2.2 30°，45°，60°的三角函数值（含答案）
文档属性
| 名称 | 2.2 30°，45°，60°的三角函数值（含答案） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 1.5MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 鲁教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2020-07-31 18:04:19 | ||
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文档简介
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第二章
直角三角形的边角关系
2.2
30?，45?，60?角的三角函数值
知识梳理
知识点1
探索30°，60°角的三角函数值
如图1所示，在有一个锐角为30°的直角三角板中，∠A＝30°，∠B＝60°，若设BC＝1，则AB＝________，AC＝_________。由锐角三角函数的定义可得:
（1）sin30°＝_________，cos30°＝_________，tan30°＝_________。
（2）sin60°＝_________，cos60°＝_________，
tan60?＝_________。
知识点2
探索45°角的三角函数值
如图2所示，在有一个锐角为45°的直角三角板中，∠A＝45°，若设AC＝1，则BC＝______
，AB＝_________.由锐角三角函数的定义可得:sin45°＝________，cos45°＝________，tan45°＝_________。
知识点3
30°，45°，60°角的三角函数值表
三角函数锐角a
正弦sina
余弦cosa
正切tana
30°
45°
60°
通过上面的表格可以发现，当a在0～90?之间变化时，随a的增大，sina逐渐___________，cosa逐渐___________，tana逐渐___________。
考点突破
考点①
求特殊角的三角函数值
典例1
若∠A为锐角，且tanA＝，则cosA的值为（
）
B.
C.
D.
思路导析:
根据特殊角的三角函数值，由tanA＝可得∠A＝30°，则cosA＝，故选C.
答案:C友情提示
解决此类问题的关键是熟记特殊角的三角函数值特殊角的三角函数值易混淆，一定要在会推导的基础上准确记忆，切不可死记硬背.记不清时，可根据定义自己动手推导求值。
变式1
已知∠A为锐角，且sinA＝，求cosA，tanA的值.
变式2
已知∠B为锐角，且tanB＝，求sinB，sin的值。
考点2
已知特殊角的三角函数值，求锐角的大小
典例2
根据条件，确定下列角的大小
（1）已知tan（90°－a）＝1，求a的度数；（a为锐角）
（2）在△ABC中，若＝0，求∠C的度数.（∠A，∠B都为锐角）
思路导析:（1）由tan（90°－a）＝1，可得tan（90°－a）＝，即90?－a＝30?。
由＝0，可得＝0，＝0，即sinA＝，tanB＝.
解:（1）∵tan（90°－a）＝1，∴tan（90°－a）＝，又∵a为锐角，∴90°－a＝30°。
∴a＝60°；
（2）∵＝0，∴sin-3＝0，3tanB＝0.
∴＝0，＝0。∴sinA＝，tanB＝。
又∵∠A，∠B都为锐角，∴∠A＝60°，∠B＝30°。
∴∠C＝180°－60°－30°＝90°。
变式3
（1）若sin（a＋15°）＝，a为锐角，则a的度数为_______，tana＝__________；
（2）若tan（a＋10°）＝1，a为锐角，则a＝__________。
变式4
（1）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝2，BC＝，求∠A，∠B的度数；
（2）△ABC中，∠A，∠B均为锐角，且＝0，试确定△ABC的形状.
考点③
特殊角的三角函数值的混合运算
典例3计算:tan260?＋2cos45°－2sin30°。
思路导析:
利用特殊角的正切值、正弦值和余弦值进行代换，再按混合运算的顺序进行求解。
解:原式＝（）2＋2×－2×＝3＋－1＝2＋.
友情提示
（1）解答此类型题的关键是正确记忆特殊角的三角函数值，牢固把握运算法则，并把最后结果化成最简形式.（2）用特殊角的三角函数值进行计算时，一般不取近似值。
变式5
计算:
（1）6tan230°－sin60°＋2sin45°；
（2）sin45°＋cos30°·tan60°－.
