点突破
1.
2，解:（1）:在Rt△ABC中，∠C＝90?，a＝3，b＝6，∴tanA＝＝＝，
tanB＝＝＝2；
（2）∵在Rt△ABC中，∠C＝90?，a＝4，c＝5，∴b2＝c2－a2＝52－42＝9.∴b＝3.
∴tanA＝，tanB＝.
通过上述计算，发现互余角的正切值互为倒数.
D 4. 12 5. A 6. 7. AC＝6，AB＝10 8. AB＝10 m
巩固提高
C 2. D 3. B 4. A 5. D 6. D
8. 7tana 9. 1 ：2
10.解（1）tanA＝，tanB＝；（2）tanA＝1， tanB＝1；（3）tanA＝，tanB＝.
11. 12. AB＝5米
13.解:根据图形有:∠AFE＋∠EFC＋∠BFC＝180?，根据折叠的性质，∠EFC＝∠EDC＝90?，
即∠AFE＋ ∠BFC＝90?.在Rt ABCF中，有∠BCF ＋∠BFC＝90?，易得∠AFE＝∠BCF.
在Rt△BFC中，根据折叠的性质，有CF＝CD.在Rt△BFC中，BC＝8，CF＝CD＝10，由勾股定理易得BF＝6，则tan∠BCF＝，故有tan∠AFE＝tan∠BCF＝。
14.解:圆圆的木棒更陡.理由如下:
在Rt△ABE中，AE＝＝＝8（cm），∴tan∠ABE＝.
在Rt△CDE中，CE＝＝＝4（cm），∴tan∠CDE＝＝＝2.
∴tan∠CDE ＞ tan∠ABE.∴圆圆的木棒更陡.
体验中考
A 2. A 3. A
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