2021中考数学备考经典微专题 《圆的有关计算》专题探究学案（技巧+满分解答）

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《圆的有关计算》专题探究
【考纲要求】
1．会计算圆的弧长和扇形的面积．
2．会计算圆柱和圆锥的侧面积和全面积．
3．了解正多边形的概念及正多边形与圆的关系.
【考点探究】
考点一、弧长、扇形的面积
【例1】如图，在△ABC中，∠B＝90°，∠A＝30°，AC＝4 cm，将△ABC绕顶点C顺时针方向旋转至△A′B′C′的位置，且A，C，B′三点在同一条直线上，则点A所经过的最短路线的长为(　　)21世纪教育网版权所有
A．4cm B．8 cm C．π cm D．π cm
解析：点A所经过的最短路线是以点C为圆心、CA为半径的一段弧线，运用弧长公式计算求解．求解过程如下：21·cn·jy·com
∵∠B＝90°，∠A＝30°，A，C，B′三点在同一条直线上，[来源:学科网ZXXK]
∴∠ACA′＝120°.又AC＝4，
∴的长l＝＝π(cm)．故选D.
答案：D[来源:学#科#网Z#X#X#K]
方法总结 当已知半径_r?????????è§????_度数求扇形面积时，应选用S扇＝，当已知半径r和弧长求扇形的面积时，应选用公式S扇＝lr，当已知半径r和圆心角的度数求弧长时，应选用公式l＝.2·1·c·n·j·y
触类旁通1 如图，一扇形纸扇完全打开后，外侧两根竹条A B和AC的夹角为120°，AB长为9，贴纸部分的宽BD为6，则贴纸部分面积(贴纸部分为两面)是(　　)
A．24π B．36π C．48π D．72π
考点二、圆柱和圆锥
【例2】一圆锥的侧面展开图是半径为2的半圆，则该圆锥的全面积是(　　)
A．5π B．4π C．3π D．2π
解析：侧面积是：×π×22＝2π.底面的周长是2π.则底面圆半径是1，面积是π.则该圆锥的全面积是：2π＋π＝3π.故选C.【来源：21·世纪·教育·网】
答案：C
方法总结 圆锥的侧面展开图是扇形_????????????é???§?_就是圆锥的侧面积，根据半圆的弧长等于圆锥底面圆的周长，即可求得圆锥底面圆的半径，进而求得面积和全面积，正确理解圆锥的底面的周长等于展开图中扇形的弧长是解题的关键．
触类旁通2 如图，把一_????????????12_ cm的圆形硬纸片等分成三个扇形，用其中一个扇形制作成一个圆锥形纸筒的侧面(衔接处无缝隙且不重叠)，则圆锥底面半径是______cm.www-2-1-cnjy-com
考点三、阴影面积的计算
【例3】如图，A_B??????O??????_径，弦DE垂直平分半径OA，C为垂足，弦DF与半径OB相交于点P，连接EF，EO，若DE＝2，∠DPA＝45°.
(1)求⊙O的半径；
(2)求图中阴影部分的面积．
解：(1)∵直径AB⊥DE，∴CE＝DE＝.
∵DE平分AO，∴CO＝AO＝OE.
又∵∠OCE＝90°，∴∠CEO＝30°.在Rt△COE中，OE＝＝＝2.∴⊙O的半径为2.
(2)连接OF，如图所示．
在Rt△DCP中，∵∠DPC＝45°，
∴∠D＝90°－45°＝45°.
∴∠EOF＝2∠D＝90°.
∵S扇形OEF＝×π×22＝π，S△OEF＝×OE×OF＝×2×2＝2.
∴S阴影＝S扇形OEF－S△OEF＝π－2.
方法总结 阴影面积的计算方法很多，灵活性强，常采用转化的数学思想：
(1)将所求面积分割后，利用规则图形的面积相互加减求解．
(2)将阴影中某些图形等积变形后移位，重组成规则图形求解．
(3)将所求面积分割后，利用旋转将部分阴影图形移位后，组成规则图形求解．
(4)将阴影图形看成是一些基本图形覆盖而成的重叠部分，用整体和差法求解．
【经典考题】
1．已知一个圆锥的底面半径为3 cm，母线长为10 cm，则这个圆锥的侧面积为(　　)
A．15π cm2 B．30π cm2 C．60π cm2 D．3cm2
2．用圆心角为120°，半径为6 cm的扇形纸片卷成一个圆锥形无底纸帽(如图所示)，则这个纸帽的高是(　　)21cnjy.com
A．cm B．3cm C．4cm D．4 cm
3．一个圆锥的侧面积是底面积的2倍，则圆锥侧面展开图的扇形的圆心角是(　　)
A．120° B．180° C． 240° D．300°
4．如图，AB是⊙O的直径，点E为BC的中点，AB＝4，∠BED＝120°，则图中阴影部分的面积之和为(　　)www.21-cn-jy.com
(第4题图)
A．1 B． C． D．2
5．一个几何体由圆锥和圆柱组成，其尺寸如图所示，则该几何体的全面积(即表面积)为__________．(结果保留π)21·世纪*教育网
(第5题图)
6．在半径为1 cm的圆中，圆心角为120°的扇形的弧长是__________cm.