考点④
三角函数的实际应用
典例4
如图所示，孔明同学背着一桶水，从山脚A出发，沿与地面成30°角的山坡向上走，送水到山上因今年春季受旱缺水的王奶奶家（B处），AB＝80
m.求出孔明从A到B上升的高度BC及从A到C的水平距离。
思路导析:
从图中找取线索:利用∠A的正弦的定义，求出BC的长，再根据∠A的余弦定义或正切定义或勾股定理可求出AC的长。
解:在Rt△ABC中，∵sinA＝，∠A＝30°，AB＝80（m），
∴BC＝AB·sinA＝80×sin30°＝80×＝40（m）.又∵cosA＝，
∴AC＝AB·cs30°＝80×＝40（m）。
友情提示
解答此类应用问题，首先要定位直角三角形，再利用三角函数的定义求出直角三角形的边
若还要求直角三角形的其他边，可利用三角函数定义来求，也可利用勾股定理求解
变式6
如图所示，在一次数学课外实践活动中小文在点C处测得树的顶端A的仰角为37°，BC＝20
m，求树的高度AB.（参考数据:sin37°≈0.60，cos37?≈0.80，tan37?≈0.75）
考点⑤
与锐角三角函数变化规律有关的问题
典例5
已知锐角a满足cosa＜，则a的取值范围是（
）
0?＜a＜45?
B.
45°＜a＜90°
C.
30°＜a＜45°
D.
60?＜a＜90°
思路导析:
cosa的值随a的增大而减小，当cosa＝时，得a＝60°，∴a＞60°.又∵0?＜a＜90?，60?＜a＜90?.故选D.
答案:D
变式7
若锐角a满足sina＞，则a的取值范围是（
）
0°＜a＜45°
B.
60°＜a＜90?
C.
45°＜a＜90?
D.
0°＜a＜30°
变式8
当锐角a＞60°时，cosa的值（
）
大于
B.
小于
C.
小于
D.
大于
典例6
已知cosa＝，且a为锐角，则下列选项正确的是（
）
0°＜a＜30?
B.
30?＜a＜45°
C.
45°＜a＜60°
D.
60?＜a＜90°
思路导析:
cos60?＝＝0.5，cos45?＝≈0.7，∴cos60?＜cosa＜cos45°，∵对于锐角a，cosa随a的增大而减小，∴45°＜a＜60°故选C.
答案:C
变式9
已知sina＝，a为锐角，则下列选项正确的是（
）
0?＜a＜30°
B.
30°＜a＜45°
C.
45°＜a＜60°
D.
60°＜a＜90°
巩固提高
1.在△ABC中，若角A，B满足＝0，则∠C的大小是（
）
A.
45°
B.
60°
C.
75°
D.
105°
2.下列式子错误的是（
）
A.cos40°＝sin50°
B.tan15°·tan75°＝1
C.sin225°＋cos25°＝1
D.sin60°＝2sin30°
3.如图所示，已知∠AOB＝60°，点P在边OA上，OP＝12，点M，N在边OB上，PM＝PN，若MN＝2，则OM＝（
）
3
B.
4
C.
5
D.6
4.当∠A是小于60°的锐角时，sinA的值（
）
A.
小于
B.
大于
C.
小于
D.大于
5.已知tana＝，则锐角a所在的范围是（
）
A.0°＜a＜30°
B.30°＜a＜45°
C.45°＜a＜60°
D.60°＜a＜90°
6.sin45°_________sin58°.（填“＞”“＜”或“＝”）
7.若tanA＝，则tan＝___________。
8.计算:tan45°＋cos45°＝_____________。
9.在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝2，AC＝，则∠A＝___________。
10.已知a，β均为锐角，且满足＝0，则a＋β＝___________。
11.a为锐角，且关于x的方程＝0有两个相等的实数根，则a＝__________。
12.求符合下列条件的锐角a:
（1）cos（a＋15°）＝sin60°；
（2）cos2a＝。
13.计算:
（1）sin60°·tan30°＋cos30°·tan45°·tan60°；
（2）；
（3）。
14.在△ABC中，AB＝2，AC＝，∠B＝30°，求∠A的度数。
体验中考
1.（2019·怀化）已知∠a为锐角，且sina＝，则∠a＝（
）
A.
