人教A版（2019）高中数学选择性必修第二册 4.2.2　第2课时　等差数列前n项和的性质及应用（28张PPT）

第2课时　等差数列前n项和的性质及应用
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知识点拨
等差数列的前n项和公式是一个关于n的函数,那么这个函数和二次函数有什么关系呢?
等差数列的前n项和公式又具有什么独特的性质呢?
这一节课我们就来研究一下这些问题.
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知识点拨
一、等差数列前n项和的函数特征
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知识点拨
名师点析(1)若a1<0,d>0,则数列的前面若干项为负数项(或0),所以将这些项相加即得Sn的最小值.
(2)若a1>0,d<0,则数列的前面若干项为正数项(或0),所以将这些项相加即得Sn的最大值.
(3)特别地,若an>0,d>0,则S1是{Sn}的最小项;若an<0,d<0,则S1是{Sn}的最大项.
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微练习
已知在公差d<0的等差数列{an}中,S8=S18,则此数列的前多少项和最大?
因为S8=S18,d<0,所以抛物线f(x)的对称轴是直线x=13,且抛物线开口向下,故当n=13时,f(n)有最大值,即数列{an}的前13项和最大.
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二、等差数列前n项和的性质
(2)设等差数列{an}的公差为d,Sn为其前n项和,则Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,
…仍构成等差数列,且公差为m2d.
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微练习
(1)已知某等差数列共有10项,其奇数项之和为15,偶数项之和为30,则其公差为(　　)
A.5　 B.4　 C.3　 D.2
(2)在等差数列{an}中,其前n项和为Sn,S2=4,S4=9,则S6=　　　　　.?
解析:(1)设等差数列的公差为d,由题意,得S偶-S奇=30-15=5d,解得d=3.
(2)∵S2,S4-S2,S6-S4成等差数列,∴4+(S6-9)=2×5,解得S6=15.
答案:(1)C　(2)15
探究一
探究二
探究三
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等差数列前n项和的性质及其应用
例1(1)等差数列{an}的前m项和为30,前2m项和为100,则数列{an}的前3m项的和S3m为　　　　　.?
分析:运用等差数列前n项和的性质解决问题.
探究一
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解析:(1)方法一　在等差数列中,
∵Sm,S2m-Sm,S3m-S2m成等差数列,
∴30,70,S3m-100成等差数列.
∴2×70=30+(S3m-100),∴S3m=210.
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反思感悟利用等差数列前n项和的性质简化计算
(1)在解决等差数列问题时,先利用已知条件求出a1,d,再求所求,是基本解法(有时运算量大些).
(2)如果利用等差数列前n项和的性质或利用等差数列通项公式的性质,可简化运算,为最优解法.
(3)设而不求,整体代换也是很好的解题方法.
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探究二
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变式训练1(1)已知等差数列的前12项和为354,前12项中偶数项和与奇数项和之比为32∶27,则公差d=　　　　　.?
(2)一个等差数列的前10项和为100,前100项和为10,则前110项之和为　　　　　.?
探究一
探究二
探究三
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答案:(1)5　(2)-110
探究一
探究二
探究三
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等差数列前n项和的最值问题
例2在等差数列{an}中,Sn为前n项和,且a1=25,S17=S9,请问数列{an}前多少项和最大?
分析:解答本题可用多种方法,根据S17=S9找出a1与d的关系,转化为Sn的二次函数求最值,也可以先用通项公式找到通项的变号点,再求解.
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=-(n-13)2+169.
故该数列的前13项之和最大,最大值是169.
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解法三:∵S17=S9,∴a10+a11+…+a17=0.
∴a10+a17=a11+a16=…=a13+a14=0.
∵a1=25>0,
∴当n≤13时,an>0;当n≥14时,an<0.
∴S13最大.
故当n=13时,Sn有最大值.
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反思感悟一般地,在等差数列{an}中,若a1>0,d<0,则其前n项和Sn有最大值;若a1<0,d>0,则其前n项和Sn有最小值,具体求解方法如下:
(2)利用等差数列的性质,找出数列{an}中正、负项的分界项.当a1>0,d<0时,前n项和Sn有最大值,可由an≥0且an+1≤0,求得n的值;当a1<0,d>0时,前n项和Sn有最小值,可由an≤0且an+1≥0,求得n的值.
