2021中考数学备考经典微专题 常见的数学转化方法例析学案（技巧+满分解答）
文档属性
| 名称 | 2021中考数学备考经典微专题 常见的数学转化方法例析学案（技巧+满分解答） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 1.2MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2020-07-31 15:51:18 | ||
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文档简介
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常见的数学转化方法例析
转化是对原问题换一个方式、换一个角度、换一个观点加以考虑，把要解决的问题化为一类已经解决或比较容易解决的问题的思维方法．数学转化思想无处不在，它是分析问题、解决问题的有效途径，它包含了数学特有的数、式、形的相互转换．常见的转化方法有换元法、等积转化法、数形结合法、函数法、特殊值法等．21世纪教育网版权所有
一、换元法
换元法就是在解数学题时，把某个式子看成一个整体，用另一个变量去代替它，从而简化问题．换元的本质是转化，将问题转移至新对象的知识背景中去研究，从而使复杂问题简单化，变得容易处理．21·世纪*教育网
例1 如果a、b是一元二次方程x2＋3x－2＝0的两个根，则a2＋2a－b的值为_______．
分析a、b是一元二次方程x2＋3x－2＝0的两个根，可用求根公式求出两根a、b，再把两根代入代数式a2＋2a－b求值，但这样的计算太过麻烦，一是根的结果复杂，二是要分两种情况讨论两根的取值，三是根的平方计算不易，因此，此种方法不可取．我们可用等价代换和整体代换来轻松解决这一问题．[来源:学|科|网]www-2-1-cnjy-com
解 ∵a是一元二次方程x2＋3x－2＝0的根，
∴a2＋3a－2＝0，即a2＝2－3a，
∴a2＋2a－6＝2－3a＋2a－b
＝2－a－b＝2－(a＋b)．
又∵a、b是一元二次方程x2＋3x－2＝0的两个根，
∴a＋b＝－3．
∴a2＋2a－b＝2－(a＋b)＝5．
二、等积转化法
求线段_???é??????????????_以转化为点线距离，再把相应的线段放人三角形中，根据同一三角形面积不变，而面积又有多种表示，往往由等面积这一等式，转变成线段间的关系．
例2 如图1，在等腰三角形ABC中，底BC为10，腰为13，求腰上的高BD．
分析 要求高BD，可放入直角三角形中来解，但直接在某个三角形中解不出，需间接地求出其它量，如可在两个直角三角形ABD与CBD中得出等式AB2－AD2＝BC2－CD2．
再有AD＋CD＝13，AB＝_13???BC???_10，从而求得AD和CD，然后再在直角三角形ABD或直角三角形CBD中用勾股定理求得BD的长．这一方法要解一个二元方程组，计算量较大，其实，本题可借助同一图形面积相等这一结论，来简化解题．21cnjy.com
例3 如图2，P为边长为a的正三角形ABC内任一点，过点P分别向三边作垂线，垂足分别为D、E、F，求PD＋PE＋PF．2-1-c-n-j-y
分析 P为正三角形ABC内任一点，是一动点，PD、PE、PF是三条动线段，而PD＋PE＋PF就是三条动线段之和．但PD、PE、PF又是三条垂线段，可联想到三角形的高．因此，连接PA、PB、PC，ABC就被分割成三个三角形，即△PAB、△PBC与△PCA，从而就有大三角形的面积等于三个小三角形面积之和；再把PD＋PE＋PF看成一个整体，便可求得结果．
解 连结PA、PB、PC，
三、数形结合法
数形结合法就是把抽象的数量关系和直观的图形结合起来，从而降低原命题的难度，
使问题容易得到解决．
例4 求y＝的最小值．