30°
B.
45°
C.
60°
D.
90°
2.（2019·天津）2sin60°的值等于（
）
A.
1
B.
C.
D.
2
3.（2018·滨州）在△ABC中，∠C＝90°，若tanA＝，则sinB＝__________。
4.（2018·青海）在△ABC中，若＝0，则∠C的度数是__________。
5.（2017·烟台）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝2，BC＝，则sin＝__________。
6.（2019·盐城）计算:。
7.（2019·济南）计算:。
8.（2019·贺州）计算:。
参考答案
知识梳理
知识点1:
2
（1）
（2）
知识点2:
1
1
知识点3:
1
增大
减小
增大
考点突破
1.解:cosA＝，tanA＝1.
2.解:sinB＝，sin＝
3.（1）45°
1
（2）20?
4.解:（1）∵cosB＝＝，∴∠B＝30°.
∴∠A＝180°－90°－30°＝60°；
（2）∵＝0，∴tanB＝，sinA＝.
∵∠A，∠B均为锐角，∴∠A＝60°，∠B＝60°，
∴∠C＝180°－∠A－∠B＝180°－60°－60°＝60°。
∴△ABC是等边三角形.
5.解:（1）原式＝；
（2）原式＝.
6.解:AB＝15m.
7.
C
8.
B
9.
C
巩固提高
D
2.
D
3.
C
4.
C
5.
B
＜
7.
8.
2
9.
30°
10.
75°
11.
45°
12.（1）a＝15°（2）a＝30°
13.（1）2
（2）
（3）
14.解:∠A的度数为15°或105°。
体验中考
A
2.
C
3.
4.
90°
5.
6.解:原式＝2＋1－2＋1＝2
7.解:原式＝2＋1－1＋3＝5.
8.解:原式＝－1＋1－4＋1＝－3.
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精品试卷·第
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第二章
直角三角形的边角关系
2.2
30?，45?，60?角的三角函数值
知识梳理
知识点1
探索30°，60°角的三角函数值
如图1所示，在有一个锐角为30°的直角三角板中，∠A＝30°，∠B＝60°，若设BC＝1，则AB＝________，AC＝_________。由锐角三角函数的定义可得:
（1）sin30°＝_________，cos30°＝_________，tan30°＝_________。
（2）sin60°＝_________，cos60°＝_________，
tan60?＝_________。
知识点2
探索45°角的三角函数值
如图2所示，在有一个锐角为45°的直角三角板中，∠A＝45°，若设AC＝1，则BC＝______
，AB＝_________.由锐角三角函数的定义可得:sin45°＝________，cos45°＝________，tan45°＝_________。
知识点3
30°，45°，60°角的三角函数值表
三角函数锐角a
正弦sina
余弦cosa
正切tana
30°
45°
60°
通过上面的表格可以发现，当a在0～90?之间变化时，随a的增大，sina逐渐___________，cosa逐渐___________，tana逐渐___________。
考点突破
考点①
求特殊角的三角函数值
典例1
若∠A为锐角，且tanA＝，则cosA的值为（
）
B.
C.
D.
思路导析:
根据特殊角的三角函数值，由tanA＝可得∠A＝30°，则cosA＝，故选C.
答案:C友情提示
解决此类问题的关键是熟记特殊角的三角函数值特殊角的三角函数值易混淆，一定要在会推导的基础上准确记忆，切不可死记硬背.记不清时，可根据定义自己动手推导求值。
变式1
已知∠A为锐角，且sinA＝，求cosA，tanA的值.
