人教A版（2019）高中数学选择性必修第一册 2.4.1　圆的标准方程（24张PPT）

2.4.1　圆的标准方程
激趣诱思
知识点拨
月亮,是中国人心目中的宇宙精灵,古代人们在生活中崇拜、敬畏月亮,在文学作品中也大量描写、吟咏月亮.有诗道:“明月四时有,何事喜中秋?瑶台宝鉴,宜挂玉宇最高头;放出白豪千丈,散作太虚一色.万象入吾眸,星斗避光彩,风露助清幽.”如果把天空看作一个平面,在上面建立一个平面直角坐标系,那么月亮的坐标方程如何表示?
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知识点拨
一、圆的标准方程
名师点析(1)当圆心在原点即A(0,0)时,方程为x2+y2=r2.
(2)当圆心在原点即A(0,0),半径长r=1时,方程为x2+y2=1,称为单位圆.
(3)相同的圆,建立坐标系不同时,圆心坐标不同,导致圆的方程不同,但是半径是不变的.
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知识点拨
微练习
圆心在y轴上,半径为1,且过点(1,2)的圆的方程是(　　)
A.x2+(y-2)2=1
B.x2+(y+2)2=1
C.(x-1)2+(y-3)2=1
D.x2+(y-3)2=1
解析:设圆心为(0,b),则圆的方程为x2+(y-b)2=1,又点(1,2)在圆上,所以1+(2-b)2=1,b=2,故方程为x2+(y-2)2=1.
答案:A
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知识点拨
二、点与圆的位置关系
圆C:(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0),其圆心为C(a,b),半径为r,点P(x0,y0),设
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微练习
点P(-2,-2)和圆x2+y2=4的位置关系是(　　)
A.在圆上
B.在圆外
C.在圆内
D.以上都不对
解析:将点P的坐标代入圆的方程,则(-2)2+(-2)2=8>4,故点P在圆外.
答案:B
探究一
探究二
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求圆的标准方程
例1求圆心在直线x-2y-3=0上,且过点A(2,-3),B(-2,-5)的圆的标准方程.
思路分析:解答本题可以先根据所给条件确定圆心和半径,再写方程,也可以设出方程用待定系数法求解,也可以利用几何性质求出圆心和半径.
探究一
探究二
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解:(方法1)设点C为圆心,
∵点C在直线:x-2y-3=0上,
∴可设点C的坐标为(2a+3,a).
又∵该圆经过A,B两点,∴|CA|=|CB|.
故所求圆的标准方程为(x+1)2+(y+2)2=10.
探究一
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(方法2)设所求圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2,圆心坐标为(a,b),
故所求圆的标准方程为(x+1)2+(y+2)2=10.
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探究一
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反思感悟圆的标准方程的两种求法
(1)几何法
它是利用图形的几何性质,如圆的性质等,直接求出圆的圆心和半径,代入圆的标准方程,从而得到圆的标准方程.
(2)待定系数法
由三个独立条件得到三个方程,解方程组以得到圆的标准方程中三个参数,从而确定圆的标准方程.它是求圆的方程最常用的方法,一般步骤是:
①设——设所求圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2;
②列——由已知条件,建立关于a,b,r的方程组;
③解——解方程组,求出a,b,r;
④代——将a,b,r代入所设方程,得所求圆的方程.
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变式训练1已知圆过点A(1,-2),B(-1,4),求:
(1)周长最小的圆的方程;
(2)圆心在直线2x-y-4=0上的圆的方程.
(1)解:当AB为直径时,过点A、B的圆的半径最小,从而周长最小,即
探究一
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点与圆的位置关系
例2(1)点P(m2,5)与圆x2+y2=24的位置关系是(　　)
A.点P在圆内
B.点P在圆外
C.点P在圆上
D.不确定
思路分析:(1)首先根据圆的方程确定圆心和半径,然后利用P到圆心的距离和圆的半径大小关系确定点与圆的位置关系;(2)首先确定圆心和半径,利用圆心到点M的距离小于半径列出不等式求解.
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答案:(1)B　(2)[0,1)
反思感悟点与圆的位置关系及其应用
点与圆的位置关系有三种:点在圆内、点在圆上、点在圆外.判断点与圆的位置关系有两种方法:一是用圆心到该点的距离与半径比较,二是代入圆的标准方程,判断与r2的大小关系.通过点与圆的位置关系建立方程或不等式可求参数值或参数的取值范围.
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变式训练2若点(1,1)在圆(x-a)2+(y+a)2=4的内部,则a的取值范围是(　　)
A.a<-1或a>1 B.-1 C.0 解析:由题意可知,(1-a)2+(1+a)2<4,解得a2<1,
故-1 答案:B
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代入法求解与圆有关的轨迹问题
典例已知圆x2+y2=4上一定点A(2,0),B(1,1)为圆内一点,P,Q为圆上的动点.
(1)求线段AP中点的轨迹方程;
(2)若∠PBQ=90°,求线段PQ中点的轨迹方程.
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解:(1)设AP的中点为M(x0,y0),
由中点坐标公式可知点P坐标为(2x0-2,2y0).
因为点P在圆x2+y2=4上,
所以(2x0-2)2+(2y0)2=4.
故线段AP中点的轨迹方程为(x-1)2+y2=1.
(2)设PQ的中点为N(x',y').
在Rt△PBQ中,|PN|=|BN|.
设O为坐标原点,连接ON,则ON⊥PQ,
所以|OP|2=|ON|2+|PN|2=|ON|2+|BN|2.
所以x'2+y'2+(x'-1)2+(y'-1)2=4.
故线段PQ中点的轨迹方程为x2+y2-x-y-1=0.
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反思感悟求与圆有关的轨迹方程的方法
(1)直接法:根据题设条件直接列出方程;
(2)定义法:根据圆的定义写出方程;
(3)几何法:利用圆的性质列方程;
(4)代入法:找出要求点与已知点的关系,代入已知点满足的关系式.
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探究二
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变式训练设定点M(-3,4),动点N在圆x2+y2=4上运动,以OM,ON为邻边作平行四边形MONP,求点P的轨迹.
由于平行四边形的对角线相交于一点,
又N(x+3,y-4)在圆上,故(x+3)2+(y-4)2=4.
因此所求轨迹为圆:(x+3)2+(y-4)2=4,
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1.圆x2+y2=1的圆心到直线3x+4y-25=0的距离是(　　)
A.5 B.3 C.4 D.2
答案:A
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2.以C(2,-3)为圆心,且过点B(5,-1)的圆的方程为(　　)
A.(x-2)2+(y+3)2=25
B.(x+2)2+(y-3)2=65
C.(x+2)2+(y-3)2=53
D.(x-2)2+(y+3)2=13
答案:D
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3.已知点P(1,-1)在圆(x+2)2+y2=m的外部,则实数m的取值范围是　　　　　.?
解析:由题意,得(1+2)2+(-1)2>m,即m<10.又m>0,故m的取值范围是(0,10).
答案:(0,10)
4.圆(x+2)2+y2=5关于原点O(0,0)对称的圆的方程为　　　　　　　　　　　　.?
解析:已知圆的圆心(-2,0)关于原点的对称点为(2,0),半径不变,故所求对称圆的方程为(x-2)2+y2=5.
答案:(x-2)2+y2=5