2021中考数学备考经典微专题 “借马分马”思想在数学解题中的妙用学案（技巧+满分解答）
文档属性
| 名称 | 2021中考数学备考经典微专题 “借马分马”思想在数学解题中的妙用学案（技巧+满分解答） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 1.2MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2020-07-31 15:59:08 | ||
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文档简介
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“借马分马”思想在数学解题中的妙用
大家知道，古代有一个“借马分马”的故事，现在我们细细品味这个故事，能认识到借来的一匹马在分配问题中起到了关键作用，而在解数学问题时，我们也往往需要借助一个媒介量，进行铺路架桥，沟通已知与结论之间的关系，达到解题的目的．下面举例说明“借马分马”思想在数学解题中的妙用．21世纪教育网版权所有
一、借数
例1 计算．
例2 若a＝，b＝，c＝，则a、b、c由小到大的排列顺序是_______．
∴a 例3 设A＝(2＋1)(22＋1)(24＋1)…(264＋1)，求A的末位数字．
分析 已知_??????????????????_整体和谐，变化有序，但计算困难，可谓美中不足，联想到平方差公式，借因数(2－1)，配对相乘，使之出现公式化的结构形式，获得优美的解法．
解 根据分析，易得
A＝(264)2－1＝1632－1．
故A的末位数字为5．
2、借图
例4 同例1．
分析和解 为了求的值，我们可以设计如图1所示的几何图形（图形为从正方形中每次截取剩余面积的一半）．www.21-cn-jy.com
由图可知，截取2013次后剩余部分的面积为．
∴＝1－．
例5 在大连到烟台160千米的航线上，某轮船公司每天上午8点到下午16点每隔2小时有一只轮船从大连开往烟台，同时也有一只轮船从烟台开往大连，轮船在途中花费8小时，求：今天上午8点从大连开往烟台的轮船在航行途中（不包括大连和烟台）遇到几只从对面开来的本公司的轮船，在遇到第三只从对面开来的本公司轮船时的时间及离大连的距离．
分析与解 每天上午8点到下午16点往返大连与烟台的轮船往来状况可用如图2所示的图象形象地表示出来，OA代表上午8点从大连开往烟台的轮船，BC代表从烟台开往大连的第三只轮船．由图象可以看出，今天上午8点从大连开往烟台的轮船在航行途中（不包括大连和烟台）遇到4只从对面开来的本公司的轮船；A点的坐标为(8，160)，B点的坐标为(4，160)，C点的坐标为(12，0)．由此可求直线OA的解析式为），＝20x①，直线BC的解析式为y＝－20x＋240②，由①、②两式组成方程组可求得OA、BC两直线的交点坐标为(6，120)，由此可得到上午8点从大连开往烟台的轮船在航行途中遇到第三只从对面开来的本公司轮船时的时间及离大连的距离分别为14点和120千米．21·cn·jy·com
3、借式
例6 将x4＋4分解因式．
分析与_è§?__??????x_4＋4不是平方差的结构形式，要想把原式分解成两因式积的形式，必须配方（借式还式）．不妨去借4x2这个式子来用一下，即21cnjy.com
x4＋4＝x4＋4x2＋4－4x2[来源:学科网ZXXK]
＝（x2＋2）2－4x2
＝(x2＋2x＋2)（x2－2x＋2）．
例7 化简．
解 由已知，得a≠１．
4、借体
例8 如图3，一圆柱体形的物体，左边的高度为3厘米，
右面的高为7厘米，底面圆的直径为8厘米，求此物体的体积．
解 我们不妨借同样的一个物体，组合成如图4所示的圆
柱体，则此圆柱体的体积为
V＝Sh＝3.14×42×10＝502.4．
所以所求物体的体积为：[来源:学科网]
502.4÷2＝251.2．
5、借模型
例9 若，当x为何值时，y的值最小，并求出这个最小值．
分析与解 我们先来回顾一个数学模型：在直线l上找一点p，使点p到直线l的同侧两个定点A、B的距离之和最小的方法：21教育网
由轴对称知识和“_??¤??????é????????_最短”，我们只要作出点A关于直线l的对称点A'，连结A'B，交直线l于p，则p即是所要求作的点（如图5）．2·1·c·n·j·y
构建如图6，设
AC＝3，BD＝6，CD＝12，CP＝x，
则DP＝12－x，且有
AP＝，BP＝
即
＝AP＋BP＝A'B．[来源:学科网ZXXK]
由△PCA'∽△PDB，得
x＝4时，y的最小值为15．
注 如果只求）y的最小值，我们可构造如图7所示的图形，由勾股定理，可求得A'B的值，即y的最小值．【来源：21·世纪·教育·网】
例10 当a>0，且b>a＋c时，求证：方程ax2＋bx＋c＝0必有两个不相等的实数根．
分析 本题若用根的判别式来证明，比较繁琐，通过观察可以发现，条件b>a＋c，可变形为a＋b－c <0，其与方程ax2＋bx＋c＝0存在着何种关系呢？于是我们可联想到二次函数及其图象y＝ax2＋bx＋c，当x＝－l时，y＝a＋b－c <0，问题简捷地得到解决．21·世纪*教育网