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变式训练2已知{an}为等差数列,a3=7,a1+a7=10,Sn为其前n项和,则使Sn取得最大值的n等于　　　　.?
答案:6
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求数列{|an|}的前n项和问题
分析:先求出通项an,再确定数列中项的正负,最后利用Sn求解.
当n≥2时,an=Sn-Sn-1=-3n+104.
∵n=1也适合上式,
∴数列{an}的通项公式为an=-3n+104(n∈N*).
即当n≤34时,an>0;
当n≥35时,an<0.
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(2)当n≥35时,
Tn=|a1|+|a2|+…+|a34|+|a35|+…+|an|
=(a1+a2+…+a34)-(a35+a36+…+an)
=2(a1+a2+…+a34)-(a1+a2+…+an)
=2S34-Sn
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反思感悟已知等差数列{an},求{|an|}的前n项和的步骤
1.确定通项公式an;
2.根据通项公式确定数列{an}中项的符号,即判断数列{an}是先负后正,还是先正后负;
3.去掉数列{|an|}中各项的绝对值,转化为{an}的前n项和求解,转化过程中有时需添加一部分项,以直接利用数列{an}的前n项和公式;
4.将{|an|}的前n项和写成分段函数的形式.
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延伸探究在本例中,若将条件改为“等差数列{an}的通项公式为an=3n-23”,求数列{|an|}的前n项和.
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等差数列前n项和性质的灵活应用
典例项数为奇数的等差数列,奇数项之和为44,偶数项之和为33,求这个数列的中间项及项数.
分析:由于本题涉及等差数列的奇数项和及偶数项和,因此可以利用与奇、偶数项和有关的性质解题.
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解法一:设此等差数列为{an},公差为d,Sn为其前n项和,S奇、S偶分别表示奇数项之和与偶数项之和.
由题意知项数为奇数,可设为(2n+1)项,则奇数项为(n+1)项,偶数项为n项,an+1为中间项.
由性质知S奇-S偶=an+1,∴an+1=11.
又S2n+1=S奇+S偶=44+33=77,
∴(2n+1)(a1+nd)=77.
又a1+nd=an+1=11,∴2n+1=7.
故这个数列的中间项为11,项数为7.
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∴项数为2n+1=7.
又由S奇-S偶=a中,得a中=44-33=11.
故中间项为11,项数为7.
方法点睛本题两种解法均使用性质“等差数列项数为2n+1时,
S奇-S偶=a中”,从而求得中间项.求项数时,解法一用
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1.在项数为2n+1的等差数列中,所有奇数项的和为165,所有偶数项的和为150,则n的值为(　　)
A.9 B.10 C.11 D.12
解析:∵等差数列有2n+1项,S奇-S偶=a中,∴a中=15.
又S2n+1=(2n+1)a中,∴165+150=(2n+1)×15,
∴n=10.
答案:B
2.已知Sn是等差数列{an}的前n项和,且Sn=20,S2n=80,则S3n=(　　)
A.130 B.180 C.210 D.260
解析:因为Sn,S2n-Sn,S3n-S2n仍然构成等差数列,所以20,60,S3n-80成等差数列,所以2×60=20+S3n-80,解得S3n=180.
答案:B
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4.在数列{an}中,a1=32,an+1=an-4,则当n=　　　时,前n项和Sn取得最大值,最大值是　　　　.?
解析:由an+1=an-4,得{an}为等差数列,且公差d=an+1-an=-4,故an=-4n+36.
令an=-4n+36≥0,得n≤9,
故当n=8或n=9时,Sn最大,且S8=S9=144.
答案:8或9　144
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5.在等差数列{an}中,Sn为其前n项和.若S2=16,S4=24,求数列{|an|}的前n项和Tn.
解:设等差数列{an}的首项为a1,公差为d,
所以等差数列{an}的通项公式为an=11-2n(n∈N*).
①当n≤5时,Tn=|a1|+|a2|+…+|an|=a1+a2+…+an=-n2+10n;
②当n≥6时,Tn=|a1|+|a2|+…+|an|=a1+a2+…+a5-a6-a7-…-an
=2S5-Sn=2×(-52+10×5)-(-n2+10n)=n2-10n+50.