人教A版（2019）高中数学选择性必修第一册 3.1.1　椭圆及其标准方程（38张PPT）

3.1.1　椭圆及其标准方程
激趣诱思
知识点拨
《今日美国》2018年12月9日报道,“天文爱好者们即将看到一个惊喜,名为‘46P/Wirtanen’的彗星,即将成为1950年以来最接近地球的10颗彗星之一.‘46P/Wirtanen’会在美国时间12月16日最接近地球.届时,这颗彗星将“仅”距离地球710万英里(从天文的角度来说,这已经很近了).在此期间,这颗彗星应该肉眼可见.”
天文学家是如何计算出彗星出现的准确时间呢?
原来,这颗彗星运行的轨道是一个椭圆,通过观察它运行中的一些有关数据,可以推算出它的运行轨道的方程,从而算出它运行的周期及轨道的周长,预测它接近地球或离去的时间.
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一、椭圆的定义
1.定义
我们把平面内与两个定点F1,F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆.
这两个定点叫做椭圆的焦点,两焦点间的距离叫做椭圆的焦距,焦距的一半称为半焦距.
2.定义的集合语言表述
集合P={M||MF1|+|MF2|=2a,2a>|F1F2|}.
名师点析在椭圆定义中,要求常数必须大于两定点F1,F2之间的距离,这是椭圆定义中非常重要的一个条件,可以验证:如果这个常数等于两定点F1,F2之间的距离,动点的轨迹将是一条线段;如果这个常数小于两定点F1,F2之间的距离,动点的轨迹将不存在.因此在根据椭圆定义判断动点的轨迹时,务必注意这一隐含的条件.
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微练习
下列说法中,正确的是(　　)
A.到点M(-3,0),N(3,0)的距离之和等于4的点的轨迹是椭圆
B.到点M(0,-3),N(0,3)的距离之和等于6的点的轨迹是椭圆
C.到点M(-3,0),N(3,0)的距离之和等于8的点的轨迹是椭圆
D.到点M(0,-3),N(0,3)的距离相等的点的轨迹是椭圆
答案:C
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二、椭圆的标准方程
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名师点析1.椭圆的标准方程是指当椭圆在标准位置时的方程,所谓标准位置,就是指椭圆的中心在坐标原点,椭圆的对称轴为坐标轴.
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(2)已知a=5,c=2,焦点在y轴上,则椭圆的标准方程为　　　　　　　.?
解析:(1)因为10>6,所以焦点在x轴上,且a2=10,b2=6,
所以c2=10-6=4,c=2,故焦点坐标为(2,0)和(-2,0).
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探究一
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求椭圆的标准方程
1.待定系数法
例1根据下列条件,求椭圆的标准方程:
(1)两个焦点的坐标分别为(-4,0)和(4,0),且椭圆经过点(5,0);
(2)焦点在y轴上,且经过两个点(0,2)和(1,0);
思路分析:(1)设出焦点在x轴上的椭圆的标准方程,再根据条件求出a,b的值,即可求得方程;(2)设出焦点在y轴上的椭圆的标准方程,再根据条件求出a,b的值,即可求得方程;(3)焦点位置不确定,可以分两种情况分别求解,也可直接设所求椭圆方程为mx2+ny2=1(m>0,n>0,m≠n).
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反思感悟椭圆方程的求法
1.利用待定系数法求椭圆标准方程的一般步骤如下:
(1)先确定焦点位置;(2)设出方程;(3)寻求a,b,c的等量关系;(4)求a,b的值,代入所设方程.
2.当焦点位置不确定时,可设椭圆方程为mx2+ny2=1(m≠n,m>0,n>0).因为焦点位置包括焦点在x轴上(mn)两种情况,所以可以避免分类讨论,从而简化运算.
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变式训练1根据下列条件,求椭圆的标准方程.
(2)经过点(2,-3)且与椭圆9x2+4y2=36有共同的焦点.
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2.定义法
例2一个动圆与圆Q1:(x+3)2+y2=1外切,与圆Q2:(x-3)2+y2=81内切,试求这个动圆圆心的轨迹方程.
思路分析:两圆相切时,圆心之间的距离与两圆的半径有关,由此可以找到动圆圆心满足的条件等式.
解:两定圆的圆心和半径分别为Q1(-3,0),r1=1;Q2(3,0),r2=9.
设动圆圆心为M(x,y),半径为R,由题意有|MQ1|=1+R,|MQ2|=9-R,
∴|MQ1|+|MQ2|=10>|Q1Q2|=6.
由椭圆的定义可知点M在以Q1,Q2为焦点的椭圆上,且a=5,c=3,∴b2=a2-c2=25-9=16.
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反思感悟1.若动点轨迹满足椭圆的定义,则根据椭圆的定义来确定a,b,c,从而确定椭圆的标准方程,这种求轨迹方程的方法称为定义法.
2.一般步骤:
(1)将条件转化为到两定点的距离之和为定值(该定值大于两定点之间的距离);
(2)判断椭圆的中心是否在原点、对称轴是否为坐标轴;
(3)确定椭圆的基本量a,b,c,从而确定椭圆的标准方程.
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延伸探究本题两个已知圆不变,若动圆与两个圆都内切,求动圆圆心的轨迹方程.
