2.1.2 锐角三角函数（含答案）
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第二章 直角三角形的边角关系
2.1 锐角三角函数
第2课时
知识梳理
知识点1 正弦的定义
定义:如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，我们把∠A的_________与_________的比叫做∠A的正弦，记作___________，即 sinA＝___________。
若AC＝4，AB＝5，则sinA＝____________，sinB＝____________。
知识点2 余弦的定义
定义:如上图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，我们把∠A的_________与_________的比叫做∠A的余弦，记作___________，即cosA＝____________。
若AC＝4，BC＝3，则cosA＝_________，cosB＝__________。
注意（1）正弦、余弦和正切只是数值，没有单位（2）由于斜边大于直角边，所以∠A的正弦、余弦的范围是0＜sin＜1，0＜cosA＜1.（3）通常把(sinA)2，(cosA)2，(tanA)2用sin2A，cos2A，tan2A来表示。
知识点3 锐角三角函数的定义
锐角A的___________、___________和__________都是∠A的三角函数，其中∠A的取值范围是0°＜∠A＜90°.
注意 求锐角三角函数值的实质就是求直角三角形两边的比，而求两边之比的关键是求出直角三角形三边的长或找出三边的关系.
知识点4 梯子倾斜程度与sina，cosA的关系
（1）如图所示，sinA的值越大，梯子AB越_________，AB与AC的夹角越大。
（2）如图所示，cosA的值越小，梯子AB越_________，AB与AC的夹角越大。
考点突破
考点① 求锐角的三角函数值
典例1 如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边，根据条件求∠A的三个三角函数值.
（1）b＝6，c＝4；（2）b＝a
思路导析:（1）先由勾股定理求出a的值，再根据锐角三角函数的定义求出∠A的三个三角函数值.（2）由b＝a，可设a＝3x，b＝4x，求出c＝5x，再根据锐角三角函数的定义求出∠A的三个三角函数值.
解:（1）∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，b＝6，c＝4，∴a2＝c2－b2＝（4）2－62＝12.
∴a＝2.∴；；。
（2）在Rt△ABC中，∠C＝90°，b＝a，设a＝3x，b＝4x，则c＝5x.
∴；；。
友情提示 求锐角三角函数值的基本方法是寻求直角三角形三边的关系，再根据定义求解.如果所求三角函数值的角不在直角三角形中，应当转化为直角三角形中的角或构造适当的直角三角形.
变式1 如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°AC＝12，BC＝5，求∠A，∠B的三个三角函数值.
变式2 如图所示，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，若BC＝AB，求∠B的三个三角函数值。
典例2 在Rt△ABC中，∠C＝90°，如果tanA＝，那么sinB的值是（ ）
B. C. D.
思路导析: 如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，已知tanA＝。
设BC＝5a，AC＝12a 。∵AB2＝BC2＋AC2，
∴AB＝。
∴sinB＝。 答案:B
变式3 已知tana＝，求sina，cosa的值。
考点2 已知直角三角形一锐角的三角函数值和一边，求其他两边的值
典例3 如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinB＝。
（1）若AC＝6，求AB，BC的值；
（2）若BC＝8，求AB，AC的值。
思路导析:（1）已知AC的值，由sinB＝＝，可直接求出AB＝AC＝×6＝10，再由勾股定理求出BC的值.（2）已知BC的值，由SinB＝＝，可设AC＝3k，AB＝5k，根据勾股定理得BC＝4k。
解:（1）在Rt△ABC中，∠C＝90°，∵sinB＝＝，AC＝6，∴AB＝AC＝×6＝10.
∴BC＝＝＝8；
（2）在Rt△ABC中，∠C＝90°，∵sinB＝＝，∴设AC＝3k，则AB＝5k.
∴BC＝＝＝4k＝8.∴k＝2.
∴AB＝5k＝5×2＝10，AC＝3k＝3×2＝6.
变式4 在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10.
（1）若sinB＝，求AC的长；
（2）若tanA＝，求AC的长。
变式5 如图所示，菱形ABCD的周长为40cm，DE⊥AB，垂足为E，sinA＝。
（1）求BE的长；
（2）求菱形ABCD的面积。
巩固提高
1.如图所示，点A为∠a边上的任意一点，作AC⊥BC于点C，CD⊥AB于点D，下列用线段比表示cosa的值，错误的是（ ）
A. B. C. D.
2.如图所示，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（4，3），那么cosa的值是（ ）
B. C. D.
3.△ABC在网格中的位置如图所示（每个小正方形边长为1），AD⊥BC于点D，下列四个选项中，错误的是（ ）
A. sina＝cosa B. tanC＝2 C. sinβ＝cosβ D. tana＝1
4.∠a，∠β都是锐角，且cosa＜cosβ，则下列各项中正确的是（ ）
A. a＜β B. tana＜tanβ C. sina>sinβ D.以上都不正确
5.在Rt△ABC中，∠C＝90°，若将各边长度都扩大为原来的2倍，则∠A的正弦值（ ）
A. 扩大2倍 B. 缩小 C. 扩大4倍 D. 不变
6.在△ABC中，若c＝2，b＝2，a＝2，则cosA＝___________。
7.在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，AC＝5，则sinA的值为____________。
8.如图所示，在边长相同的小正方形网格中，点A，B，C，D都在这些小正方形的顶点上，AB，CD相交于点P，则的值＝____________，tan∠APD的值＝____________。
9.如图所示，已知在Rt△ABC中，斜边BC上的高AD＝4，cosB＝，则AC＝__________。
10.如图所示，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，AC＝8，AB＝10，求cos∠BCD的值。
11.如图所示，在△ABC中，AB＝AC＝3，BC＝4，求sinB的值.
