人教A版（2019）高中数学选择性必修第一册 1.1.2　空间向量的数量积运算（36张PPT）

1.1.2　空间向量的数量积运算
激趣诱思
知识点拨
物理中,我们学习了力做功的计算方法.如图所示,一辆小车在力F的作用下向前移动了s个单位长度,力与小车前进方向的夹角为θ,那么力作的功W=|F|·|s|cos θ,这是一个具体的数,可以为正,为负,也可以为零.
激趣诱思
知识点拨
一、空间向量的夹角
名师点析1.由定义知,只有两个非零空间向量才有夹角,当两个非零空间向量共线同向时,夹角为0,共线反向时,夹角为π.
2.对空间任意两个非零向量a,b有:
①=;②<-a,b>==π-;③<-a,-b>=.
∠AOB

[0,π]
a⊥b
激趣诱思
知识点拨
微练习
在正四面体ABCD中, 的夹角等于(　　)　　　　　　　　　
A.30°
B.60°
C.150°
D.120°
答案:D　
激趣诱思
知识点拨
二、空间向量的数量积
1.定义:已知两个非零向量a,b,则　　 　　　　叫做a,b的数量积,记作　　　　.?
即a·b=|a||b|cos.
特别地,零向量与任意向量的数量积为　　　　.?
2.数量积的运算性质
a·e=|a|cos(e为单位向量)
若a,b是非零向量,则a⊥b?a·b=0
若a与b同向,则a·b=|a||b|;
若a与b反向,则a·b=-|a||b|.
|a·b|≤|a||b|(当且仅当a,b共线时等号成立)
|a||b|cos
a·b
0
激趣诱思
知识点拨
3.向量a在向量b上的投影向量
在空间,向量a向向量b投影,得到与向量b共线的向量c,c=|a|cos 称为向量a在向量b上的投影向量.
5.数量积的运算律:
(λa)·b=　　　　;a·b=　　　　(交换律);?
a·(b+c)=　　　　　　(分配律).
λ(a·b)
b·a
a·b+a·c
激趣诱思
知识点拨
名师点析1.对空间向量数量积的理解
(1)两个空间向量的数量积是数量,而不是向量,它可以是正数、负数或零;
(2)空间向量的数量积运算不满足消去律和结合律,即a·b=a·c?b=c,(a·b)·c=a·(b·c)都不成立.
量夹角,特别是两异面直线夹角的问题;
(3)利用关系a⊥b?a·b=0可以证明空间两直线的垂直.
激趣诱思
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微练习1
答案:C　
激趣诱思
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微判断
对不为0的三个实数a,b,c,有(ab)c=a(bc)成立,所以对三个非零向量a,b,c,也有(a·b)c=a(b·c)成立.(　　)
微练习2
已知空间向量a,b的夹角为120°,且|a|=1,|b|=2,
则a·(2a-3b)=　　　　　.?
×
答案: 5
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
求空间向量的数量积
例1已知三棱锥O-ABC的各个侧面都是等边三角形,且边长为2,点M,N,P分别为AB,BC,CA的中点.试求:
思路分析求出每个向量的模及它们的夹角,然后按照数量积的定义求解,必要时,对向量进行分解.
探究一
探究二
探究三
探究四
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探究一
探究二
探究三
探究四
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当堂检测
反思感悟空间向量运算的方法与步骤
方法:(1)利用定义,直接利用a·b=|a||b|cos并结合运算律进行计算.
(2)利用图形,计算两个向量的数量积,可先将各向量移到同一顶点,利用图形寻找夹角,再代入数量积公式进行运算.
(3)利用向量分解,在几何体中进行向量的数量积运算时,要充分利用几何体的性质,把待求向量用已知夹角和模的向量表示后再进行运算.
步骤:(1)首先将各向量分解成已知模和夹角的向量的线性组合形式;
(2)利用向量的运算律将数量积展开,转化为已知模和夹角的向量的数量积;
(3)代入a·b=|a||b|cos求解.