变式2
已知∠B为锐角，且tanB＝，求sinB，sin的值。
考点2
已知特殊角的三角函数值，求锐角的大小
典例2
根据条件，确定下列角的大小
（1）已知tan（90°－a）＝1，求a的度数；（a为锐角）
（2）在△ABC中，若＝0，求∠C的度数.（∠A，∠B都为锐角）
思路导析:（1）由tan（90°－a）＝1，可得tan（90°－a）＝，即90?－a＝30?。
由＝0，可得＝0，＝0，即sinA＝，tanB＝.
解:（1）∵tan（90°－a）＝1，∴tan（90°－a）＝，又∵a为锐角，∴90°－a＝30°。
∴a＝60°；
（2）∵＝0，∴sin-3＝0，3tanB＝0.
∴＝0，＝0。∴sinA＝，tanB＝。
又∵∠A，∠B都为锐角，∴∠A＝60°，∠B＝30°。
∴∠C＝180°－60°－30°＝90°。
变式3
（1）若sin（a＋15°）＝，a为锐角，则a的度数为_______，tana＝__________；
（2）若tan（a＋10°）＝1，a为锐角，则a＝__________。
变式4
（1）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝2，BC＝，求∠A，∠B的度数；
（2）△ABC中，∠A，∠B均为锐角，且＝0，试确定△ABC的形状.
考点③
特殊角的三角函数值的混合运算
典例3计算:tan260?＋2cos45°－2sin30°。
思路导析:
利用特殊角的正切值、正弦值和余弦值进行代换，再按混合运算的顺序进行求解。
解:原式＝（）2＋2×－2×＝3＋－1＝2＋.
友情提示
（1）解答此类型题的关键是正确记忆特殊角的三角函数值，牢固把握运算法则，并把最后结果化成最简形式.（2）用特殊角的三角函数值进行计算时，一般不取近似值。
变式5
计算:
（1）6tan230°－sin60°＋2sin45°；
（2）sin45°＋cos30°·tan60°－.
考点④
三角函数的实际应用
典例4
如图所示，孔明同学背着一桶水，从山脚A出发，沿与地面成30°角的山坡向上走，送水到山上因今年春季受旱缺水的王奶奶家（B处），AB＝80
m.求出孔明从A到B上升的高度BC及从A到C的水平距离。
思路导析:
从图中找取线索:利用∠A的正弦的定义，求出BC的长，再根据∠A的余弦定义或正切定义或勾股定理可求出AC的长。
解:在Rt△ABC中，∵sinA＝，∠A＝30°，AB＝80（m），
∴BC＝AB·sinA＝80×sin30°＝80×＝40（m）.又∵cosA＝，
∴AC＝AB·cs30°＝80×＝40（m）。
友情提示
解答此类应用问题，首先要定位直角三角形，再利用三角函数的定义求出直角三角形的边
若还要求直角三角形的其他边，可利用三角函数定义来求，也可利用勾股定理求解
变式6
如图所示，在一次数学课外实践活动中小文在点C处测得树的顶端A的仰角为37°，BC＝20
m，求树的高度AB.（参考数据:sin37°≈0.60，cos37?≈0.80，tan37?≈0.75）
考点⑤
与锐角三角函数变化规律有关的问题
典例5
已知锐角a满足cosa＜，则a的取值范围是（
）
0?＜a＜45?
B.
45°＜a＜90°
C.
30°＜a＜45°
D.
60?＜a＜90°
思路导析:
cosa的值随a的增大而减小，当cosa＝时，得a＝60°，∴a＞60°.又∵0?＜a＜90?，60?＜a＜90?.故选D.
答案:D
变式7
若锐角a满足sina＞，则a的取值范围是（
）
0°＜a＜45°
B.
60°＜a＜90?
C.
45°＜a＜90?
D.
0°＜a＜30°
变式8
当锐角a＞60°时，cosa的值（
）
大于
B.
小于
C.
小于
D.
大于
典例6
已知cosa＝，且a为锐角，则下列选项正确的是（
）
0°＜a＜30?
B.
30?＜a＜45°
C.
45°＜a＜60°
D.
