人教A版（2019）高中数学选择性必修第二册 5.3.1　函数的单调性（46张PPT）

5.3.1　函数的单调性
激趣诱思
知识点拨
如图①是高台跳水运动员的重心相对于水面的高度h随时间t变化的函数h(t)=-4.9t2+4.8t+11的图象,图②是高台跳水运动员的速度v随时间t变化的函数v(t)=h'(t)=-9.8t+4.8的图象.a= ,b是函数h(t)的零点.
激趣诱思
知识点拨
运动员从起跳到最高点,以及从最高点到入水这两段时间的运动状态有什么区别?
问题1:运动员从起点到最高点,离水面的高度h随时间t的增加而增加,即h(t)是增函数.相应地,v(t)=h'(t)的正负性是怎样的?
问题2:从最高点到入水,运动员离水面的高度h随时间t的增加而减少,即h(t)是减函数.相应地,v(t)=h'(t)的正负性是怎样的?
问题3:通过上述实际例子的分析,联想其他函数的单调性与其导数正负性的关系.
你能得到什么结论?
激趣诱思
知识点拨
一、函数的单调性与其导数的关系
在某个区间(a,b)上,如果f'(x)>0,那么函数y=f(x)在区间(a,b)上单调递增;在某个区间(a,b)上,如果f'(x)<0,那么函数y=f(x)在区间(a,b)上单调递减.
名师点析“在某区间内f'(x)>0(f'(x)<0)”是“函数f(x)在此区间上为增(减)函数”的充分条件,而不是必要条件.如果出现个别点使f'(x)=0,不会影响函数f(x)在包含该点的某个区间上的单调性.例如函数f(x)=x3,在定义域(-∞,+∞)上是增函数,但因为f'(x)=3x2,所以f'(0)=0,即并不是在定义域内的任意一点处都满足f'(x)>0.
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知识点拨
微练习
若定义域为R的函数f(x)的导数f'(x)=2x(x-1),则f(x)在区间　　　　上单调递增,在区间　　　　上单调递减.?
解析:由f'(x)>0得x>1,由f'(x)<0得x<1,所以f(x)在区间(1,+∞)内单调递增,在区间(-∞,1)内单调递减.
答案:(1,+∞)　(-∞,1)
微思考
如果函数f(x)在某个区间上恒有f'(x)=0,那么函数f(x)有什么特性?
提示:f(x)是常数函数.
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知识点拨
二、函数图象的变化趋势与导数的绝对值大小的关系
一般地,设函数y=f(x),在区间(a,b)上:
导数的绝对值
函数值变化
函数的图象
较大
较快
比较“陡峭”(向上或向下)
较小
较慢
比较“平缓”(向上或向下)
名师点析1.原函数的图象通常只看增(减)变化,而导函数的图象通常对应只看正(负)变化.
2.导数的绝对值大(小)对应着原函数图象的陡峭(平缓).弄清楚两个对应就能准确快速地分析函数图象的变化趋势与导数值大小的关系.
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知识点拨
微点拨
明确导数值与函数图象变化趋势的关系
1.在某一个区间上导数值为正,函数单调递增;导数值为负,函数单调递减.
2.函数图象越陡峭,导数的绝对值越大;函数图象越平缓,导数的绝对值越小.反之,亦成立.
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知识点拨
三、已知函数单调性求参数的取值范围
1.解题步骤:
2.注意事项:
一般地,要检验参数的取值能否使f'(x)恒等于0,若f'(x)恒等于0,则参数的这个值应舍去;若只有在个别点处有f'(x)=0,则由f'(x)≥0(或f'(x)≤0)恒成立解出的参数取值范围为最后解.
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知识点拨
3.解决该类问题常用的有关结论:
m≥f(x)恒成立?m≥f(x)max;
m≤f(x)恒成立?m≤f(x)min.
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知识点拨
微思考
(1)在区间(a,b)上,若f'(x)>0,则f(x)在此区间上单调递增,反之也成立吗?
(2)若函数f(x)为可导函数,且在区间(a,b)上是单调递增(或递减)函数,则f'(x)满足什么条件?
提示:(1)不一定成立.比如y=x3在R上为增函数,但其在x=0处的导数等于零.也就是说f'(x)>0是y=f(x)在某个区间上单调递增的充分不必要条件.
(2)f'(x)≥0(或f'(x)≤0).
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微练习
函数f(x)=x-sin x在(-∞,+∞)上是(　　)
A.增函数　　 B.减函数
C.先增后减 D.不确定
解析:∵f(x)=x-sin x,∴f'(x)=1-cos x≥0在(-∞,+∞)上恒成立,且使f'(x)=0的点是一列孤立的点,∴f(x)在(-∞,+∞)上是增函数.
