人教A版（2019）高中数学选择性必修第二册 4.2.2　第1课时　等差数列的前n项和（29张PPT）

4.2.2　等差数列的前n项和公式
第1课时　等差数列的前n项和
激趣诱思
知识点拨
高斯是伟大的数学家、天文学家.高斯十岁时,有一次老师出了一道题目,老师说:“现在给大家出道题目,1+2+…+100的和是多少?”
过了两分钟,正当大家在对1+2=3,3+3=6,4+6=10…算得不亦乐乎时,高斯站起来回答说:“1+2+3+…+100=5 050.”
老师问:“你是如何算出答案的?”
高斯回答说:“因为1+100=101,2+99=101,…,50+51=101,所以101×50=5 050.”
这个故事告诉我们要像数学王子高斯一样善于观察,敢于思考,从一些简单的事物中发现和寻找出某些规律性的东西.
这个小故事还告诉我们求等差数列前n项和的一种很重要的思想方法——“倒序相加”法.
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知识点拨
等差数列的前n项和公式及其推导
等差数列的前n项和公式

推导方法
倒序相加法.
推导过程
设等差数列的前n项分别为a1,a2,a3,…,an-2,an-1,an,
Sn=a1+a2+a3+…+an-2+an-1+an,依等差数列的通项公式,得:
Sn=a1+(a1+d)+(a1+2d)+…+[a1+(n-1)d].①
再把项的次序反过来,Sn又可以写成:
Sn=an+(an-d)+(an-2d)+…+[an-(n-1)d].②
①②两边分别相加,得:
2Sn=(a1+an)+(a1+an)+…+(a1+an)=n(a1+an),
∴Sn= .

