人教A版（2019）高中数学选择性必修第二册 4.2.1　第2课时　等差数列的性质及应用（27张PPT）

第2课时　等差数列的性质及应用
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知识点拨
《九章算术》是我国古代的数学名著,书中有如下问题:“今有五人分五钱,令上二人所得与下三人等,问各得几何?”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱,甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同,且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列.问五人各得多少钱?”(“钱”是古代的一种质量单位)
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一、等差数列与一次函数的关系
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微练习
若{an}为等差数列,ap=q,aq=p(p≠q),则ap+q为(　　)
A.p+q　　　　　　B.0
C.-(p+q)
解析:设图象过点(p,q)和(q,p)的一次函数为y=kx+b,则
所以图象过点(p,q)和(q,p)的一次函数为y=-x+(p+q),由等差数列和一次函数的关系可知an=-n+(p+q),所以ap+q=-(p+q)+(p+q)=0.
答案:B
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二、等差数列的常用性质
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名师点析(1)等差数列{an}中,若m+n=2p,则am+an=2ap(m,n,p∈N*).
(2)等差数列{an}中,若m+n+t=p+q+r,则am+an+at=ap+aq+ar(m,n,t,p,q,r∈N*).
(3)等差数列{an}中,
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微练习
(1)判断正误.
①在等差数列的通项公式中,an是关于n的一次函数.(　　)
②在等差数列{an}中,若am+an=ap+aq,则m+n=p+q.(　　)
③等差数列去掉前面连续的若干项后,剩下的项仍构成等差数列.(　　)
④摆动数列不可能是等差数列.(　　)
⑤在等差数列{an}中,若m+n=p,则am+an=ap.(　　)
⑥在等差数列{an}中,若m+n+p=3t,则am+an+ap=3at.(　　)
答案:①×　②×　③√　④√　⑤×　⑥√
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(2)在等差数列{an}中,若a5=7,a9=19,则a2+a12=　　　　　,a7=　　　　　.?
解析:a2+a12=a5+a9=7+19=26.
因为a5+a9=2a7=26,所以a7=13.
答案:26　13
探究一
探究二
探究三
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等差数列性质的应用
例1(1)已知等差数列{an},a5=10,a15=25,求a25的值;
(2)已知等差数列{an},a3+a4+a5+a6+a7=70,求a1+a9的值;
(3)已知数列{an},{bn}都是等差数列,且a1=2,b1=-3,a7-b7=17,求a19-b19的值.
分析:利用等差数列的性质解决各个问题.
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探究二
探究三
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解:(1)(方法1)设{an}的公差为d,
(方法2)因为5+25=2×15,所以在等差数列{an}中有a5+a25=2a15,从而a25=2a15-a5=2×25-10=40.
(方法3)因为5,15,25成等差数列,所以a5,a15,a25也成等差数列,因此a25-a15=a15-a5,即a25-25=25-10,解得a25=40.
(2)由等差数列的性质,得a3+a7=a4+a6=2a5=a1+a9,所以a3+a4+a5+a6+a7=5a5=70,于是a5=14,故a1+a9=2a5=28.
(3)令cn=an-bn,因为{an},{bn}都是等差数列,所以{cn}也是等差数列,设其公差为d,由已知,得c1=a1-b1=5,c7=17,则5+6d=17,解得d=2,故a19-b19=c19=5+18×2=41.
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反思感悟求等差数列基本运算的两种方法
一是利用基本量运算,借助于a1,d建立方程组进行运算,这是最基本的方法;二是利用性质运算,运用等差数列的性质可简化计算,往往会有事半功倍的效果.
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延伸探究(1)已知数列{an}为等差数列,且a1+a6+a11=3,则a3+a9=　　　　　.?
(2)已知{an}为等差数列,a15=8,a60=20,则a75=　　　　　.?
解析:(1)因为数列{an}为等差数列,所以a1+a11=2a6,即3a6=3,解得a6=1,故a3+a9=2a6=2.
(2)因为{an}为等差数列,所以a15,a30,a45,a60,a75也成等差数列,设其公差为d,则a15为首项,a60为其第4项,所以a60=a15+3d,即20=8+3d,解得d=4,所以a75=a60+d=20+4=24.
答案:(1)2　(2)24
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等差数列的综合问题
例2(1)设{an}是公差为正数的等差数列,若a1+a2+a3=15,a1a2a3=80,求a11+a12+a13的值;
(2)已知四个数依次成等差数列,且是递增数列,这四个数的平方和为94,首尾两数之积比中间两数之积少18,求此等差数列.
分析:(1)利用等差数列的性质求解;(2)可设这四个数依次为a-3d,a-d,a+d,a+3d进行求解.
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解:(1)设{an}的公差为d,∵a1+a3=2a2,
∴a1+a2+a3=15=3a2,∴a2=5.
又a1a2a3=80,{an}是公差为正数的等差数列,
∴a1a3=(5-d)(5+d)=16,
解得d=3或d=-3(舍去),
∴a12=a2+10d=35,∴a11+a12+a13=3a12=105.