7．如图，△ABC内接于⊙O，直径BD交AC于E，过O作FG⊥AB，交AC于F，交AB于H，交⊙O于G.[来源:Z+xx+k.Com]2-1-c-n-j-y
(第7题图)
(1)求证：OF·DE＝OE·2OH；
(2)若⊙O的半径为12，且OE:OF:OD＝2:3:6，求阴影部分的面积．(结果保留根号)
【模拟预测】
1．如图，⊙O半径是1，A，B，C是圆周上的三点，∠BAC＝36°，则劣弧的长为(　　)
A． B． C． D．
2．已知圆锥底面圆的半径为6 cm，高为8 cm，则圆锥的侧面积为(　　)．
A．48 cm2 B．48π cm2 C．120π cm2 D．60π cm2
3．如图，圆柱的底面周长为6 cm，AC是底面圆的直径，高BC＝6 cm，点P是母线BC上一点且PC＝BC.一只蚂蚁从A点出发沿着圆柱体的表面爬行到点P的最短距离是(　　)21教育网
A．cm B．5 cm
C．3 cm D．7 cm
4．如图，如果从半径为9 cm的圆形纸片剪去圆周的一个扇形，将留下的扇形围成一个圆锥(接缝处不重叠)，那么这个圆锥的高为(　　)21*cnjy*com
A．6 cm B．3cm C．8 cm D．5cm
5．如图，在Rt△A_BC?????????C_＝90°，CA＝CB＝4，分别以A，B，C为圆心，以AC为半径画弧，三条弧与边AB所围成的阴影部分的面积是__________．
6．如图，⊙A，⊙B，⊙C两两不相交，且半径都是2 cm，则图中三个扇形(即阴影部分)面积之和是__________ cm2.【来源：21cnj*y.co*m】
(第6题图)
7．如图，AB为半圆O的直径，C，D，E，F是的五等分点，P是AB上的任意一点．若AB＝4，则图中阴影部分的面积为__________．
(第7题图)
8．如图，AB是⊙O的直径，弦BC＝5，∠BOC＝50°，OE⊥AC，垂足为E.
(1)求OE的长；
(2)求劣弧AC的长(结果精确到0.1)．
参考答案
【考点探究】
触类旁通1．C　S＝×2＝×2＝48π.
触类旁通2．4　因为扇形的弧长为×2×12π＝8π，即底面周长为8π，则底面半径为＝4(cm)．【出处：21教育名师】
【经典考题】
1．B　因为底面半径为3 cm，则周长为6π cm，
所以圆锥的侧面积为6π×10÷2＝30π(cm2)．
2．C　由题意知l＝＝4π(cm)，
圆锥的底面半径为4π÷2π＝2(cm)，
∴这个圆锥形纸帽的高为＝4(cm)．[来源:学科网ZXXK]
故选C.
3．B　设圆锥的底面半_??????r?????????_为R，圆锥侧面展开图的扇形的圆心角为n，则扇形的面积为×2πr×R＝πrR.由题意得πrR＝2πr2，nπR2÷360＝πrR，则R＝2r，
所以n＝180°.
4．C　如图，连接AE.
∵AB是直径，∴∠AEB＝90°.
又∵∠BED＝120°，∴∠AED＝30°，
∴∠AOD＝2∠AED＝60°.
∵OA＝OD，∴△AOD是等边三角形，∴∠OAD＝60°.
∵点E为BC的中点，∠AEC＝90°，
∴AB＝AC，∴△ABC是等边三角形．
由△AOD，△ABC是等边三角形知△DEC，△BOE，△DOE也是等边三角形，
∴和弦BE围成的部分的面积＝和弦DE围成的部分的面积，
∴阴影部分的面积＝S△EDC＝×2×＝.故选C.
5．68π　圆锥的母线长是＝5，
圆锥的侧面积是×8π×5＝20π，
圆柱的侧面积是8π×4＝32π，
几何体的下底面面积是π×42＝16π，
则该几何体的全面积(即表面积)为20π＋32π＋16π＝68π.
故答案是68π.
6．π　扇形的弧长l＝＝π(cm)．
7．(1)证明：∵BD是直径，∴∠DAB＝90°.
∵FG⊥AB，∴DA∥FO，
∴∠EOF＝∠EDA，∠EFO＝∠EAD，
∴△FOE∽△ADE，
∴＝，即OF·DE＝OE·AD.
∵O是BD的中点，DA∥OH，∴AD＝2OH，
∴OF·DE＝OE·2OH.
(2)解：∵⊙O的半径为12，且OE:OF:OD＝2:3:6，
∴OE＝4，ED＝8，OF＝6，
代入(1)结论得OH＝6，AD＝12.
在Rt△OBH中，OB＝2OH，∴∠BOH＝60°，
∴BH＝BO·sin 60°＝12×＝6，
∴S阴影＝S扇形GOB－S△OHB＝－×6×6＝24π－18.
【模拟预测】
1．B　2．D　3．B
4．B　留下的扇形的弧长为×2×π×9＝12π，
所以围成一个圆锥的底面圆的周长为12π.[来源:Zxxk.Com]
则底面圆的半径为12π＝2πr，所以r＝6.
而圆锥的母线长为9，
所以由勾股定理，得到圆锥的高为＝3(cm)．
5．8－2π　6.2π　7．π
8．解：(1)∵OE⊥AC，垂足为E，∴AE＝EC.
∵AO＝BO，∴OE＝BC＝2.5.
(2)∠A＝∠BOC＝25°，
在Rt△AOE中，sin A＝，∴OA＝.
∵∠AOC＝180°－50°＝130°，
∴劣弧AC的长＝≈13.4.
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