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《一元二次方程》聚焦导学
考点聚焦导学
1) 一元二次方程[]
1.
一元二次方程:在整式方程中,只含________个未知数,并且未知数的最高次数是______的方程叫做一元二次方程.21教育网
2.
一元二次方程的一般形式是___
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)_________.其中______叫做二次项的系数,______叫做一次项的系数,______叫做常数项.21·cn·jy·com
2) 一元二次方程的常用解法
3.
直接开平方法:形如x2=a
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)(a≥0)或(x-b)2=a(a≥0)的一元二次方程,就可用直接开平方的方法.x2=a(a≥0),x=______;(x-b)2=a(a≥0),x=______.
4.
配方法:用配方法解一元二次方程,若x2+px+q=0且p2-4p≥0,则(x+______)2=-q+______,x1=________,x2=________.www.21-cn-jy.com
5.公式法:一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)且b2-4ac≥0的求根公式是x=__________,x1=__________,x2=__________.2·1·c·n·j·y
6.
因式分解法:如果一元
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)可通过因式分解化为(mx+p)(nx+q)=0,则x1=______,x2=______.www-2-1-cnjy-com
3) 一元二次方程根的判别式
7.
关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式Δ=________.
(1)Δ>0?方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个______________的实数根;
(2)Δ=0?方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个______________的实数根;
(1)Δ<0?方程ax2+bx+c=0(a≠0)________实数根;
4) 一元二次方程的根与系数的关系
8.
关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0有两个根分别为x1,x2,则x1+x2=________,x1·x2=______.
重点难点突破21
cnjy
com
1.
会判断一个方程是否为一元二次方程
判断时应先化成一般形式,再根据定义进行判断.
2.
掌握解一元二次方程的方法
一元二次方程的解法主要有两种
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?):①直接开平方法,②配方法,③公式法,④因式分解法.若没有特别说明,解法选择的一般顺序为:直接开平方法―→因式分解法―→公式法―→配方法.任何一个(有解的)一元二次方程都可以用配方法和公式法求解,其中配方法较为复杂,除指定外,一般不选用.【出处:21教育名师】
3.
理解根的判别式
根的判别式可用来判断一元二次方程根的个
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)数,若b2-4ac>0,则方程有两个不相等的实根;若b2-4ac=0,则方程有两个相等的实根,若b2-4ac<0,则方程无实根.
知识归类探究)【版权所有:21教育】
1) 一元二次方程及相关概念
例1 一元二次方程3x2+2x-5=0的一次项系数是________.
【思路点拨】 ―→―→
活学活用
1.
下列方程中是关于x的一元二次方程的是( )
A.
ax2+bx+1=0 B.
x2+=1
C.
(x+1)(x-1)=0
D.
x2-2xy+y2=1
方法技巧:1.
确定一元二次方程系数时,先将原方程化为一般形式,再找对应的项,确定该项的系数.
2.
要判断一个方程是否为
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)一元二次方程可根据定义判断,也可根据一元二次方程的一般形式判定,若经过恒等变形后,符合ax2+bx+c=0(a≠0)的形式就是,否则就不是.21教育名师原创作品
2) 一元二次方程的解法[]
例2 用配方法解一元二次方程x2-4x=5时,此方程可变形为( )
A.
(x+2)2=1
B.
(x-2)2=1
C.
(x+2)2=9
D.
(x-2)2=9
【思路点拨】
―→―→
活学活用
2.
解方程:x2-2x=2x+1.
方法技巧:熟练应用解一元二次方程的方法求解.
3) 一元二次方程根的判别
例3 如果关于x的一元二次方程x2-6x+c=0(c是常数)没有实数根,那么c的取值范围是________.2-1-c-n-j-y
【思路点拨】 用含c的式子表示出根的判别式,再根据根的判别式的性质进行判断.
活学活用
3.
已知关于x的一元二次方程x2-2x-k=0有两个相等的实数根,则k的值为________________.21cnjy.com
方法技巧:1.
不解方程判断
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)根的个数:将方程化为一般式后,利用b2-4ac的情况判断.2.
根据根的情况,求字母的取值范围:利用b2-4ac的情况解等式或不等式即可.【来源:21·世纪·教育·网】
4) 根与系数的关系
例4 已知:x1,x2是一元二次方程x2+2ax+b=0的两根,且x1+x2=3,x1x2=1,则a,b的值分别是( )21·世纪
教育网
A.
a=-3,b=1
B.
a=3,b=1
C.
a=-,b=-1
D.
a=-,b=1
【思路点拨】 由一元二次方程ax2+bx
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)+c=0根与系数关系x1+x2=-,x1x2=可以得到本题中关于a、b的两个方程,解得a、b的值.
活学活用
4.
下列一元二次方程中两实数根的和为-4的是( )
A.
x2+2x-4=0
B.
x2-4x+4=0
C.
x2+4x+10=0
D.
x2+4x-5=0
方法技巧:判别各项系数,熟记公式,注意符号,由求根公式出发,有机地理解根与系数的关系,切忌死记硬背.
课堂过关检测【来源:21cnj
y.co
m】
1.
方程(x-2)2=9的解为( )[]
A.
x1=5,x2=1 B.
x1=5,x2=-1
C.
x1=11,x2=-1
D.
x1=-11,x2=7
2.
已知x=1是方程x2+bx-2=0的一个根,则方程的另一个根是( )
A.
1
B.
2
C.
-1
D.
-2
3.
一元二次方程x(x-2)=0根的情况是( )
A.
有两个不相等的实数根
B.
有两个相等的实数根
C.
只有一个实数根
D.
没有实根
4.
如果关于x的方程x2-2x+m=0(m为常数)有两个相等的实数根,则m=______.
5.
一元二次方程x2-4x-12=0的解是__________.
6.
若x=1是x2+mx-3=0的一个根,则m的值为______.
7.
已知x=1是一元二次方程x2+mx+n=0的一个根,则m2+2mn+n2的值为______.
8.
已知关于x的一元二次方程x2-4x+m-1=0有两个相等的实数根,求m的值及方程的根.
[]
参考答案
考点聚焦导学
1.
1 2 2.
ax2+bx+c=0(a≠0) a b c 3.
± b±
4.
()2
5.
6.
- - 7.
b2-4ac (1)不相等 (2)相等 (3)没有
8.
-
知识归类探究
例1 2 解析:一元二次方程3x2+2x-5=0的一次项为2x,系数是2.
例2 D 解析:将方程两边同时加4得x2-4x+4=5+4,即得(x-2)2=9.[]
例3 c>9 解析:由于一元二次方程无实根,则Δ=(-6)2-4×1×c<0,解得c>9.
例4 D 解析:由根与系数的关系可知x1+x2=-2a,x1x2=b,得到-2a=3,b=1,所以a=-,b=1.21世纪教育网版权所有
活学活用
1.
C 2.
解:原方程可化为x2-4x-1=0,
∴Δ=(-4)2-4×1×(-1)=20,∴x==2±,
∴x1=2-,x2=2+. 3.
-3 4.
D
课堂过关检测
1.
B 2.
D 3.
A 4.
1 5.
x1=6,x2=-2 6.
2 7.
1
8.
解:由题意可知Δ=0,
即(-4)2-4(m-1)=0 解得m=5.
当m=5时,原方程化为x2-4x+4=0,
解得x1=x2=2 所以原方程的根为x1=x2=2.
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