证明 设y＝ax2＋bx＋c，
当x＝－l时，[来源:学,科,网]
y＝a＋b－c<0(b>a＋c)．[来源:Zxxk.Com]
又∵a>0，∴抛物线的开口向上，
故y＝ax2＋bx＋c与x轴必定有两个交点（如图8），
即原方程必定有两个不相等的实数根．
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“借马分马”思想在数学解题中的妙用
大家知道，古代有一个“借马分马”的故事，现在我们细细品味这个故事，能认识到借来的一匹马在分配问题中起到了关键作用，而在解数学问题时，我们也往往需要借助一个媒介量，进行铺路架桥，沟通已知与结论之间的关系，达到解题的目的．下面举例说明“借马分马”思想在数学解题中的妙用．21世纪教育网版权所有
一、借数
例1 计算．
例2 若a＝，b＝，c＝，则a、b、c由小到大的排列顺序是_______．
∴a
分析 已知_??????????????????_整体和谐，变化有序，但计算困难，可谓美中不足，联想到平方差公式，借因数(2－1)，配对相乘，使之出现公式化的结构形式，获得优美的解法．
解 根据分析，易得
A＝(264)2－1＝1632－1．
故A的末位数字为5．
2、借图
例4 同例1．
分析和解 为了求的值，我们可以设计如图1所示的几何图形（图形为从正方形中每次截取剩余面积的一半）．www.21-cn-jy.com
由图可知，截取2013次后剩余部分的面积为．
∴＝1－．
例5 在大连到烟台160千米的航线上，某轮船公司每天上午8点到下午16点每隔2小时有一只轮船从大连开往烟台，同时也有一只轮船从烟台开往大连，轮船在途中花费8小时，求：今天上午8点从大连开往烟台的轮船在航行途中（不包括大连和烟台）遇到几只从对面开来的本公司的轮船，在遇到第三只从对面开来的本公司轮船时的时间及离大连的距离．
分析与解 每天上午8点到下午16点往返大连与烟台的轮船往来状况可用如图2所示的图象形象地表示出来，OA代表上午8点从大连开往烟台的轮船，BC代表从烟台开往大连的第三只轮船．由图象可以看出，今天上午8点从大连开往烟台的轮船在航行途中（不包括大连和烟台）遇到4只从对面开来的本公司的轮船；A点的坐标为(8，160)，B点的坐标为(4，160)，C点的坐标为(12，0)．由此可求直线OA的解析式为），＝20x①，直线BC的解析式为y＝－20x＋240②，由①、②两式组成方程组可求得OA、BC两直线的交点坐标为(6，120)，由此可得到上午8点从大连开往烟台的轮船在航行途中遇到第三只从对面开来的本公司轮船时的时间及离大连的距离分别为14点和120千米．21·cn·jy·com
3、借式
例6 将x4＋4分解因式．
分析与_è§?__??????x_4＋4不是平方差的结构形式，要想把原式分解成两因式积的形式，必须配方（借式还式）．不妨去借4x2这个式子来用一下，即21cnjy.com
x4＋4＝x4＋4x2＋4－4x2[来源:学科网ZXXK]
＝（x2＋2）2－4x2
＝(x2＋2x＋2)（x2－2x＋2）．
例7 化简．
解 由已知，得a≠１．
4、借体
例8 如图3，一圆柱体形的物体，左边的高度为3厘米，
右面的高为7厘米，底面圆的直径为8厘米，求此物体的体积．
解 我们不妨借同样的一个物体，组合成如图4所示的圆
柱体，则此圆柱体的体积为
V＝Sh＝3.14×42×10＝502.4．
所以所求物体的体积为：[来源:学科网]
502.4÷2＝251.2．
5、借模型
例9 若，当x为何值时，y的值最小，并求出这个最小值．
分析与解 我们先来回顾一个数学模型：在直线l上找一点p，使点p到直线l的同侧两个定点A、B的距离之和最小的方法：21教育网
由轴对称知识和“_??¤??????é????????_最短”，我们只要作出点A关于直线l的对称点A'，连结A'B，交直线l于p，则p即是所要求作的点（如图5）．2·1·c·n·j·y
构建如图6，设
AC＝3，BD＝6，CD＝12，CP＝x，
则DP＝12－x，且有
AP＝，BP＝
即
＝AP＋BP＝A'B．[来源:学科网ZXXK]
由△PCA'∽△PDB，得
x＝4时，y的最小值为15．
注 如果只求）y的最小值，我们可构造如图7所示的图形，由勾股定理，可求得A'B的值，即y的最小值．【来源：21·世纪·教育·网】
例10 当a>0，且b>a＋c时，求证：方程ax2＋bx＋c＝0必有两个不相等的实数根．
分析 本题若用根的判别式来证明，比较繁琐，通过观察可以发现，条件b>a＋c，可变形为a＋b－c <0，其与方程ax2＋bx＋c＝0存在着何种关系呢？于是我们可联想到二次函数及其图象y＝ax2＋bx＋c，当x＝－l时，y＝a＋b－c <0，问题简捷地得到解决．21·世纪*教育网
证明 设y＝ax2＋bx＋c，
当x＝－l时，[来源:学,科,网]
y＝a＋b－c<0(b>a＋c)．[来源:Zxxk.Com]
又∵a>0，∴抛物线的开口向上，
故y＝ax2＋bx＋c与x轴必定有两个交点（如图8），
即原方程必定有两个不相等的实数根．
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