答案:A
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四、解析式中含参数的函数单调区间的求法
函数解析式中含有参数时,讨论其单调性(或求其单调区间)问题,往往要转化为解含参数的不等式问题,这时应对所含参数进行适当的分类讨论,做到不重不漏,最后要将各种情况分别进行表述.
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微练习
求函数f(x)=- ax3+x2+1(a≤0)的单调区间.
解:①当a=0时,f(x)=x2+1,其单调递减区间为(-∞,0),单调递增区间为(0,+∞).
探究一
探究二
探究三
探究四
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函数与导函数图象间的关系
例1(1)设函数f(x)在定义域内可导,y=f(x)的图象如图所示,则导函数y=f'(x)的图象可能为(　　)
探究一
探究二
探究三
探究四
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(2)(2020天水第一中学高二期末)函数y=f(x)的导函数y=f'(x)的图象如图所示,则函数y=f(x)的图象可能是(　　)
探究一
探究二
探究三
探究四
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解析:(1)由函数的图象可知:当x<0时,函数单调递增,导数始终为正;当x>0时,函数先增后减再增,即导数先正再为0,再负,再为0,再正,对照选项,应选D.
(2)原函数先减再增,再减再增,且增区间与减区间的分界点情形只有选项D符合,故选D.
答案:(1)D　(2)D
反思感悟研究函数与导函数图象之间关系的方法
研究一个函数的图象与其导函数图象之间的关系时,注意抓住各自的关键要素.对于原函数,要注意其图象在哪个区间内单调递增,在哪个区间内单调递减;而对于导函数,则应注意其函数值在哪个区间内大于零,在哪个区间内小于零,并分析这些区间与原函数的单调区间是否一致.
探究一
探究二
探究三
探究四
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变式训练1(2020甘肃高二期末)已知函数y=xf'(x)的图象如图所示(其中f'(x)是函数f(x)的导函数),下面四个图象中,y=f(x)的图象大致是(　　)
探究一
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探究三
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解析:当x<-1时,xf'(x)<0,∴f'(x)>0.故f(x)在(-∞,-1)上为增函数;当-10,
∴f'(x)<0,故f(x)在(-1,0)上为减函数;
当0 当x>1时,xf'(x)>0,∴f'(x)>0,故y=f(x)在(1,+∞)上为增函数.故选C.
答案:C
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利用导数判断或证明函数的单调性
例2在下列函数中,在(0,+∞)内为增函数的是(　　)
A.y=cos x
B.y=xex
C.y=x3-x
D.y=ln x-x
解析:A中,y'=-sin x,当x>0时,y'的符号不确定;B中,y'=ex+xex=(x+1)ex,当x>0时,y'>0,故在(0,+∞)内为增函数;C中,y'=3x2-1,当x>0时,
y'>-1;D中,y'= -1,当x>0时,y'>-1,CD均不符合题意,故选B.
答案:B
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反思感悟运用导数研究函数单调性的方法
利用导数判断或证明函数的单调性时,一般是先确定函数的定义域,再求导数,最后判断导数在所给区间上的符号,从而确定函数的单调性.
探究一
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利用导数求函数的单调区间
角度1　不含参数的函数求单调区间
例3求下列函数的单调区间:
分析:根据利用导数求函数单调区间的步骤将问题转化为解不等式问题进行求解.
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反思感悟导数法求单调区间及注意事项
1.利用导数求函数单调区间的步骤:
(1)确定函数的定义域.
(2)求导数f'(x).
(3)在定义域内,解不等式f'(x)>0得到函数的单调递增区间,解不等式f'(x)<0得到函数的单调递减区间.
2.在利用导数求函数单调区间时,首先必须求出函数的定义域,然后在定义域的前提之下解不等式得到单调区间,单调区间是定义域的子集.
3.当一个函数的单调递增区间(或单调递减区间)有多个时,这些区间之间不能用并集符号“∪”连接,也不能用“或”连接,而只能用“,”或“和”连接.
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变式训练3求下列函数的单调区间:
(2)f(x)=ex-x.
解:(1)函数定义域为R,f'(x)=4-x2.
令f'(x)>0,即4-x2>0,解得-2 令f'(x)<0,即4-x2<0,解得x<-2或x>2.
故函数的单调递增区间是(-2,2),单调递减区间是(-∞,-2)和(2,+∞).
(2)函数定义域为R,f'(x)=ex-1.
令f'(x)>0,即ex-1>0,解得x>0;
令f'(x)<0,即ex-1<0,解得x<0.
故函数的单调递增区间是(0,+∞),单调递减区间是(-∞,0).
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角度2　含参数的函数的单调区间
例4讨论函数f(x)= ax2+x-(a+1)ln x(a≥0)的单调性.
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由f'(x)>0,得x>1,
由f'(x)<0,得0 f(x)在(0,1)内为减函数,在(1,+∞)内为增函数.