12.如所示，在△ABC中，∠C＝90?，点D在BC上，AD＝BC＝5，cos∠ADC＝，求sinB的值。
13.如图所示，在Rt△ABC中，BC，AC，AB三边的长分别为a，b，c，则sinA＝，cosA＝，tanA＝。我们不难发现:sin2A＋cos2A＝1…
试探求sinA，cosA，tanA之间存在的一般关系，并说明理由。
体验中考
1.（2018·德州）如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝4，AC＝3，则sinB＝（ ）
A. B. C. D.
2.（2018·孝感）如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝8，则sinA等于（ ）
A. B. C. D.
3.（2019·雅安）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝4，则sinA＝____________。
4.（2019·杭州）在直角三角形ABC中，若2AB＝AC，则cosC＝______________。
参考答案
知识梳理
知识点1: 对边 BC 斜边 AB sinA
知识点2: 邻边AC 斜边AB cosA
知识点3: 正切 正弦 余弦
知识点4:（1）陡 （2）陡
考点突破
1·解:sinA＝，cosA＝， tanA＝。sinB＝，cosB＝，tanB＝.
2，解:sinB＝，cosB＝，tanB＝.
3.解:sina＝，cosa＝.
4.解:（1）AC＝8； （2）AC＝8.
5.解:（1） BE＝2 cm； （2）菱形ABCD的面积为60 cm2。
巩固提高
1.C 2.D 3.C 4.C 5.D 6. 7. 8. 3 2
9. 5 10. 11.
12.解:∵∠C＝90°，AD＝BC＝5，cos∠ADC＝，∴CD＝3.
在Rt△ACD中，∵AD＝5，CD＝3，∴AC＝＝＝4.
在Rt△ACB中，∵AC＝4，BC＝5。∴AB＝＝＝.
∴sinB＝。
13.解:存在的一般关系有tanA＝
理由:∵sin＝，cosA＝，∴tanA＝。
体验中考
A 2. A 3. 4. 或
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第二章 直角三角形的边角关系
2.1 锐角三角函数
第2课时
知识梳理
知识点1 正弦的定义
定义:如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，我们把∠A的_________与_________的比叫做∠A的正弦，记作___________，即 sinA＝___________。
若AC＝4，AB＝5，则sinA＝____________，sinB＝____________。
知识点2 余弦的定义
定义:如上图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，我们把∠A的_________与_________的比叫做∠A的余弦，记作___________，即cosA＝____________。
若AC＝4，BC＝3，则cosA＝_________，cosB＝__________。
注意（1）正弦、余弦和正切只是数值，没有单位（2）由于斜边大于直角边，所以∠A的正弦、余弦的范围是0＜sin＜1，0＜cosA＜1.（3）通常把(sinA)2，(cosA)2，(tanA)2用sin2A，cos2A，tan2A来表示。
知识点3 锐角三角函数的定义
锐角A的___________、___________和__________都是∠A的三角函数，其中∠A的取值范围是0°＜∠A＜90°.
注意 求锐角三角函数值的实质就是求直角三角形两边的比，而求两边之比的关键是求出直角三角形三边的长或找出三边的关系.
知识点4 梯子倾斜程度与sina，cosA的关系
（1）如图所示，sinA的值越大，梯子AB越_________，AB与AC的夹角越大。
（2）如图所示，cosA的值越小，梯子AB越_________，AB与AC的夹角越大。
考点突破
考点① 求锐角的三角函数值
典例1 如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边，根据条件求∠A的三个三角函数值.
（1）b＝6，c＝4；（2）b＝a
思路导析:（1）先由勾股定理求出a的值，再根据锐角三角函数的定义求出∠A的三个三角函数值.（2）由b＝a，可设a＝3x，b＝4x，求出c＝5x，再根据锐角三角函数的定义求出∠A的三个三角函数值.
解:（1）∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，b＝6，c＝4，∴a2＝c2－b2＝（4）2－62＝12.
∴a＝2.∴；；。
（2）在Rt△ABC中，∠C＝90°，b＝a，设a＝3x，b＝4x，则c＝5x.
∴；；。
友情提示 求锐角三角函数值的基本方法是寻求直角三角形三边的关系，再根据定义求解.如果所求三角函数值的角不在直角三角形中，应当转化为直角三角形中的角或构造适当的直角三角形.
变式1 如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°AC＝12，BC＝5，求∠A，∠B的三个三角函数值.