解:设动圆圆心为P(x,y),半径为r.
由圆P与圆Q1内切,得|PQ1|=r-1;
由圆P与圆Q2内切,得|PQ2|=9-r.
所以|PQ1|+|PQ2|=8>6=|Q1Q2|.
所以P点轨迹是以Q1,Q2为焦点的椭圆,且2a=8,2c=6.
即a=4,c=3,所以b2=a2-c2=7.
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对椭圆标准方程的理解
A.(-9,25) B.(-9,8)∪(8,25)
C.(8,25) D.(8,+∞)
(2)若方程x2-3my2=1表示焦点在x轴上的椭圆,则实数m的取值范围是　　　　　　　　　.?
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反思感悟根据椭圆方程求参数的取值范围
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答案:(-4,0)∪(0,3)
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椭圆中的焦点三角形问题
思路分析:(1)由|PF1|+|PF2|是定值,求|PF1|·|PF2|的最大值,可考虑用基本不等式;(2)求焦点三角形的面积,可考虑用定义|PF1|+|PF2|=2a及余弦定理先求|PF1|·|PF2|,再考虑用三角形面积公式求面积.
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当且仅当|PF1|=|PF2|=10时,等号成立,即|PF1|·|PF2|取到最大值100.
(2)c2=a2-b2=100-64=36,c=6,
则F1(-6,0),F2(6,0).∵P为椭圆上任一点,
∴|PF1|+|PF2|=2a=20.
在△PF1F2中,|F1F2|=2c=12,
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即122=|PF1|2+|PF2|2-|PF1|·|PF2|.
∵|PF1|2+|PF2|2=(|PF1|+|PF2|)2-2|PF1|·|PF2|,
∴122=(|PF1|+|PF2|)2-3|PF1|·|PF2|,
∴122=202-3|PF1|·|PF2|,
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反思感悟1.焦点三角形的概念
如图,设M是椭圆上一点,F1,F2为椭圆的焦点,当点M,F1,F2不在同一条直线上时,它们构成一个三角形——焦点三角形.
2.关于椭圆的焦点三角形问题,可结合椭圆的定义列出|PF1|+|PF2|=2a,利用这个关系式转化求解.因此回归定义是求解椭圆的焦点三角形问题的常用方法.在求解过程中要灵活运用勾股定理、正弦定理、余弦定理等.
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3.焦点三角形的常用公式
(1)焦点三角形的周长L=2a+2c.
(2)在△MF1F2中,由余弦定理可得
|F1F2|2=|MF1|2+|MF2|2-2|MF1||MF2|cos θ.
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垂直于x轴,交椭圆于A,B两点,F1是椭圆的左焦点.
(1)求△AF1B的周长.
(2)如果AB不垂直于x轴,△AF1B的周长有变化吗?为什么?
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故有|AF1|+|AF2|=2a=10,|BF1|+|BF2|=2a=10,|AF2|+|BF2|=|AB|,
∴△AF1B的周长=|AF1|+|BF1|+|AB|=|AF1|+|BF1|+|AF2|+|BF2|
=(|AF1|+|AF2|)+(|BF1|+|BF2|)=2a+2a=10+10=20,
∴△AF1B的周长为20.
(2)如果AB不垂直于x轴,△AF1B的周长仍为20不变.
理由:|AF1|+|BF1|+|AB|=|AF1|+|BF1|+|AF2|+|BF2|
=(|AF1|+|AF2|)+(|BF1|+|BF2|)=4a,和AB与x轴是否垂直无关.
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求与椭圆有关的轨迹问题
典例已知B,C是两个定点,|BC|=8,且△ABC的周长等于18.求这个三角形的顶点A的轨迹方程.
解:以过B,C两点的直线为x轴,线段BC的垂直平分线为y轴,建立平面直角坐标系xOy,如图所示.
由|BC|=8可知点B(-4,0),C(4,0).
由|AB|+|AC|+|BC|=18,
得|AB|+|AC|=10>8=|BC|,
因此,点A的轨迹是以B,C为焦点的椭圆,这个椭圆上的点与两焦点的距离之和2a=10,焦距2c=8,但点A不在x轴上.
由a=5,c=4,
得b2=a2-c2=25-16=9.
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方法总结求与椭圆有关的轨迹方程常用的方法
(1)定义法:若动点的轨迹特点符合某一基本轨迹(如椭圆、圆等)的定义,则可用定义直接求解.
(2)直接法:将动点满足的几何条件或者等量关系直接坐标化,列出等式后化简,得出动点的轨迹方程.
(3)相关点法:根据相关点所满足的方程,通过转换求出动点轨迹的方程.
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1.已知F1,F2为两定点,|F1F2|=6,动点M满足|MF1|+|MF2|=16,则动点M的轨迹是(　　)
A.椭圆
B.直线
C.圆
D.线段
解析:因为|MF1|+|MF2|=16>|F1F2|,所以动点M的轨迹是椭圆.
答案:A
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2.椭圆的两个焦点分别为F1(-8,0),F2(8,0),且椭圆上一点到两个焦点的距离之和为20,则此椭圆的标准方程为(　　)
答案:C
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A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
答案:B
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答案:6
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5.求以椭圆9x2+5y2=45的焦点为焦点,且经过点M(2, )的椭圆的标准方程.