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知识点拨
名师点析(1)两个公式均为等差数列的求和公式,一共涉及a1,an,Sn,n,d五个量.通常已知其中三个,可求其余两个,而且方法就是解方程(组),这也是等差数列的基本问题形式之一.
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知识点拨
微拓展
从函数角度认识等差数列的前n项和公式:
(1)公式的变形
(2)从函数角度认识公式
①当d≠0时,Sn是项数n的二次函数,且不含常数项;
②当d=0时,Sn=na1,Sn不是项数n的二次函数.
(3)结论及其应用
已知数列{an}的前n项和Sn=An2+Bn+C,
若C=0,则数列{an}为等差数列;
若C≠0,则数列{an}不是等差数列.
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知识点拨
微练习
记等差数列{an}的前n项和为Sn,若a3=0,a6+a7=14,则S7=　　　　　.
解析:设等差数列{an}的公差为d,因为a3=0,a6+a7=14,所以
答案:14
探究一
探究二
探究三
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等差数列前n项和公式及其应用
例1(1)设Sn是等差数列{an}的前n项和,且a1=1,a4=7,则S9=　　　　.?
(2)设Sn为等差数列{an}的前n项和,若S3=3,S6=24,则a9=　　　　.?
(3)在等差数列{an}中,若a1=1,an=-512,Sn=-1 022,则公差d=　　　　.?
分析:利用等差数列的通项公式和前n项和公式列方程进行计算求解.
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解析:(1)设等差数列{an}的公差为d,
则a4=a1+3d=1+3d=7,所以d=2.
解得n=4.又由an=a1+(n-1)d,
即-512=1+(4-1)d,解得d=-171.
答案:(1)81　(2)15　(3)-171
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反思感悟a1,d,n称为等差数列的三个基本量,an和Sn都可以用这三个基本量来表示,五个量a1,d,n,an,Sn中,可知三求二,即等差数列的通项公式及前n项和公式中“知三求二”的问题,一般是通过通项公式和前n项和公式联立方程(组)来求解.这种方法是解决数列运算的基本方法.在运算中要注意等差数列性质的应用.
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变式训练1(1)设等差数列{an}的前n项之和为Sn,已知a2=3,a5=9,则S5等于(　　)
A.15　　　　B.20　　　　C.25　　　　D.30
(2)若等差数列{an}的前5项和S5=25,且a2=3,则a7=(　　)
A.12 B.13 C.14 D.15
(3)已知Sn为等差数列{an}的前n项的和,若a3=16,S20=20,Sn=110,则n=　　　　.?
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答案:(1)C　(2)B　(3)10或11
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利用an与Sn的关系解决问题
例2(1)已知数列{an}的前n项和Sn=5n-1,求数列{an}的通项公式;
(2)已知数列{an}的前n项和Sn= ,求数列{an}的通项公式.
分析:利用an与Sn的关系求通项公式,注意对首项的检验.
解:(1)当n=1时,a1=S1=51-1=4.
当n≥2时,an=Sn-Sn-1=(5n-1)-(5n-1-1)=5n-5n-1=4·5n-1.由于a1=4也适合an=4·5n-1,因此数列{an}的通项公式是an=4·5n-1(n∈N*).
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反思感悟已知数列{an}的前n项和Sn,求通项公式an的步骤
1.当n=1时,a1=S1.
2.当n≥2时,根据Sn写出Sn-1,化简an=Sn-Sn-1.
3.如果a1也满足当n≥2时,an=Sn-Sn-1的通项公式,那么数列{an}的通项公式为an=Sn-Sn-1;
如果a1不满足当n≥2时,an=Sn-Sn-1的通项公式,那么数列{an}的通
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变式训练2已知数列{an}的前n项和Sn=n2-9n,第k项满足5 A.9 B.8 C.7 D.6
解析:当n≥2时,an=Sn-Sn-1=n2-9n-(n-1)2+9(n-1)=2n-10.当n=1时,a1=S1=-8也适合,所以an=2n-10.因为5 答案:B
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例3已知数列{an}的各项均为正数,前n项和为Sn,且满足
(1)求证:{an}为等差数列;
(2)求出{an}的通项公式.
相减,利用an与Sn的关系可消去Sn,得到an与an-1的关系,从而可判断数列{an}是不是等差数列,再根据a1=S1可求出a1的值,即得{an}的通项公式.
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若an-1=-an-1,则an+an-1=1,而a1=3,所以a2=-2,这与数列{an}的各项均为正数相矛盾;
若an-1=an-1,即an-an-1=1,因此{an}为等差数列.
(2)由(1)知,{an}为等差数列,且a1=3,公差d=1,所以an=3+(n-1)=n+2,故{an}的通项公式为an=n+2.
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反思感悟利用an与Sn的关系式求数列{an}的通项公式.
已知an与Sn的关系式求an时,可根据已给出的关系式,令n取n+1或n取n-1,再写出一个关系式,将两式相减,消去Sn,得到an与an+1或an与an-1的关系,从而确定数列{an}是等差数列或其他数列,求出其通项公式.
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延伸探究在本例中,若将条件变为“数列{an}的各项均为正数,前n项和为Sn,且满足8Sn=(an+2)2”,求数列{an}的通项公式.
解:当n=1时,8a1=(a1+2)2,解得a1=2.
当n≥2时,8Sn-1=(an-1+2)2,
即(an+an-1)(an-an-1-4)=0.
因为数列{an}的各项均为正数,所以an+an-1>0,
所以an-an-1-4=0,即an-an-1=4,所以数列{an}为首项为2,公差为4的等差数列,
故an=2+4(n-1)=4n-2.
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等差数列在实际生活中的应用
例4 某人用分期付款的方式购买一件家电,价格为1 150元,购买当天先付150元,以后每月的这一天都交付50元,并加付欠款利息,月利率为1%.若交付150元后的一个月开始算分期付款的第一个月,则分期付款的第10个月该交付多少钱?全部贷款付清后,买这件家电实际花费多少钱?
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解:设每次交款数额依次为a1,a2,…,a20,
则a1=50+1 000×1%=60,
a2=50+(1 000-50)×1%=59.5,
…
a10=50+(1 000-9×50)×1%=55.5,
即第10个月应付款55.5元.
由于{an}是以60为首项,以-0.5为公差的等差数列,所以有
即全部付清后实际付款1 105+150=1 255(元).
反思感悟等差数列的实际应用的解题策略
建立等差数列的模型时,要根据题意找准首项、公差和项数或者首项、末项和项数.
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变式训练3甲、乙两物体分别从相距70 m的两处同时相向运动,甲第1分钟走2 m,以后每分钟比前1分钟多走1 m,乙每分钟走5 m.
(1)甲、乙开始运动后几分钟相遇?
(2)如果甲、乙到达对方起点后立即返回,甲继续每分钟比前1分钟多走1 m,乙继续每分钟走5 m,那么开始运动几分钟后第二次相遇?
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整理得n2+13n-140=0.解得n=7,n=-20(舍去).
所以第1次相遇是在开始运动后7分钟.
(2)设n分钟后第2次相遇,由题意,
整理得n2+13n-420=0.
解得n=15,n=-28(舍去).
所以第2次相遇是在开始运动后15分钟.
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由an与Sn的关系求通项
典例已知数列{an}的前n项和Sn=n2+2,求此数列的通项公式.
解:当n≥2时,an=Sn-Sn-1=n2+2-(n-1)2-2=2n-1;当n=1时,a1=S1=12+2=3,不适合上式,
方法点睛已知数列{an}的前n项和公式Sn,求an时应分三步.第一步,利用a1=S1求a1.第二步,当n≥2时,求an=Sn-Sn-1.第三步,检验a1是否适合当n≥2时得到的an.若适合,则an即为所求;若不适合,将an用分段函数表示.
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1.设Sn为等差数列{an}的前n项和,公差d=-2,若S10=S11,则a1=(　　)
A.18 B.20 C.22 D.24
答案:B
2.已知数列{an}的前n项和Sn=-n2+3n,若ak+1=-16,则k的值等于(　　)
A.9 B.8 C.7 D.6
解析:当n≥2时,an=Sn-Sn-1=-n2+3n+(n-1)2-3(n-1)=-2n+4.又a1=S1=2也适合上式,所以an=-2n+4(n∈N*),由ak+1=-16,得-2(k+1)+4=-16,解得k=9.
答案:A
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3.设等差数列{an}的前n项和为Sn,若a6=S3=12,则{an}的通项an=　　　　.?
解析:设{an}的公差为d,
故an=2+(n-1)×2=2n.
答案:2n
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4.某电影院中,从第2排开始,每一排的座位数比前一排多两个座位,第1排有18个座位,最后一排有36个座位,则该电影院共有　　　个座位.?
解析:从第1排开始每排座位数形成等差数列{an},其中a1=18,an=36.公差为d=2,则36=18+2(n-1),解得n=10.
答案:270
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5.已知数列{an}的前n项和为Sn=-2n2+3n+1.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)数列{an}是否为等差数列?
解:(1)当n=1时,a1=S1=2;当n≥2时,
an=Sn-Sn-1=(-2n2+3n+1)-[-2(n-1)2+3(n-1)+1]=-4n+5.
又当n=1时,a1=2不满足上式,所以数列{an}的通项公式为
(2)由(1)知,当n≥2时,an+1-an=-4(n+1)+5-(-4n+5)=-4,
但a2-a1=-3-2=-5,所以数列{an}不是等差数列.