人教A版（2019）高中数学选择性必修第一册 2.3.1　两条直线的交点坐标（25张PPT）

2.3.1　两条直线的交点坐标
激趣诱思
知识点拨
由直线方程的概念,我们知道直线上的一点与二元一次方程的解的关系,那如果两直线相交于一点,这一点与这两条直线的方程有何关系?
激趣诱思
知识点拨
两条直线的交点
1.已知两条直线的方程是l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0,设这两条直线的交点为P,则点P既在直线l1上,也在直线l2上.所以点P的坐标既满足直线l1的方程A1x+B1y+C1=0,也满足直线l2的方程A2x+B2y+C2=0,即点P的坐标就是方程组
2.
激趣诱思
知识点拨
名师点析如果两条直线相交,则交点坐标分别适合两条直线的方程,即交点坐标是两直线方程所组成方程组的解.
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知识点拨
微练习
直线x+y=5与直线x-y=3交点坐标是(　　)
A.(1,2)
B.(4,1)
C.(3,2)
D.(2,1)
答案:B
探究一
探究二
探究三
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两条直线的交点问题
例1分别判断下列直线是否相交,若相交,求出它们的交点.
(1)l1:2x-y=7和l2:3x+2y-7=0;
(2)l1:2x-6y+4=0和l2:4x-12y+8=0;
(3)l1:4x+2y+4=0和l2:y=-2x+3.
思路分析:直接将两直线方程联立方程组,根据方程组解的个数判断两直线是否相交.
探究一
探究二
探究三
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反思感悟两直线位置关系的判断方法及应用
涉及两直线交点的问题,通常是先求交点坐标,再进一步解决问题.
探究一
探究二
探究三
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变式训练1已知直线5x+4y=2a+1与直线2x+3y=a的交点位于第四象限,则a的取值范围是　　　　　.?
探究一
探究二
探究三
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过两直线交点的直线系方程
例2(1)求经过点P(1,0)和两直线l1:x+2y-2=0,l2:3x-2y+2=0交点的直线方程;
(2)无论实数a取何值,方程(a-1)x-y+2a-1=0表示的直线恒过定点,试求该定点.
思路分析:(1)设所求直线方程为x+2y-2+λ(3x-2y+2)=0,再将x=1,y=0代入求出λ,即得所求直线方程.
(2)将直线方程改写为-x-y-1+a(x+2)=0.
探究一
探究二
探究三
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解:(1)设所求直线方程为x+2y-2+λ(3x-2y+2)=0.∵点P(1,0)在直线上,
∴1-2+λ(3+2)=0.
探究一
探究二
探究三
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反思感悟利用直线系方程求直线的方程
经过两直线l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0交点的直线方程可写为A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0(它不能表示直线l2).反之,当直线的方程写为A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0时,直线一定过直线l1:A1x+B1y+C1=0与直线l2:A2x+B2y+C2=0的交点.
探究一
探究二
探究三
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变式训练2已知直线l经过原点,且经过另两条直线2x+3y+8=0,
x-y-1=0的交点,则直线l的方程为(　　)
A.2x+y=0 B.2x-y=0
C.x+2y=0 D.x-2y=0
(方法2)设直线l的方程为2x+3y+8+λ(x-y-1)=0,因其过原点,所以8+(-λ)=0,λ=8,直线l的方程为2x-y=0.
答案:B
探究一
探究二
探究三
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对称问题
例3光线通过点A(2,3)在直线l:x+y+1=0上反射,反射光线经过点B(1,1),试求入射光线和反射光线所在直线的方程.
思路分析:求点A关于直线l的对称点A'→求反射光线所在直线的方程→求入射光线与反射光线的交点坐标→求入射光线所在的直线方程
探究一
探究二
探究三
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探究一
探究二
探究三
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反思感悟点关于直线的对称点的求法
探究一
探究二
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变式训练3直线y=2x是△ABC的一个内角平分线所在的直线,若A,B两点的坐标分别为A(-4,2),B(3,1),求点C的坐标.
解:把A,B两点坐标代入y=2x知,A、B不在直线y=2x上,因此y=2x为角C的平分线,设点A(-4,2)关于y=2x的对称点为A'(a,b),则
探究一
探究二
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一题多解——求直线的方程
典例过点P(3,0)作一直线分别交直线2x-y-2=0和x+y+3=0于点A,B,且点P恰好为线段AB的中点,求此直线的方程.
解:分析一:设出直线的方程,求出交点的坐标,再用中点坐标公式.
解法一:若直线斜率不存在,则方程为x=3.
探究一
探究二
探究三
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∴k=8.
∴所求直线方程为y=8(x-3),即8x-y-24=0.
分析二:设出A(x1,y1),由P(3,0)为AB的中点,易求出B的坐标,而点B在另一直线上,从而求出x1、y1的值,再由两点式求直线的方程.
探究一
探究二
探究三
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解法二:设A点坐标为(x1,y1),则由P(3,0)为线段AB的中点,得B点坐标为(6-x1,-y1).
∵点A,B分别在已知两直线上,
探究一
探究二
探究三
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分析三:由于P(3,0)为线段AB的中点,可对称地将A,B坐标设为(3+a,b),(3-a,-b),代入已知方程.
解法三:∵P(3,0)为线段AB的中点,∴可设A(3+a,b),B(3-a,-b).
∵点A,B分别在已知直线上,
点评:解法三这种对称的设法需要在平常学习中加以积累,以上三种解法各有特点,要善于总结,学习其简捷解法,以提高解题速度.
探究一
探究二
探究三
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1.直线2x+y+8=0和直线x+y-1=0的交点坐标是(　　)
A.(-9,-10) B.(-9,10)
C.(9,10) D.(9,-10)
答案:B
探究一
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2.直线2x+3y-k=0和直线x-ky+12=0的交点在x轴上,则k的值为(　　)
A.-24 B.24
C.6 D.±6
答案:A
探究一
探究二
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3.已知直线l1:ax+y-6=0与l2:x+(a-2)y+a-1=0相交于点P,若l1⊥l2,则点P的坐标为　　　　　　.?
解析:∵直线l1:ax+y-6=0与l2:x+(a-2)y+a-1=0相交于点P,且l1⊥l2,
∴a×1+1×(a-2)=0,解得a=1,
答案:(3,3)
探究一
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4.求证:不论m为何值,直线(m-1)x+(2m-1)y=m-5都通过一定点.
证明:将原方程按m的降幂排列,整理得(x+2y-1)m-(x+y-5)=0,
此式对于m的任意实数值都成立,根据恒等式的要求,m的一次项系
∴m为任意实数时,所给直线必通过定点(9,-4).