人教A版（2019）高中数学选择性必修第二册 4.4　数学归纳法（25张PPT）

4.4　数学归纳法
激趣诱思
知识点拨
平面内有n(n≥2)条直线,其中任何两条不平行,任何三条不过同一
激趣诱思
知识点拨
数学归纳法的定义
一般地,证明一个与正整数n有关的命题,可按下列步骤进行:
归纳奠基→证明当n取第一个值n0(n0∈N*)时命题成立
归纳递推→以当“n=k(k≥n0,k∈N*)时命题成立”为条件,
推出“当n=k+1时命题也成立”
只要完成这两个步骤,就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立.这种证明方法叫做数学归纳法.
微思考
数学归纳法的第一步n0的初始值是否一定为1?
提示:不一定.如证明n边形的内角和为(n-2)·180°,第一个值n0=3.
探究一
探究二
探究三
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用数学归纳法证明等式
例1(1)用数学归纳法证明(n+1)·(n+2)·…·(n+n)=2n×1×3×…×(2n-1)(n∈N*),“从k到k+1”左端增乘的代数式为　　　　　.?
(1)解析:令f(n)=(n+1)(n+2)…(n+n),
则f(k)=(k+1)(k+2)…(k+k),f(k+1)=(k+2)(k+3)…(k+k)(2k+1)(2k+2),
答案:2(2k+1)
探究一
探究二
探究三
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即当n=k+1时等式也成立.
由①②可得对于任意的n∈N*等式都成立.
探究一
探究二
探究三
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反思感悟用数学归纳法证明恒等式时,应关注以下三点:
(1)弄清n取第一个值n0时等式两端项的情况;
(2)弄清从n=k到n=k+1等式两端增加了哪些项,减少了哪些项;
(3)证明n=k+1时结论也成立,要设法将待证式与归纳假设建立联系,并朝n=k+1证明目标的表达式变形.
探究一
探究二
探究三
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综上所述,对于任何n∈N*,等式都成立.
探究一
探究二
探究三
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归纳—猜想—证明
计算结果,猜想Sn的表达式,并用数学归纳法进行证明.
可以看出,上面表示四个结果的分数中,分子与项数n一致,分母可用项数n表示为3n+1.
探究一
探究二
探究三
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下面我们用数学归纳法证明这个猜想.
所以,当n=k+1时猜想也成立.
根据(1)和(2),可知猜想对任何n∈N*都成立.
探究一
探究二
探究三
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反思感悟(1)“归纳—猜想—证明”的一般环节
(2)“归纳—猜想—证明”的主要题型
①已知数列的递推公式,求通项或前n项和.
②由一些恒等式、不等式改编的一些探究性问题,求使命题成立的参数值是否存在.
③给出一些简单的命题(n=1,2,3,…),猜想并证明对任意正整数n都成立的一般性命题.
探究一
探究二
探究三
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变式训练2数列{an}满足Sn=2n-an(Sn为数列{an}的前n项和),先计算数列的前4项,再猜想an,并证明.
探究一
探究二
探究三
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下面证明猜想正确:
(1)当n=1时,由上面的计算可知猜想成立.
(2)假设当n=k时猜想成立,
探究一
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用数学归纳法证明不等式
分析:按照数学归纳法的步骤证明,由n=k到n=k+1的推证过程可应用放缩技巧,使问题简单化.
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即当n=k+1时,命题成立.
由(1)和(2)可知,命题对所有的n∈N*都成立.
探究一
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由(1)和(2)知原不等式在n≥2,n∈N*时均成立.
探究一
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反思感悟用数学归纳法证明不等式的关键点
(1)先凑假设,作等价变换;
(2)瞄准当n=k+1时的递推目标,有目的地放缩、分析直到凑出结论.
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用数学归纳法比较大小
解:(1)当n=1或n=2时,Pn=Qn.
(2)当n≥3时(以下再对x进行分类).
①若x∈(0,+∞),显然有Pn>Qn.
②若x=0,则Pn=Qn.
③若x∈(-1,0),
则P3-Q3=x3<0,所以P3 P4-Q4=4x3+x4=x3(4+x)<0,所以P4 猜想n≥3时,P3探究一
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证明:(ⅰ)当n=3时,已经证明了P3 (ⅱ)假设Pk 则Pk+1=(1+x)Pk<(1+x)Qk=Qk+xQk
即当n=k+1时,不等式成立.
所以当n≥3,且x∈(-1,0)时,Pn探究一
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方法点睛(1)利用数学归纳法比较大小,关键是先用不完全归纳法归纳出两个量的大小关系,猜测出证明的方向,再用数学归纳法证明结论成立.
(2)本题除对n的不同取值会有Pn与Qn之间的大小变化,变量x也影响Pn与Qn的大小关系,这就要求我们在探索大小关系时,不能只顾“n”,而忽视其他变量(参数)的作用.
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n=1成立时,左边计算所得的项是(　　)
A.1 B.1+a
C.1+a+a2 D.1+a+a2+a3
解析:当n=1时,左边=1+a+a1+1=1+a+a2,故C正确.
答案:C
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2.用数学归纳法证明1+2+3+…+(2n+1)=(n+1)(2n+1)时,从“n=k”到“n=k+1”,左边需增添的代数式是(　　)
A.(2k+1)+(2k+2) B.(2k-1)+(2k+1)
C.(2k+2)+(2k+3) D.(2k+2)+(2k+4)
解析:当n=k时,左边是共有2k+1个连续自然数相加,即1+2+3+…+(2k+1),所以当n=k+1时,左边共有2k+3个连续自然数相加,即1+2+3+…+(2k+1)+(2k+2)+(2k+3).所以左边需增添的代数式是(2k+2)+(2k+3).故选C.
答案:C
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∴当n=k+1时,等式也成立.
根据(1)和(2)知,对任意n≥2,n∈N*,等式都成立.