分析 本题可根据分类讨论，分三种情况去掉绝对值符号，写出函数解析式，再求出每一情况下函数的最小值，最后取三个最小值中最小的．但那样做太麻烦，我们可用数形结合的方法，把看成是数轴上数x到数a的距离，原问题就转变成在数轴上找一点，使得这点到－1与1的距离之和最小．2·1·c·n·j·y
解 如图3，当x<－1时，y>2；
当－1≤x≤1时，y＝2；
当x>1时，y>2，[来源:Zxxk.Com]
∴ymin＝2．
四、函数法
函数思想是一种重要的_??°???????????????_些几何问题、方程问题、不等式问题和某些代数问题，可以转化为与其相关的函数问题，即用函数思想解答非函数问题．www.21-cn-jy.com
例5 _??????4????·????_半径为2的⊙O与直线l相切于点A，点P是直径AB左侧半圆上的动点，过点P作直线，的垂线，垂足为C，PC与⊙O交于点D，连结PA、PB，设PC的长为x(2 当x为何值时，PD·CD的值最大？最大值是多少？
分析 求最值问题，一般要考虑到函数
关系式的应用，特别是二次函数的应用，本题
可先用含x的代数式分别表示PD与CD，再写
出PD．CD的表达式，整理后得到关于x的二
次函数，然后根据自变量A的取值范围，利用
二次函数的性质，求出所求式子的最大值及此时x的取值．[来源:学科网]
∴当x＝3时，PD·CD的值最大，最大值是2．
五、特殊值法
对一些较为抽象或一般规律不明显的数学问题，特别是答案相对唯一的选择题，可以采用抽象问题具体化、一般问题特殊化的方法来处理，以降低难度，尽快确定正确答案．
例6 已知整数a1，a2，．a3，a4，…满足下列条件：a1＝0，a2＝－，a3＝，a4＝－，…依次类推，则a2012的值为( )21教育网
(A)－1005 (B)－1006
(C)－1007 (D)－2012
分析 本题看上去似乎不易，既有绝对值，又要计算到a2012．但可以先从已知条件出发，计算出几个简单的、特殊的值，然后找寻其中的规律，再确定答案．21·cn·jy·com
[来源:Z+xx+k.Com]
总之，数学转化思想是中学数学教学中最活跃、最实用的一种重要思想．在平时的教学中，教师应注意对转化方法进行提炼、整理，有意识地运用这一方法，去灵活地解决有关的数学问题，从而提高学生的思维能力和解题能力．[来源:Zxxk.Com]【来源：21·世纪·教育·网】
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常见的数学转化方法例析
转化是对原问题换一个方式、换一个角度、换一个观点加以考虑，把要解决的问题化为一类已经解决或比较容易解决的问题的思维方法．数学转化思想无处不在，它是分析问题、解决问题的有效途径，它包含了数学特有的数、式、形的相互转换．常见的转化方法有换元法、等积转化法、数形结合法、函数法、特殊值法等．21世纪教育网版权所有
一、换元法
换元法就是在解数学题时，把某个式子看成一个整体，用另一个变量去代替它，从而简化问题．换元的本质是转化，将问题转移至新对象的知识背景中去研究，从而使复杂问题简单化，变得容易处理．21·世纪*教育网
例1 如果a、b是一元二次方程x2＋3x－2＝0的两个根，则a2＋2a－b的值为_______．
分析a、b是一元二次方程x2＋3x－2＝0的两个根，可用求根公式求出两根a、b，再把两根代入代数式a2＋2a－b求值，但这样的计算太过麻烦，一是根的结果复杂，二是要分两种情况讨论两根的取值，三是根的平方计算不易，因此，此种方法不可取．我们可用等价代换和整体代换来轻松解决这一问题．[来源:学|科|网]www-2-1-cnjy-com
解 ∵a是一元二次方程x2＋3x－2＝0的根，
∴a2＋3a－2＝0，即a2＝2－3a，
∴a2＋2a－6＝2－3a＋2a－b
＝2－a－b＝2－(a＋b)．
又∵a、b是一元二次方程x2＋3x－2＝0的两个根，
∴a＋b＝－3．
∴a2＋2a－b＝2－(a＋b)＝5．
二、等积转化法
