人教A版（2019）高中数学选择性必修第一册 1.2　空间向量基本定理（24张PPT）

1.2　空间向量基本定理
激趣诱思
知识点拨
我们所在的教室是一个立体图形,即是一个三维立体图,如果以教室的一个墙角为坐标原点,沿着三条墙缝作射线可以得到三个空间向量.
这三个空间向量是不共面的,那么这个三维立体图与这三个空间向量有什么关系呢?
事实上可以建立一个空间坐标系来研究三维立体图形.
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知识点拨
空间向量基本定理
1.定理:如果三个向量a,b,c不共面,那么对任意一个空间向量p,存在唯一的有序实数组(x,y,z),使得p=xa+yb+zc.
2.基底:我们把定理中的????,????,????叫做空间的一个基底,a,b,c都叫做基向量.空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底.
3.单位正交基底:如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直,且长度都为1,那么这个基底叫做单位正交基底,常用????,????,????表示.
由空间向量基本定理可知,对空间中的任意向量a,均可以分解为三个向量xi,yj,zk,使a=xi+yj+zk,像这样,把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量,叫做把空间向量进行正交分解.
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激趣诱思
知识点拨
名师点析1.空间任意三个不共面的向量都可构成空间的一个基底.基底选定后,空间的所有向量均可由基底唯一表示;不同基底下,同一向量的表达式也有可能不同.
2.一个基底是一个向量组,一个基向量是指基底中的某一个向量,二者是相关联的不同概念.
3.由于零向量与任意一个非零向量共线,与任意两个不共线的非零向量共面,所以若三个向量不共面,就说明它们都不是零向量.
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微练习
在三棱柱ABC-A1B1C1中,可以作为空间向量一个基底的是(　　)
答案:C　
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微判断
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“√”,错误的打“×”.
(1)空间向量的基底是唯一的.(　　)
(2)若a,b,c是空间向量的一个基底,则a,b,c均为非零向量.(　　)
(3)已知A,B,M,N是空间四点,若
不能构成空间的一个基底,则A,B,M,N共面.(　　)
(4)若{a,b,c}是空间的一个基底,且存在实数x,y,z使得xa+yb+zc=0,则有x=y=z=0.(　　)
答案: (1)×　(2)√　(3)√　(4)√
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基底的判断
例1(1)设x=a+b,y=b+c,z=c+a,且{a,b,c}是空间的一个基底,给出下列向量组:①{a,b,x},②{x,y,z},③{b,c,z},④{x,y,a+b+c}.其中可以作为空间一个基底的向量组有(　　)
A.1个 B.2个
C.3个 D.4个
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(1) 答案: C　
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反思感悟判断基底的基本思路及方法
(1)基本思路:判断三个空间向量是否共面,若共面,则不能构成基底;若不共面,则能构成基底.
(2)方法:①如果向量中存在零向量,则不能作为基底;如果存在一个向量可以用另外的向量线性表示,则不能构成基底.
②假设a=λb+μc,运用空间向量基本定理,建立λ,μ的方程组,若有解,则共面,不能作为基底;若无解,则不共面,能作为基底.
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变式训练1若{a,b,c}是空间的一个基底,试判断{a+b,b+c,c+a}能否作为空间的一个基底.
解:假设a+b,b+c,c+a共面,则存在实数λ,μ,使得a+b=λ(b+c)+μ(c+a),即a+b=μa+λb+(λ+μ)c.
∵{a,b,c}是空间的一个基底,∴a,b,c不共面.
即不存在实数λ,μ,使得a+b=λ(b+c)+μ(c+a),
∴a+b,b+c,c+a不共面.
故{a+b,b+c,c+a}能作为空间的一个基底.
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用基底表示空间向量
例2
思路分析利用图形寻找待求向量与a,b,c的关系→利用向量运
算进行拆分→直至向量用a,b,c表示
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反思感悟用基底表示空间向量的解题策略
1.空间中,任一向量都可以用一个基底表示,且只要基底确定,则表示形式是唯一的.
2.用基底表示空间向量时,一般要结合图形,运用向量加法、减法的平行四边形法则、三角形法则,以及数乘向量的运算法则,逐步向基向量过渡,直至全部用基向量表示.
3.在空间几何体中选择基底时,通常选取公共起点最集中的向量或关系最明确的向量作为基底,例如,在正方体、长方体、平行六面体、四面体中,一般选用从同一顶点出发的三条棱所对应的向量作为基底.
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答案:B　
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应用空间向量基本定理证明线线位置关系
例3在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是DD1,BD的中点,点G在棱CD上,且CG= CD.
(1)证明:EF⊥B1C;
(2)求EF与C1G所成角的余弦值.
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反思感悟应用空间向量基本定理可以证明空间的线线垂直、线线平行,可求两条异面直线所成的角等.
首先根据几何体的特点,选择一个基底,把题目中涉及的两条直线所在的向量用基向量表示.
(1)若证明线线垂直,只需证明两向量数量积为0;
(2)若证明线线平行,只需证明两向量共线;
(3)若要求异面直线所成的角,则转化为两向量的夹角(或其补角).
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延伸探究设这个正方体中线段A1B的中点为M,证明:MF∥B1C.
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1.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,可以作为空间向量的一组基底的是(　　)
答案:C　
解析:只有选项C中的三个向量是不共面的,可以作为一个基底.
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答案:A　
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3.下列说法正确的是(　　)
A.任何三个不共线的向量可构成空间向量的一个基底
B.空间的基底有且仅有一个
C.两两垂直的三个非零向量可构成空间的一个基底
D.基底{a,b,c}中基向量与基底{e,f,g}中基向量对应相等
答案:C　
解析:A项中应是不共面的三个向量构成空间向量的基底;B项,空间基底有无数个;D项中因为基底不唯一,所以D错.故选C.
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