4.1　第1课时　数列的概念与简单表示-人教A版（2019）高中数学选择性必修第二册练习 （Word解析版）

第四章数列
4.1　数列的概念
第1课时　数列的概念与简单表示
课后篇巩固提升
基础达标练
1.(多选)下列四个选项中,不正确的是(　　)
A.数列,…的一个通项公式是an=
B.数列的图象是一群孤立的点
C.数列1,-1,1,-1,…与数列-1,1,-1,1,…是同一数列
D.数列,…,是递增数列
解析由通项公式知a1=,故A不正确;易知B正确;由于两数列中数的排列次序不同,因此不是同一数列,故C不正确;D中的数列为递减数列,所以D不正确.
答案ACD
2.已知数列-1,,-,…,(-1)n,…,它的第5项的值为(　　)
A.
B.-
C.
D.-
解析第5项为(-1)5×=-.
答案D
3.已知数列的通项公式an=则a2a3等于(　　)
A.70
B.28
C.20
D.8
解析由an=
得a2a3=2×10=20.故选C.
答案C
4.(多选)已知数列的通项公式为an=n2-8n+15,则3可以是(　　)
A.数列{an}中的第1项
B.数列{an}中的第2项
C.数列{an}中的第4项
D.数列{an}中的第6项
解析令n2-8n+15=3,解得n=2或n=6,因此3是数列{an}中的第2项和第6项,故选BD.
答案BD
5.下面四个数列中,既是无穷数列又是递增数列的是
(　　)
A.1,,…
B.sin,sin,sin,…
C.-1,-,-,-,…
D.1,,…,
解析A中数列是递减数列,B中数列不是单调数列,D中数列是有穷数列,C中数列符合条件.
答案C
6.数列0,1,0,-1,0,1,0,-1,…的一个通项公式是
(　　)
A.
B.cos
C.cos
D.cos
解析当n=1时,C不成立;当n=2时,B不成立;当n=4时,A不成立.故选D.
答案D
7.数列,…中,有序数对(a,b)可以是　　　　　.?
解析由已知,各项可写为,…,
可得a=3×5=15,b=24+2=26,故数对(a,b)为(15,26).
答案(15,26)
8.数列-1,1,-2,2,-3,3,…的一个通项公式为　　　　　.?
解析注意到数列的奇数项与偶数项的特点即可得an=
答案an=
9.写出以下各数列的一个通项公式.
(1)1,-,-,…;
(2)10,9,8,7,6,…;
(3)2,5,10,17,26,…;
(4),…;
(5)3,33,333,3
333,….
解(1)an=(-1)n+1;
(2)an=11-n;
(3)an=n2+1;
(4)an=;
(5)an=(10n-1).
10.已知数列{an},an=n2-pn+q,且a1=0,a2=-4.
(1)求a5.
(2)判断150是不是该数列中的项?若是,是第几项?
解(1)由已知,得
解得所以an=n2-7n+6,
所以a5=52-7×5+6=-4.
(2)令an=n2-7n+6=150,解得n=16(n=-9舍去),所以150是该数列中的项,并且是第16项.
能力提升练
1.(2019河南林州一中高二月考)已知数列,2,…,则2是这个数列的(　　)
A.第6项
B.第7项
C.第19项
D.第11项
解析数列可改写为,…,据此可得数列的通项公式为an=,
由=2,解得n=7,即2是这个数列的第7项.
答案B
2.数列,-,-,…的第10项是(　　)
A.-
B.-
C.-
D.-
解析由数列,-,-,…,
可知,奇数项的符号为正号,偶数项的符号为负号,
而分子为偶数2n(n为项数),分母比分子大1,
故可得到通项公式an=(-1)n+1·,
所以a10=(-1)11·=-.
答案C
3.(2019乌鲁木齐第四中学高二期中)数列2,5,11,20,x,47,…中的x等于(　　)
A.28
B.32
C.33
D.27
解析因为数列的前几项为2,5,11,20,x,47,
其中5-2=1×3,11-5=2×3,20-11=3×3,
可得x-20=4×3,解得x=32,故选B.
答案B
4.(2019河南高三月考)正整数数列按如下规律分组:(1),(2,3,4),(5,6,7,8,9),(10,11,12,13,14,15,16),…,则第100组的第100个数字是(　　)
A.10
301
B.10
100
C.9
901
D.9
704
解析由题意可知第n组的最后一个数是n2,
∴第100组的第100个数字是992+100=9
901.
答案C
5.(2019山西高二月考)将正整数排成下表:
1
2　3　4
5　6　7　8　9
10　11　12　13　14　15　16
…
则在表中数字2
019出现在(　　)
A.第44行第82列
B.第45行第82列
C.第44行第83列
D.第45行第83列
解析因为每行的最后一个数分别是1,4,9,16,…,
可归纳出第n行的最后一个数是n2,
因为442=1
936,452=2
025,
所以2
019出现在第45行,又2
019-1
936=83,
所以2
019出现在第45行第83列.
答案D
6.函数f(x)=x2-2x+n(n∈N
)的最小值记为an,设bn=f(an),则数列{an},{bn}的通项公式分别是an=　　　　　,bn=　　　　　.?
解析当x=1时,f(x)min=f(1)=1-2+n=n-1,
即an=n-1;
将x=n-1代入f(x)得,bn=f(n-1)=(n-1)2-2(n-1)+n=n2-3n+3.
答案n-1　n2-3n+3
7.已知数列{an}的通项公式为an=(n∈N
).
(1)0和1是不是数列{an}中的项?如果是,那么是第几项?
(2)数列{an}中是否存在连续且相等的两项?若存在,分别是第几项?
解(1)令an=0,得n2-21n=0,∴n=21或n=0(舍去),∴0是数列{an}中的第21项.令an=1,得=1,
而该方程无正整数解,∴1不是数列{an}中的项.
(2)假设存在连续且相等的两项是an,an+1,
则有an=an+1,即.
解得n=10,所以存在连续且相等的两项,它们分别是第10项和第11项.
素养培优练
在数列{an}中,an=.
(1)求数列的第7项;
(2)求证:此数列的各项都在区间(0,1)内;
(3)区间内有没有数列中的项?若有,有几项?
(1)解a7=.
(2)证明∵an==1-,
∴0(3)解令,则,
故n=1,即在区间内有且只有1项a1.
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