人教A版（2019）高中数学选择性必修第二册 4.1 第2课时 数列的递推公式（22张PPT）
文档属性
| 名称 | 人教A版（2019）高中数学选择性必修第二册 4.1 第2课时 数列的递推公式（22张PPT） |  | |
| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 855.3KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2020-07-31 18:13:08 | ||
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文档简介
第2课时 数列的递推公式
激趣诱思
知识点拨
斐波那契,意大利著名数学家.保存至今的斐波那契著作有5部,其中影响最大的是1202年在意大利出版的《算盘全书》.《算盘全书》中有一个著名的兔子繁殖问题:如果一对兔子每月繁殖一对子兔(一雌一雄),而每一对子兔在出生后第三个月里又能生一对兔子.试问一对兔子50个月后会有多少对兔子?从第1个月开始,以后每个月的兔子总对数是1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,…,这就是著名的斐波那契数列.这个数列的规律是递推关系:Fn=Fn-1+Fn-2(n>2),其中Fn表示第n个月的兔子的总对数.那么什么是递推关系呢?
激趣诱思
知识点拨
一、递推公式
如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示,那么这个式子叫做这个数列的递推公式.
名师点析通项公式和递推公式的区别
通项公式直接反映了an与n之间的关系,即已知n的值,就可代入通项公式求得该项的值an;递推关系则是间接反映数列的式子,它是数列任意两个(或多个)相邻项之间的推导关系,要求an,需将与之联系的各项依次求出.
激趣诱思
知识点拨
微练习
设数列{an}满足a1=1,
激趣诱思
知识点拨
二、数列的通项与前n项和
1.数列{an}从第1项起到第n项止的各项之和,称为数列{an}的前n项和,记作Sn,即Sn=a1+a2+…+an.如果数列{an}的前n项和Sn与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示,那么这个式子叫做这个数列的前n项和公式.
名师点析(1)已知数列{an}的前n项和Sn,求an,一般使用公式
an=Sn-Sn-1(n≥2),但必须注意它成立的条件(n≥2且n∈N*).
(2)由Sn-Sn-1求得的an,若当n=1时,a1的值不等于S1的值,则数列的通项公式应采用分段表示,即
激趣诱思
知识点拨
微练习
已知数列{an}的前n项和Sn=n2+2,求数列{an}的通项公式.
解:a1=S1=1+2=3,①
而n≥2时,an=Sn-Sn-1=(n2+2)-[(n-1)2+2]=2n-1.②
在②中,当n=1时,2×1-1=1,故a1不适合②式.∴数列{an}的通项公式为
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
由递推公式求前若干项
分析:由a1的值和递推公式,分别逐一求出a2,a3,a4,a5的值.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
反思感悟由递推公式写出数列的项的方法
根据递推公式写出数列的前几项,要弄清楚公式中各部分的关系,依次代入计算即可.另外,解答这类问题时还需注意:若已知首项,通常将所给公式整理成用前面的项表示后面的项的形式;若已知末项,通常将所给公式整理成用后面的项表示前面的项的形式.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
变式训练1已知数列{an}满足an=4an-1+3,且a1=0,则此数列的第5项是( )
A.15 B.255 C.16 D.63
解析:因为a1=0,所以a2=4a1+3=3,a3=4a2+3=15,a4=4a3+3=63,a5=4a4+3=255.
答案:B
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
由递推公式求数列的通项公式
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
反思感悟由递推公式求通项公式常用的方法有两种:
(1)累加法:当an=an-1+f(n)时,常用an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)+a1求通项公式.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
由数列的前n项和求通项公式
例3若数列{an}的前n项和Sn=-2n2+10n,求数列{an}的通项公式.
解:∵Sn=-2n2+10n,
∴Sn-1=-2(n-1)2+10(n-1),
∴an=Sn-Sn-1=-2n2+10n+2(n-1)2-10(n-1)=-4n+12(n≥2).
当n=1时,a1=-2+10=8=-4×1+12.
此时满足an=-4n+12,∴an=12-4n.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
延伸探究试求本例中Sn的最大值.
又∵n∈N*,∴当n=2或n=3时,Sn最大,即S2或S3最大.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
函数思想在数列中的应用
典例在数列{an}中,an=3n2-14n-8,求该数列的最小项.
方法总结解决数列问题时,可以借鉴函数的方法,但必须注意数列相对函数的特殊性,尤其是数列中的项数n只能取正整数.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
答案:C
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
2.已知数列{an},an-1=man+1(n>1),且a2=3,a3=5,则实数m等于( )
A.0 B.
C.2 D.5
解析:由题意,得a2=ma3+1,
即3=5m+1,
答案:B
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
3.若数列{an}的通项公式为an=-2n2+25n,则数列{an}的各项中最大项是( )
A.第4项 B.第5项
C.第6项 D.第7项
答案:C
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
4.已知数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=n-5an+23,n∈N*,则数列{an}的通项公式an=( )
答案:C
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
5.求三角形数数列1,3,6,10,…的通项公式.