60?＜a＜90°
思路导析:
cos60?＝＝0.5，cos45?＝≈0.7，∴cos60?＜cosa＜cos45°，∵对于锐角a，cosa随a的增大而减小，∴45°＜a＜60°故选C.
答案:C
变式9
已知sina＝，a为锐角，则下列选项正确的是（
）
0?＜a＜30°
B.
30°＜a＜45°
C.
45°＜a＜60°
D.
60°＜a＜90°
巩固提高
1.在△ABC中，若角A，B满足＝0，则∠C的大小是（
）
A.
45°
B.
60°
C.
75°
D.
105°
2.下列式子错误的是（
）
A.cos40°＝sin50°
B.tan15°·tan75°＝1
C.sin225°＋cos25°＝1
D.sin60°＝2sin30°
3.如图所示，已知∠AOB＝60°，点P在边OA上，OP＝12，点M，N在边OB上，PM＝PN，若MN＝2，则OM＝（
）
3
B.
4
C.
5
D.6
4.当∠A是小于60°的锐角时，sinA的值（
）
A.
小于
B.
大于
C.
小于
D.大于
5.已知tana＝，则锐角a所在的范围是（
）
A.0°＜a＜30°
B.30°＜a＜45°
C.45°＜a＜60°
D.60°＜a＜90°
6.sin45°_________sin58°.（填“＞”“＜”或“＝”）
7.若tanA＝，则tan＝___________。
8.计算:tan45°＋cos45°＝_____________。
9.在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝2，AC＝，则∠A＝___________。
10.已知a，β均为锐角，且满足＝0，则a＋β＝___________。
11.a为锐角，且关于x的方程＝0有两个相等的实数根，则a＝__________。
12.求符合下列条件的锐角a:
（1）cos（a＋15°）＝sin60°；
（2）cos2a＝。
13.计算:
（1）sin60°·tan30°＋cos30°·tan45°·tan60°；
（2）；
（3）。
14.在△ABC中，AB＝2，AC＝，∠B＝30°，求∠A的度数。
体验中考
1.（2019·怀化）已知∠a为锐角，且sina＝，则∠a＝（
）
A.
30°
B.
45°
C.
60°
D.
90°
2.（2019·天津）2sin60°的值等于（
）
A.
1
B.
C.
D.
2
3.（2018·滨州）在△ABC中，∠C＝90°，若tanA＝，则sinB＝__________。
4.（2018·青海）在△ABC中，若＝0，则∠C的度数是__________。
5.（2017·烟台）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝2，BC＝，则sin＝__________。
6.（2019·盐城）计算:。
7.（2019·济南）计算:。
8.（2019·贺州）计算:。
参考答案
知识梳理
知识点1:
2
（1）
（2）
知识点2:
1
1
知识点3:
1
增大
减小
增大
考点突破
1.解:cosA＝，tanA＝1.
2.解:sinB＝，sin＝
3.（1）45°
1
（2）20?
4.解:（1）∵cosB＝＝，∴∠B＝30°.
∴∠A＝180°－90°－30°＝60°；
（2）∵＝0，∴tanB＝，sinA＝.
∵∠A，∠B均为锐角，∴∠A＝60°，∠B＝60°，
∴∠C＝180°－∠A－∠B＝180°－60°－60°＝60°。
∴△ABC是等边三角形.
5.解:（1）原式＝；
（2）原式＝.
6.解:AB＝15m.
7.
C
8.
B
9.
C
巩固提高
D
2.
D
3.
C
4.
C
5.
B
＜
7.
8.
2
9.
30°
10.
75°
11.
45°
12.（1）a＝15°（2）a＝30°
13.（1）2
（2）
（3）
14.解:∠A的度数为15°或105°。
体验中考
A
2.
C
3.
4.
90°
5.
6.解:原式＝2＋1－2＋1＝2
7.解:原式＝2＋1－1＋3＝5.
8.解:原式＝－1＋1－4＋1＝－3.
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