变式2 如图所示，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，若BC＝AB，求∠B的三个三角函数值。
典例2 在Rt△ABC中，∠C＝90°，如果tanA＝，那么sinB的值是（ ）
B. C. D.
思路导析: 如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，已知tanA＝。
设BC＝5a，AC＝12a 。∵AB2＝BC2＋AC2，
∴AB＝。
∴sinB＝。 答案:B
变式3 已知tana＝，求sina，cosa的值。
考点2 已知直角三角形一锐角的三角函数值和一边，求其他两边的值
典例3 如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinB＝。
（1）若AC＝6，求AB，BC的值；
（2）若BC＝8，求AB，AC的值。
思路导析:（1）已知AC的值，由sinB＝＝，可直接求出AB＝AC＝×6＝10，再由勾股定理求出BC的值.（2）已知BC的值，由SinB＝＝，可设AC＝3k，AB＝5k，根据勾股定理得BC＝4k。
解:（1）在Rt△ABC中，∠C＝90°，∵sinB＝＝，AC＝6，∴AB＝AC＝×6＝10.
∴BC＝＝＝8；
（2）在Rt△ABC中，∠C＝90°，∵sinB＝＝，∴设AC＝3k，则AB＝5k.
∴BC＝＝＝4k＝8.∴k＝2.
∴AB＝5k＝5×2＝10，AC＝3k＝3×2＝6.
变式4 在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10.
（1）若sinB＝，求AC的长；
（2）若tanA＝，求AC的长。
变式5 如图所示，菱形ABCD的周长为40cm，DE⊥AB，垂足为E，sinA＝。
（1）求BE的长；
（2）求菱形ABCD的面积。
巩固提高
1.如图所示，点A为∠a边上的任意一点，作AC⊥BC于点C，CD⊥AB于点D，下列用线段比表示cosa的值，错误的是（ ）
A. B. C. D.
2.如图所示，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（4，3），那么cosa的值是（ ）
B. C. D.
3.△ABC在网格中的位置如图所示（每个小正方形边长为1），AD⊥BC于点D，下列四个选项中，错误的是（ ）
A. sina＝cosa B. tanC＝2 C. sinβ＝cosβ D. tana＝1
4.∠a，∠β都是锐角，且cosa＜cosβ，则下列各项中正确的是（ ）
A. a＜β B. tana＜tanβ C. sina>sinβ D.以上都不正确
5.在Rt△ABC中，∠C＝90°，若将各边长度都扩大为原来的2倍，则∠A的正弦值（ ）
A. 扩大2倍 B. 缩小 C. 扩大4倍 D. 不变
6.在△ABC中，若c＝2，b＝2，a＝2，则cosA＝___________。
7.在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，AC＝5，则sinA的值为____________。
8.如图所示，在边长相同的小正方形网格中，点A，B，C，D都在这些小正方形的顶点上，AB，CD相交于点P，则的值＝____________，tan∠APD的值＝____________。
9.如图所示，已知在Rt△ABC中，斜边BC上的高AD＝4，cosB＝，则AC＝__________。
10.如图所示，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，AC＝8，AB＝10，求cos∠BCD的值。
11.如图所示，在△ABC中，AB＝AC＝3，BC＝4，求sinB的值.
12.如所示，在△ABC中，∠C＝90?，点D在BC上，AD＝BC＝5，cos∠ADC＝，求sinB的值。
13.如图所示，在Rt△ABC中，BC，AC，AB三边的长分别为a，b，c，则sinA＝，cosA＝，tanA＝。我们不难发现:sin2A＋cos2A＝1…
试探求sinA，cosA，tanA之间存在的一般关系，并说明理由。
体验中考
1.（2018·德州）如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝4，AC＝3，则sinB＝（ ）
A. B. C. D.
2.（2018·孝感）如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝8，则sinA等于（ ）
A. B. C. D.
3.（2019·雅安）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝4，则sinA＝____________。
4.（2019·杭州）在直角三角形ABC中，若2AB＝AC，则cosC＝______________。
参考答案
知识梳理
知识点1: 对边 BC 斜边 AB sinA
知识点2: 邻边AC 斜边AB cosA
知识点3: 正切 正弦 余弦
知识点4:（1）陡 （2）陡
考点突破
1·解:sinA＝，cosA＝， tanA＝。sinB＝，cosB＝，tanB＝.
2，解:sinB＝，cosB＝，tanB＝.
3.解:sina＝，cosa＝.
4.解:（1）AC＝8； （2）AC＝8.
5.解:（1） BE＝2 cm； （2）菱形ABCD的面积为60 cm2。
巩固提高
1.C 2.D 3.C 4.C 5.D 6. 7. 8. 3 2
9. 5 10. 11.
12.解:∵∠C＝90°，AD＝BC＝5，cos∠ADC＝，∴CD＝3.
在Rt△ACD中，∵AD＝5，CD＝3，∴AC＝＝＝4.
在Rt△ACB中，∵AC＝4，BC＝5。∴AB＝＝＝.
∴sinB＝。
13.解:存在的一般关系有tanA＝
理由:∵sin＝，cosA＝，∴tanA＝。
体验中考
A 2. A 3. 4. 或
_21?????????è?????(www.21cnjy.com)_