2021中考数学备考经典微专题 《三角形与全等三角形》考点探究学案（技巧+满分解答）

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《三角形与全等三角形》考点探究
【考纲要求】
1．了解三角形和全等三角形有关的概念，知道三角形的稳定性，掌握三角形的三边关系．[来源:Zxxk.Com]21世纪教育网版权所有
2．理解三角形内角和定理及推论．
3．理解三角形的角平分线、中线、高的概念及画法和性质．
4．掌握三角形全等的性质与判定，熟练掌握三角形全等的证明.
【考点探究】
考点一、三角形的边角关系
【例1】若某三角形的两边长分别为3和4，则下列长度的线段能作为其第三边的是(　　)
A．1 B．5 C．7 D．9
解析：设第三边为x，根据三角形三边的关系可得4－3＜x＜3＋4，即1＜x＜7.
答案：B
方法总结 1．在具体判断时，可用_è???°??????¤??????_段的和与最长的线段进行比较．若这两条线段的和大于最长的那条线段，则这三条线段能组成三角形．否则就不能组成三角形．21cnjy.com
2．三角形边的关系的应用：(1)判定三条线段是否构成三角形；(2)已知两边的长，确定第三边的取值范围；(3)可证明线段之间的不等关系．
触类旁通1 已知三角形三边长分别为2，x,13，若x为正整数，则这样的三角形个数为(　　)
A．2 B．3 C．5 D．13
考点二、全等三角形的性质与判定
【例2】如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AC＝2AB，点D是AC的中点，将一块锐角为45°的直角三角板AED如图放置，使三角板斜边的两个端点分别与A，D重合，连接BE，EC.试猜想线段BE和EC的数量及位置关系，并证明你的猜想．
解：BE＝EC，BE⊥EC.证明如下：
∵AC＝2AB，点D是AC的中点，∴AB＝AD＝CD.
∵∠EAD＝∠EDA＝45°，∴∠EAB＝∠EDC＝135°.
又∵EA＝ED，∴△EAB≌△EDC.∴∠AEB＝∠DEC，EB＝EC.∴∠BEC＝∠AED＝90°.∴BE＝EC，BE⊥EC.21·cn·jy·com
方法总结 1．判定两个三角形全等时，常用下面的思路：有两角对应相等时找夹边或任一边对应相等；有两边对应相等时找夹角或另一边对应相等．在具体的证明中，要根据已知条件灵活选择证明方法．www.21-cn-jy.com
2．全等三角形的性质主要是指全等三角形的对应边、对应角、对应中线、对应高、对应角平分线、周长、面积等之间的等量关系．21·世纪*教育网
触类旁通2 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，BE⊥CE于点E，AD⊥CE于点D.www-2-1-cnjy-com
求证：△BEC≌△CDA.
考点三、真假命题的判断
【例3】下列命题，正确的是(　　)
A．如果|a|＝|b|，那么a＝b
B．等腰梯形的对角线互相垂直
C．顺次连接四边形各边中点所得到的四边形是平行四边形
D．相等的圆周角所对的弧相等[来源:学科网ZXXK]
解析：A项错误，例_??????|???2|_＝|2|，但－2≠2；B项错误，等腰梯形的对角线可能垂直，但并不是所有的等腰梯形对角线都垂直；C项正确，可以根据三角形中位线定理和平行四边形的判定得到；D项错误，相等的圆周角所对的弧相等，必须是在同圆或等圆中．21*cnjy*com
答案：C
方法总结 对命题的正确性理解一定要准确，判定命题不成立时，有时可以举反例说明道理；命题有正、误，错误的命题也是命题．2-1-c-n-j-y
触类旁通3 已_??????????????????_直线a，b，c在同一平面内，下列四个命题：①如果a∥b，a⊥c，那么b⊥c；②如果b∥a，c∥a，那么b∥c；③如果b⊥a，c⊥a，那么b⊥c；④如果b⊥a，c⊥a，那么b∥c.其中为真命题的是__________．(填写所有真命题的序号)21*cnjy*com
考点四、证明的方法
【例4】如图，已知在梯形ABCD中，AD∥BC，BC＝DC，CF平分∠BCD，DF∥AB，BF的延长线交DC于点E.
