人教A版（2019）高中数学选择性必修第二册 4.2.1　第1课时　等差数列的概念及通项公式（30张PPT）

4.2.1　等差数列的概念
第1课时　等差数列的概念及通项公式
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知识点拨
姚明是大家都熟悉的篮球运动员,下面是姚明刚进NBA一周训练时投球的个数:
第一天6 000,第二天6 500,第三天7 000,第四天7 500,第五天8 000,第六天8 500,第七天9 000.
得到数列:6 000,6 500,7 000,7 500,8 000,8 500,9 000.
你发现这个数列有什么特点了吗?
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知识点拨
一、等差数列
一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差都等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,公差通常用字母d表示.
名师点析等差数列概念的理解
(1)定义中强调“从第2项起”,因为第1项没有前一项.
(2)每一项与它的前一项的差必须是同一个常数(因为同一个常数体现了等差数列的基本特征).
(3)公差d是每一项(从第2项起)与它的前一项的差,不要把被减数与减数弄颠倒.
(4)公差可以是正数、负数、零.
(5)等差数列的增减性与公差d的关系:当d>0时,是递增数列;当d<0时,是递减数列;当d=0时,是常数列.
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知识点拨
微练习
判断下列各组数列是不是等差数列.如果是,写出首项a1和公差d.
①1,3,5,7,9,…;
②9,6,3,0,-3,…;
③1,3,4,5,6,…;
④7,7,7,7,7,…;
解:①是,a1=1,d=2;②是,a1=9,d=-3;③不是;④是,a1=7,d=0;⑤不是.
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二、等差中项
由三个数a,A,b组成的等差数列可以看成最简单的等差数列.这时,A叫做a与b的等差中项.这三个数满足关系式2A=a+b.
微练习
若a,b是方程x2-2x-3=0的两根,则a,b的等差中项为(　　)
答案:C
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知识点拨
三、等差数列的通项公式
首项为a1,公差为d的等差数列{an}的通项公式为an=a1+(n-1)d.
名师点析(1)等差数列的通项公式是关于三个基本量a1,d和n的表达式,所以由首项a1和公差d可以求出数列中的任意一项.
(2)等差数列的通项公式可以推广为an=am+(n-m)d,由此可知,已知等差数列中的任意两项,就可以求出其他的任意一项.
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知识点拨
微练习
(1)等差数列{an}:5,0,-5,-10,…的通项公式是　　　　　.?
(2)若等差数列{an}的通项公式是an=4n-1,则其公差d=　　　　　.?
解析:(1)易知a1=5,d=-5,所以an=5+(n-1)·(-5)=10-5n.
(2)公差d=an-an-1=(4n-1)-[4(n-1)-1]=4.
答案:(1)an=10-5n　(2)4
探究一
探究二
探究三
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等差数列的通项公式及其应用
例1(1)已知数列{an}是首项为2,公差为4的等差数列,若an=2 022,则n=(　　)
A.504 B.505
C.506 D.507
(2)在等差数列40,37,34,…中,第一个负数项是(　　)
A.第13项 B.第14项
C.第15项 D.第16项
(3)在等差数列{an}中,若a3=12,a6=27,则其通项公式为　　　　　.?
分析:(1)与(2)均可先求通项公式,再利用通项公式解决相应问题;(3)可根据已知条件建立关于a1和d的方程组,求得a1和d即可得到通项公式.
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解析:(1)根据题意,数列{an}是首项为2,公差为4的等差数列,则an=a1+(n-1)d=4n-2,若an=2 022,则有4n-2=2 022,解得n=506.
(2)首项a1=40,公差d=-3,
所以an=40-3(n-1)=43-3n.
答案:(1)C　(2)C　(3)an=5n-3
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反思感悟等差数列通项公式的求法与应用技巧
1.等差数列的通项公式可由首项与公差确定,所以要求等差数列的通项公式,只需求出首项与公差.
2.等差数列{an}的通项公式an=a1+(n-1)d中共含有四个参数,即a1,d,n,an,如果知道了其中的任意三个数,那么就可以由通项公式求出第四个数,这一求未知量的过程,我们通常称之为“知三求一”.
3.通项公式可变形为an=dn+(a1-d),可把an看作自变量为n的一次函数.
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变式训练1在等差数列{an}中,求解下列各题:
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等差中项及其应用
例2(1)若等差数列的前三项分别为a,2a-1,3-a,求其第2 020项;
(2)在-1和7之间插入三个数a,b,c,使这五个数成等差数列,求这三个数.