(2)当a>0时,
由f'(x)>0,得x>1,由f'(x)<0,得0 ∴f(x)在(0,1)内为减函数,在(1,+∞)内为增函数.
综上所述,当a≥0时,f(x)在(0,1)内为减函数,在(1,+∞)内为增函数.
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反思感悟求含参函数单调区间的方法
当函数解析式中含有参数时,求其单调区间问题往往就要转化为解含参数的不等式问题,这时应对所含参数进行分类讨论,做到不重不漏,最后要将各种情况综合表述.
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变式训练4设f(x)=ex-ax-2,求f(x)的单调区间.
解:f(x)的定义域为(-∞,+∞),f'(x)=ex-a.
若a≤0,则f'(x)>0,
所以f(x)在(-∞,+∞)上单调递增.
若a>0,则当x∈(-∞,ln a)时,f'(x)<0;
当x∈(ln a,+∞)时,f'(x)>0.
所以f(x)在(-∞,ln a)上单调递减,在(ln a,+∞)上单调递增.
综上所述,当a≤0时,函数f(x)在(-∞,+∞)上单调递增;
当a>0时,f(x)在(-∞,ln a)上单调递减,在(ln a,+∞)上单调递增.
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已知函数的单调性求参数的值或范围
例5已知函数f(x)=x3-ax-1为单调递增函数,求实数a的取值范围.
分析:f(x)单调递增→f'(x)≥0恒成立→分离参数求a的取值范围
解:由已知得f'(x)=3x2-a,
因为f(x)在(-∞,+∞)内是单调增函数,
所以f'(x)=3x2-a≥0在(-∞,+∞)内恒成立,
即a≤3x2对x∈R恒成立.
因为3x2≥0,所以只需a≤0.
又因为a=0时,f'(x)=3x2≥0,f(x)=x3-1在R上是增函数.所以实数a满足a≤0.
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反思感悟已知f(x)在区间(a,b)上的单调性,求参数范围的方法:
(1)利用集合的包含关系处理f(x)在(a,b)上单调递增(减)的问题,则区间(a,b)是相应单调区间的子集;
(2)利用不等式的恒成立处理f(x)在(a,b)上单调递增(减)的问题,则f'(x)≥0(f'(x)≤0)在(a,b)内恒成立,注意验证等号是否成立.
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延伸探究1若函数f(x)=x3-ax-1的单调减区间为(-1,1),求a的取值范围.
解:由f'(x)=3x2-a,
①当a≤0时,f'(x)≥0,
f(x)在(-∞,+∞)上为增函数.
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延伸探究2若函数f(x)=x3-ax-1在(-1,1)上单调递减,求a的取值范围.
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延伸探究3若函数f(x)=x3-ax-1在(-1,1)上不单调,求a的取值范围.
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利用导数证明不等式
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反思感悟利用导数证明不等式的常见形式与证明步骤
1.常见形式:
已知x∈(a,b),求证:u(x)>v(x).
2.证明步骤:
(1)将所给的不等式移项,构造函数f(x)=u(x)-v(x),转化为证明函数f(x)>0.
(2)在x∈(a,b)上,判断f'(x)的符号.
(3)若f'(x)>0,说明f(x)在区间(a,b)内是增函数,只需将所给的区间的左端点的值代入f(x),检验其值为零(或为正),即证得f(a)≥0即可;若f'(x)<0,说明f(x)在区间(a,b)内是减函数,只需将所给的区间的右端点的值代入f(x),检验其值为零(或为正),即证得f(b)≥0即可.
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1.设函数f(x)的图象如图所示,则导函数f'(x)的图象可能为(　　)
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解析:∵f(x)在(-∞,1),(4,+∞)上是减函数,在(1,4)上为增函数,
∴当x<1或x>4时,f'(x)<0;
当10.故选C.
答案:C
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2.下列函数中,在区间(-1,1)内是减函数的是(　　)
A.y=2-3x2 B.y=ln x
答案:C
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3.若函数f(x)=- x2+aln x在区间(1,+∞)上是减函数,则实数a的取值范围为(　　)
A.[1,+∞) B.(1,+∞)
C.(-∞,1) D.(-∞,1]
区间(1,+∞)上恒成立.
∴a≤x2在区间(1,+∞)上恒成立.
∵x2>1,∴a≤1.经检验,等号可取.
故选D.
答案:D
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4.函数y=2x+sin x的单调递增区间为　　　　.?
解析:∵函数定义域为R,且y'=2+cos x>0对于任何实数都成立,
∴函数的递增区间是(-∞,+∞).
答案:(-∞,+∞)
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若x∈(0,+∞),则f'(x)<0,
所以f(x)在(0,+∞)内是减函数.
综上可知,