求证：(1)△BFC≌△DFC；
(2)AD＝DE.
证明：(1)∵CF平分∠BCD，∴∠BCF＝∠DCF.
在△BFC和△DFC中，
∴△BFC≌△DFC.
(2)如图，连接BD.
∵△BFC≌△DFC，
∴BF＝DF.∴∠FBD＝∠FDB.
∵DF∥AB，∴∠ABD＝∠FDB.
∴∠ABD＝∠FBD.
∵AD∥BC，∴∠BDA＝∠DBC.
∵BC＝DC，∴∠DBC＝∠BDC.
∴∠BDA＝∠BDC.
又BD是公共边，∴△BAD≌△BED.∴AD＝DE.
方法总结 1．证明问题时，首先要理清证明的思路，做到证明过程的每一步都有理有据，推理严密．要证明线段、角相等时，证全等是常用的方法．
2．证明的基本方法：(1)综合法，从已知条件入手，探索解题途径的方法；
(2)分析法，从结论出发，用倒推来寻求证题思路的方法；
(3)两头“凑”的方法，综合应用以上两种方法找证明思路的方法．
触类旁通4 如图，在△ABC中，AD是中线，分别过点B，C作AD及其延长线的垂线BE，CF，垂足分别为点E，F.求证：BE＝CF.21教育网
【经典考题】
1．(浙江嘉兴)已知△ABC中，∠B是∠A的2倍，∠C比∠A大20°，则∠A等于(　　)
A．40° B．60° C．80° D．90°
2．(贵阳)如图，已知点A，D，C，F在同一条直线上，AB＝DE，BC＝EF，要使△ABC≌△DEF，还需要添加一个条件是(　　)【来源：21cnj*y.co*m】
A．∠BCA＝∠F B．∠B＝∠E
C．BC∥EF D．∠A＝∠EDF
3．(四川雅安)在△_ADB??????A_DC中，下列条件：①BD＝DC，AB＝AC；②∠B＝∠C，∠BAD＝∠CAD；③∠B＝∠C，BD＝DC；④∠ADB＝∠ADC，BD＝DC.能得出△ADB≌△ADC的序号是__________．
4．(广东广州)如图，点D在AB上，点E在AC上，AB＝AC，∠B＝∠C，求证：BE＝CD.[来源:学*科*网]
5．(江苏苏州)如图，在梯形ABCD中，已知AD∥BC，AB＝CD，延长线段CB到E，使BE＝AD，连接AE，AC.
(1)求证：△ABE≌△CDA；
(2)若∠DAC＝40°，求∠EAC的度数．
【模拟预测】
1．如图，为估计池塘两岸A，B间的距离，杨阳在池塘一侧选取了一点P，测得PA＝16 m，PB＝12 m，那么AB间的距离不可能是(　　)
A．5 m B．15 m
C．20 m D．28 m
2．如图，已知△ABC中，∠ABC＝45°，F是高AD和BE的交点，CD＝4，则线段DF的长度为(　　)
A．2 B．4
C．3 D．4
3．如图，在△ABC中，∠A＝80°，点D是BC延长线上一点，∠ACD＝150°，则∠B＝__________.
4．如图，在△ABC_??????BCè?????_动，点A竖直向上运动，∠A越来越小，∠B，∠C越来越大，若∠A减少α度，∠B增加β度，∠C增加γ度，则α，β，γ三者之间的等量关系是__________．
5．如图所示，三角形纸_???ABC??????_∠A＝65°，∠B＝75°，将纸片的一角折叠，使点C落在△ABC内，若∠1＝20°，则∠2的度数为__________．
6．如图，点B，C，F，E在同一直线上，∠1＝∠2，BC＝FE，∠1__________(填“是”或“不是”)∠2的对顶角，要使△ABC≌△DEF，还需添加一个条件，这个条件可以是__________(只需写出一个)．【版权所有：21教育】
7．如图，已知在_???ABC??????_∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，点E在AC上，CE＝BC，过点E作AC的垂线，交CD的延长线于点F.求证：AB＝FC.