(2)设这四个数分别为a-3d,a-d,a+d,a+3d,则
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反思感悟三个数或四个数成等差数列时,设未知量的技巧如下:
(1)当等差数列{an}的项数n为奇数时,可先设中间一项为a,再用公差为d向两边分别设项:…,a-2d,a-d,a,a+d,a+2d,….
(2)当等差数列{an}的项数n为偶数时,可先设中间两项为a-d,a+d,再以公差为2d向两边分别设项:…,a-3d,a-d,a+d,a+3d,….这样可减少计算量.
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(2)已知三个数成等差数列,且数列是递增的,它们的和为18,平方和为116,求这三个数.
答案:A
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由①得a=6,代入②得d=±2.
∵该数列是递增的,∴d=-2舍去,∴d=2,∴这三个数分别为4,6,8.
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等差数列的实际应用
例3《九章算术》“竹九节”问题:现有一根9节的竹子,自上而下各节的容积成等差数列,最上面4节的容积共3升,最下面3节的容积共4升,则从上往下数,第5节的容积为(　　)
分析:设出等差数列的首项与公差,运用等差数列的知识解决.
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解析:设所构成的等差数列{an}的首项为a1,公差为d,则
答案:B
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反思感悟解决等差数列实际应用问题的步骤及注意点
1.解答数列实际应用问题的基本步骤:(1)审题,即仔细阅读材料,认真理解题意;(2)建模,即将已知条件翻译成数学(数列)语言,将实际问题转化成数学问题;(3)判型,即判断该数列是否为等差数列;(4)求解,即求出该问题的数学解;(5)还原,即将所求结果还原到实际问题中.
2.在利用数列方法解决实际问题时,一定要弄清首项、项数等关键问题.
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变式训练2第一届现代奥运会于1896年在希腊雅典举行,以后每4年举行一次,如因故不能举行,届数照算,那么2020年将在日本东京举行的奥运会是(　　)
A.第30届 B.第31届 C.第32届 D.第33届
解析:依题意知举行奥运会的年份构成以1 896为首项,4为公差的等差数列,通项公式为an=1 896+4(n-1),令2 020=1 896+4(n-1),解得n=32.
答案:C
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等差数列的探索性问题
(1)求证:数列{bn}为等差数列.
(2)设cn= ,试问数列{cn}中是否存在三项,它们可以构成等差数列?若存在,求出这三项;若不存在,说明理由.
分析:(1)证明(bn+1-bn)为常数;(2)假设存在三项成等差数列,利用等差中项的性质列式推出一个矛盾的结论.
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(2)解:假设数列{cn}中存在三项,它们可以构成等差数列.
不妨设为第p,r,q(p 由(1)得bn=n,∴cn=2n,
∴2·2r=2p+2q,∴2r+1-p=1+2q-p.
又2r+1-p为偶数,1+2q-p为奇数,
故不存在这样的三项,满足条件.
方法点睛判断三个数能不能成等差数列,可先假设所证三个数成等差数列,利用等差数列的性质列式,推出矛盾结论.
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1.已知等差数列{an},a7+a19=19,a5=1,则a21的值为(　　)
A.20 B.18 C.15 D.17
解析:因为a7+a19=a5+a21,所以19=1+a21,解得a21=18.
答案:B
2.已知数列{an},{bn}为等差数列,且公差分别为d1=2,d2=1,则数列{2an-3bn}的公差为(　　)
A.7 B.5 C.3 D.1
解析:2an+1-3bn+1-(2an-3bn)=2(an+1-an)-3(bn+1-bn)=2d1-3d2=4-3=1.
答案:D
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3.已知等差数列{an}的各项均为正数,a1=1,且a2+a6=a8.若p-q=10,则ap-aq=　　　　　.?
解析:设等差数列{an}的公差为d>0.
∵a1=1,且a2+a6=a8,∴2+6d=1+7d,解得d=1.若p-q=10,
则ap-aq=10d=10.
答案:10
4.已知直角三角形的三条边的长度成等差数列,则它们长度的比等于　　　　　.?
解析:设这个直角三角形的三边长分别为a-d,a,a+d,根据勾股定理,得(a-d)2+a2=(a+d)2,解得a=4d,于是这个直角三角形的三边长分别是3d,4d,5d,即这个直角三角形的三边长的比是3∶4∶5.
答案:3∶4∶5
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5.某公司2017年经销一种数码产品,获利200万元,从2018年起,预计其利润每年比上一年减少20万元.按照这一规律,如果公司不开发新产品,也不调整经营策略,从哪一年起,该公司经销这一产品将出现亏损?
解:记2017年为第1年,由题设可知第1年获利200万元,第2年获利180万元,第3年获利160万元,……,则每年获利构成等差数列{an},且当an<0时,该公司经销此产品将亏损.
设第n年的利润为an,因为a1=200,公差d=-20,
所以an=a1+(n-1)d=220-20n.
由题意知,数列{an}为递减数列,令an<0,即an=220-20n<0,解得n>11,即从第12年起,也就是从2028年开始,该公司经销此产品将出现亏损.