分析:(1)先根据条件求出通项公式,再代入求解;(2)先根据等差中项求出b,再依次利用等差中项求出a,c.
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反思感悟等差中项的应用策略
1.求两个数x,y的等差中项,根据等差中项的定义得
2.证明三项成等差数列,只需证明中间一项为两边两项的等差中项即可,即若a,b,c成等差数列,则a+c=2b;反之,若a+c=2b,则a,b,c成等差数列.
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等差数列的判断与证明
例3判断下列数列是否为等差数列.
(1)在数列{an}中,an=3n+2;
(2)在数列{an}中,an=n2+n.
分析:根据等差数列的定义,判断an+1-an是否为常数.
解:(1)an+1-an=3(n+1)+2-(3n+2)=3(n∈N*),故该数列为等差数列.
(2)an+1-an=(n+1)2+(n+1)-(n2+n)=2n+2,故该数列不是等差数列.
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反思感悟用定义法判定(或证明)数列{an}是等差数列的基本步骤为:
(1)作差an+1-an.
(2)对差式进行变形.
(3)当an+1-an是一个与n无关的常数时,数列{an}是等差数列;当an+1-an不是常数,而是与n有关的代数式时,数列{an}不是等差数列.
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变式训练3已知数列{an}中,a1=a2=1,an=an-1+2(n≥3).
(1)判断数列{an}是否为等差数列,并说明理由;
(2)求{an}的通项公式.
解:(1)当n≥3时,an=an-1+2,即an-an-1=2,
而a2-a1=0不满足an-an-1=2(n≥3),
∴{an}不是等差数列.
(2)当n≥2时,an是等差数列,公差为2.
当n≥2时,an=1+2(n-2)=2n-3,
又a1=1不适合上式,
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(1)求证:数列{bn}是等差数列;
(2)求数列{an}的通项公式.
分析:先用an表示bn+1,bn,再验证bn+1-bn为常数,最后可求出数列{an}的通项公式.
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反思感悟判断等差数列的方法
(1)定义法:an+1-an=d(n∈N*)或an-an-1=d(n≥2,且n∈N*)?数列{an}是等差数列.
(2)等差中项法:2an+1=an+an+2(n∈N*)?{an}为等差数列.
(3)通项公式法:数列{an}的通项公式an=pn+q(p,q为常数)?数列{an}为等差数列.
注意:(1)通项公式法不能作为证明方法.(2)若an+1-an为常数,则该常数为等差数列{an}的公差;若an+1-an=an-an-1(n≥2,且n∈N*)成立,则无法确定等差数列{an}的公差.(3)若数列的前有限项成等差数列,则该数列未必是等差数列;而要否定一个数列是等差数列,只要说明其中连续三项不成等差数列即可.
(4)已知数列的递推公式求数列的通项时,要通过对递推公式进行合理变形,构造出等差数列求通项.
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对称法设项
典例成等差数列的四个数之和为26,第2个数和第3个数之积为40,求这四个数.
方法点睛题中是已知四个数成等差数列,则采用“对称法”设项,这样可以减少计算量,因此要记住奇数个数或偶数个数成等差数列的“对称法设项”的方法,以达到快速求解的目的.
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1.已知数列{an}的通项公式an=2n+5,则此数列(　　)
A.是公差为2的等差数列
B.是公差为5的等差数列
C.是首项为5的等差数列
D.是公差为n的等差数列
解析:∵an+1-an=2(n+1)+5-(2n+5)=2,
∴数列{an}是公差为2的等差数列.
答案:A
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答案:D
3.在数列{an}中,a1=2,an+1=an+2,则a20=(　　)
A.38 B.40 C.-36 D.-38
解析:∵an+1=an+2,∴an+1-an=2,∴数列{an}是公差为2的等差数列.∵a1=2,∴a20=2+(20-1)×2=40.
答案:B
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4.若m和2n的等差中项为4,2m和n的等差中项为5,则m和n的等差中项为　　　　　.?
解析:由m和2n的等差中项为4,得m+2n=8.
又由2m和n的等差中项为5,得2m+n=10.
两式相加,得3m+3n=18,即m+n=6.
答案:3
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5.在等差数列{an}中,a1=23,公差d为整数,若a6>0,a7<0.
(1)求公差d的值;
(2)求通项an.
又公差d为整数,所以d=-4.
(2)因为等差数列{an}的首项为23,公差为-4,
所以通项an=23-4(n-1)=-4n+27.