8．如图，点A，B，D，E在同一直线上，AD＝EB，BC∥DF，∠C＝∠F.求证：AC＝EF.
参考答案
【考点探究】
触类旁通1．B　由三角形三边的关系可得13－2＜x＜13＋2，即11＜x＜15，∵x为正整数，∴x为12,13,14，故选B.
触类旁通2．证明：∵BE⊥CF于点E，AD⊥CE于点D，
∴∠BEC＝∠CDA＝90°.
在Rt△BEC中，∠BCE＋∠CBE＝90°，
在Rt△BCA中，∠BCE＋∠ACD＝90°，
∴∠CBE＝∠ACD.
在△BEC和△CDA中，
∵
∴△BEC≌△CDA.
触类旁通3．①②④
触类旁通4．证明：∵在△ABC中，AD是中线，∴BD＝CD.
∵CF⊥AD，BE⊥AE，∴∠CFD＝∠BED＝90°.
在△BED与△CFD中，
∵∠BED＝∠CFD，∠BDE＝∠CDF，BD＝CD，
∴△BED≌△CFD，∴BE＝CF.
【经典考题】
1．A　设∠A＝x，则∠B＝2x，∠C＝x＋20°，则x＋2x＋x＋20°＝180°，解得x＝40°，即∠A＝40°.【来源：21·世纪·教育·网】
2．B　由已知可得两个三角形已有两组边对应相等，还需要另一组边对应相等或夹角对应相等，只有B能满足条件．【出处：21教育名师】
3．①②④　由_é????????AD???_AD，条件①可组成三边对应相等，条件②可组成两角和其中一角的对边对应相等，条件④可组成两边及其夹角对应相等，这三个条件都可得出△ADB≌△ADC，条件③组成的是两边及其一边的对角对应相等，不能得出△ADB≌△ADC.2·1·c·n·j·y
4．证明：∵在△ABE和△ACD中，∠B＝∠C，AB＝AC，∠A＝∠A，∴△ABE≌△ACD(ASA)．∴BE＝CD.21教育名师原创作品
5．(1)证明：在梯形ABCD中，∵AD∥BC，AB＝CD，
∴∠ABE＝∠BAD，∠BAD＝∠CDA.
∴∠ABE＝∠CDA.
在△ABE和△CDA中，
∴△ABE≌△CDA.
(2)解：由(1)得∠AEB＝∠CAD，AE＝AC，∴∠AEB＝∠ACE.
∵∠DAC＝40°，∴∠AEB＝∠ACE＝40°.
∴∠EAC＝180°－40°－40°＝100°.
【模拟预测】
1．D　由三角形三边关系知16－12＜AB＜16＋12，故选D.
2．B　因为由已知可证明△BDF≌△ADC，所以DF＝CD.
3．70°　4．α＝β＋γ
5．60°　∵∠A＋∠B＋∠C＝180°，∠CDE＋∠CED＋∠C＝180°，
∴∠A＋∠B＝∠CDE＋∠CED.
∴∠A＋∠B＋∠CDE＋∠CED＝2(∠A＋∠B)＝280°.
∵∠1＋∠2＋∠CDE＋∠CED＋∠A＋∠B＝360°，
∴∠1＋∠2＝360°－280°＝80°.
又∵∠1＝20°，∴∠2＝60°.[来源:Zxxk.Com]
6．不是　∠B＝∠E(答案不唯一)
7．证明：∵FE⊥AC于点E，∠ACB＝90°，
∴∠FEC＝∠ACB＝90°.
∴∠F＋∠ECF＝90°.
又∵CD⊥AB于点D，
∴∠A＋∠ECF＝90°.
∴∠A＝∠F.
在△ABC和△FCE中，
∴△ABC≌△FCE.∴AB＝FC.
8．证明：∵AD＝EB，
∴AD－BD＝EB－BD，即AB＝ED.
又∵BC∥DF，∴∠CBD＝∠FDB.
∴∠ABC＝∠EDF.
又∵∠C＝∠F，
∴△ABC≌△EDF.
∴AC＝EF.[来源:学科网ZXXK]
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