解:用{an}表示该数列,则a2-a1=2,a3-a2=3,a4-a3=4,…,an-an-1=n(n≥2).
以上各式两边分别相加,得an-a1=2+3+4+…+n.
∵a1=1,
激趣诱思
知识点拨
斐波那契,意大利著名数学家.保存至今的斐波那契著作有5部,其中影响最大的是1202年在意大利出版的《算盘全书》.《算盘全书》中有一个著名的兔子繁殖问题:如果一对兔子每月繁殖一对子兔(一雌一雄),而每一对子兔在出生后第三个月里又能生一对兔子.试问一对兔子50个月后会有多少对兔子?从第1个月开始,以后每个月的兔子总对数是1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,…,这就是著名的斐波那契数列.这个数列的规律是递推关系:Fn=Fn-1+Fn-2(n>2),其中Fn表示第n个月的兔子的总对数.那么什么是递推关系呢?
激趣诱思
知识点拨
一、递推公式
如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示,那么这个式子叫做这个数列的递推公式.
名师点析通项公式和递推公式的区别
通项公式直接反映了an与n之间的关系,即已知n的值,就可代入通项公式求得该项的值an;递推关系则是间接反映数列的式子,它是数列任意两个(或多个)相邻项之间的推导关系,要求an,需将与之联系的各项依次求出.
激趣诱思
知识点拨
微练习
设数列{an}满足a1=1,
激趣诱思
知识点拨
二、数列的通项与前n项和
1.数列{an}从第1项起到第n项止的各项之和,称为数列{an}的前n项和,记作Sn,即Sn=a1+a2+…+an.如果数列{an}的前n项和Sn与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示,那么这个式子叫做这个数列的前n项和公式.
名师点析(1)已知数列{an}的前n项和Sn,求an,一般使用公式
an=Sn-Sn-1(n≥2),但必须注意它成立的条件(n≥2且n∈N*).
(2)由Sn-Sn-1求得的an,若当n=1时,a1的值不等于S1的值,则数列的通项公式应采用分段表示,即
激趣诱思
知识点拨
微练习
已知数列{an}的前n项和Sn=n2+2,求数列{an}的通项公式.
解:a1=S1=1+2=3,①
而n≥2时,an=Sn-Sn-1=(n2+2)-[(n-1)2+2]=2n-1.②
在②中,当n=1时,2×1-1=1,故a1不适合②式.∴数列{an}的通项公式为
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
由递推公式求前若干项
分析:由a1的值和递推公式,分别逐一求出a2,a3,a4,a5的值.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
反思感悟由递推公式写出数列的项的方法
根据递推公式写出数列的前几项,要弄清楚公式中各部分的关系,依次代入计算即可.另外,解答这类问题时还需注意:若已知首项,通常将所给公式整理成用前面的项表示后面的项的形式;若已知末项,通常将所给公式整理成用后面的项表示前面的项的形式.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
变式训练1已知数列{an}满足an=4an-1+3,且a1=0,则此数列的第5项是( )
A.15 B.255 C.16 D.63
解析:因为a1=0,所以a2=4a1+3=3,a3=4a2+3=15,a4=4a3+3=63,a5=4a4+3=255.
答案:B
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
由递推公式求数列的通项公式
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
反思感悟由递推公式求通项公式常用的方法有两种:
(1)累加法:当an=an-1+f(n)时,常用an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)+a1求通项公式.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
由数列的前n项和求通项公式
例3若数列{an}的前n项和Sn=-2n2+10n,求数列{an}的通项公式.
解:∵Sn=-2n2+10n,
∴Sn-1=-2(n-1)2+10(n-1),
∴an=Sn-Sn-1=-2n2+10n+2(n-1)2-10(n-1)=-4n+12(n≥2).
当n=1时,a1=-2+10=8=-4×1+12.
此时满足an=-4n+12,∴an=12-4n.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
延伸探究试求本例中Sn的最大值.
又∵n∈N*,∴当n=2或n=3时,Sn最大,即S2或S3最大.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
函数思想在数列中的应用
典例在数列{an}中,an=3n2-14n-8,求该数列的最小项.
方法总结解决数列问题时,可以借鉴函数的方法,但必须注意数列相对函数的特殊性,尤其是数列中的项数n只能取正整数.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
答案:C
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
2.已知数列{an},an-1=man+1(n>1),且a2=3,a3=5,则实数m等于( )
A.0 B.
C.2 D.5
解析:由题意,得a2=ma3+1,
即3=5m+1,
答案:B
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
3.若数列{an}的通项公式为an=-2n2+25n,则数列{an}的各项中最大项是( )
A.第4项 B.第5项
C.第6项 D.第7项
答案:C
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
4.已知数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=n-5an+23,n∈N*,则数列{an}的通项公式an=( )
答案:C
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
5.求三角形数数列1,3,6,10,…的通项公式.
解:用{an}表示该数列,则a2-a1=2,a3-a2=3,a4-a3=4,…,an-an-1=n(n≥2).
以上各式两边分别相加,得an-a1=2+3+4+…+n.
∵a1=1,