求线段_???é??????????????_以转化为点线距离，再把相应的线段放人三角形中，根据同一三角形面积不变，而面积又有多种表示，往往由等面积这一等式，转变成线段间的关系．
例2 如图1，在等腰三角形ABC中，底BC为10，腰为13，求腰上的高BD．
分析 要求高BD，可放入直角三角形中来解，但直接在某个三角形中解不出，需间接地求出其它量，如可在两个直角三角形ABD与CBD中得出等式AB2－AD2＝BC2－CD2．
再有AD＋CD＝13，AB＝_13???BC???_10，从而求得AD和CD，然后再在直角三角形ABD或直角三角形CBD中用勾股定理求得BD的长．这一方法要解一个二元方程组，计算量较大，其实，本题可借助同一图形面积相等这一结论，来简化解题．21cnjy.com
例3 如图2，P为边长为a的正三角形ABC内任一点，过点P分别向三边作垂线，垂足分别为D、E、F，求PD＋PE＋PF．2-1-c-n-j-y
分析 P为正三角形ABC内任一点，是一动点，PD、PE、PF是三条动线段，而PD＋PE＋PF就是三条动线段之和．但PD、PE、PF又是三条垂线段，可联想到三角形的高．因此，连接PA、PB、PC，ABC就被分割成三个三角形，即△PAB、△PBC与△PCA，从而就有大三角形的面积等于三个小三角形面积之和；再把PD＋PE＋PF看成一个整体，便可求得结果．
解 连结PA、PB、PC，
三、数形结合法
数形结合法就是把抽象的数量关系和直观的图形结合起来，从而降低原命题的难度，
使问题容易得到解决．
例4 求y＝的最小值．
分析 本题可根据分类讨论，分三种情况去掉绝对值符号，写出函数解析式，再求出每一情况下函数的最小值，最后取三个最小值中最小的．但那样做太麻烦，我们可用数形结合的方法，把看成是数轴上数x到数a的距离，原问题就转变成在数轴上找一点，使得这点到－1与1的距离之和最小．2·1·c·n·j·y
解 如图3，当x<－1时，y>2；
当－1≤x≤1时，y＝2；
当x>1时，y>2，[来源:Zxxk.Com]
∴ymin＝2．
四、函数法
函数思想是一种重要的_??°???????????????_些几何问题、方程问题、不等式问题和某些代数问题，可以转化为与其相关的函数问题，即用函数思想解答非函数问题．www.21-cn-jy.com
例5 _??????4????·????_半径为2的⊙O与直线l相切于点A，点P是直径AB左侧半圆上的动点，过点P作直线，的垂线，垂足为C，PC与⊙O交于点D，连结PA、PB，设PC的长为x(2
分析 求最值问题，一般要考虑到函数
关系式的应用，特别是二次函数的应用，本题
可先用含x的代数式分别表示PD与CD，再写
出PD．CD的表达式，整理后得到关于x的二
次函数，然后根据自变量A的取值范围，利用
二次函数的性质，求出所求式子的最大值及此时x的取值．[来源:学科网]
∴当x＝3时，PD·CD的值最大，最大值是2．
五、特殊值法
对一些较为抽象或一般规律不明显的数学问题，特别是答案相对唯一的选择题，可以采用抽象问题具体化、一般问题特殊化的方法来处理，以降低难度，尽快确定正确答案．
例6 已知整数a1，a2，．a3，a4，…满足下列条件：a1＝0，a2＝－，a3＝，a4＝－，…依次类推，则a2012的值为( )21教育网
(A)－1005 (B)－1006
(C)－1007 (D)－2012
分析 本题看上去似乎不易，既有绝对值，又要计算到a2012．但可以先从已知条件出发，计算出几个简单的、特殊的值，然后找寻其中的规律，再确定答案．21·cn·jy·com
[来源:Z+xx+k.Com]
总之，数学转化思想是中学数学教学中最活跃、最实用的一种重要思想．在平时的教学中，教师应注意对转化方法进行提炼、整理，有意识地运用这一方法，去灵活地解决有关的数学问题，从而提高学生的思维能力和解题能力．[来源:Zxxk.Com]【来源：21·世纪·教育·网】
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