探究一
探究二
探究三
探究四
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探究一
探究二
探究三
探究四
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当堂检测
解析:如图,连接AG并延长,与BC交于点D,
∵点G是底面△ABC的重心,
探究一
探究二
探究三
探究四
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利用数量积求夹角
思路分析求两个向量的夹角,可以把其中一个向量平移到与另一个向量的起点重合,从而转化为求平面角的大小;也可以用两个向量的数量积定义a·b=|a||b|cos,求出cos= 的值,然后确定的大小.
探究一
探究二
探究三
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探究一
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反思感悟两个非零向量夹角求法的两个途径
(1)转化求角:把向量夹角转化为平面几何中的对应角,利用解三角形的知识求解;
探究一
探究二
探究三
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变式训练2(1)若非零空间向量a,b满足|a|=|b|,(2a+b)·b=0,则a与b的夹角为(　　)
A.30° B.60° C.120° D.150°
答案:C　
解析:设a与b的夹角为θ,则由(2a+b)·b=0,得2|a||b|cos θ+|b|2=0.
探究一
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探究三
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(2)已知空间四面体OABC各边及对角线长都等于2,E,F分别为AB,OC的中点,则向量 所成角的余弦值为　　　　　.?
探究一
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探究三
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利用数量积证明垂直问题
例3如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,P是DD1的中点,O是底面ABCD的中心.求证:OB1⊥平面PAC.
探究一
探究二
探究三
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探究一
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探究三
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反思感悟利用数量积证明垂直问题的一般方法
将所证垂直问题转化为证明线线垂直,然后把直线转化为向量,并用已知向量表示未知向量,然后通过向量的线性运算以及数量积运算,证明直线所在向量的数量积等于零,即可证明线线垂直.
探究一
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探究三
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变式训练3已知空间四边形OABC中,M,N,P,Q分别为BC,AC,OA,OB的中点,若AB=OC,求证:PM⊥QN.
探究一
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探究三
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利用数量积求距离或长度
例4如图所示,在平行四边形ABCD中,AB=AC=1,∠ACD=90°,沿着它的对角线AC将△ACD折起,使AB与CD成60°角,求此时B,D间的距离.
探究一
探究二
探究三
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反思感悟求两点间的距离或线段长度的方法
(1)将此线段用向量表示;
(2)用其他已知夹角和模的向量表示该向量;
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探究三
探究四
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变式训练4正三棱柱ABC-A1B1C1的各棱长都为2,E,F分别是AB,A1C1的中点,则EF的长是(　　)
答案:C　
探究一
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探究三
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利用向量的数量积求两异面直线所成角
典例如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠ABC=90°,AB=BC=1,
AA1= ,求异面直线BA1与AC所成角的余弦值.
探究一
探究二
探究三
探究四
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探究一
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【答题模板】 第1步:确定两两垂直的向量,把待求直线看作向量,用相关向量表示.
?
第2步:计算直线BA1与AC对应向量的数量积.
?
第3步:利用数量积公式计算两个向量夹角的余弦值.
?
第4步:将两向量夹角的余弦值转化为两直线夹角的余弦值.
探究一
探究二
探究三
探究四
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失误警示通过阅卷统计分析,发现造成失分的原因主要如下:
(1)解题时忽视条件∠ABC=90°,从而得不出两两垂直的向量;
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1.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,下列各对向量夹角为45°的是(　　)
答案:A　
解析:四个选项中两个向量的夹角依次是45°,135°,90°,180°,故选A.
探究一
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探究三
探究四
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答案:D　
探究一
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探究三
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3.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E是上底面A1B1C1D1的中心,则AC1与CE的位置关系是(　　)
A.重合 B.平行
C.垂直 D.无法确定
答案:C　
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4.如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AA1=AB=2,AD=1,点E,F,G分别是DC,AB,CC1的中点,则异面直线A1E与GF所成角的余弦值是(　　)
答案:A　
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5.如图所示,已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是菱形,且∠C1CB=∠C1CD=∠BCD=60°,求证:CC1⊥BD.