4.3.2　第1课时　等比数列的前n项和-人教A版（2019）高中数学选择性必修第二册练习 （Word解析版）

第四章数列
4.3　等比数列
4.3.2　等比数列的前n项和公式
第1课时　等比数列的前n项和
课后篇巩固提升
基础达标练
1.已知数列{an}的通项公式是an=2n,Sn是数列{an}的前n项和,则S10等于(　　)
A.10
B.210
C.a10-2
D.211-2
解析∵=2,∴数列{an}是公比为2的等比数列,且a1=2.∴S10==211-2.
答案D
2.在等比数列{an}中,a2=9,a5=243,则{an}的前4项和为
(　　)
A.81
B.120
C.168
D.192
解析因为=27=q3,所以q=3,a1==3,S4==120.
答案B
3.已知等比数列{an}的前n项和为Sn,且a1+a3=,a2+a4=,则=(　　)
A.4n-1
B.4n-1
C.2n-1
D.2n-1
解析设公比为q,则q=,
于是a1+a1=,因此a1=2,于是Sn==4,而an=2,于是=2n-1.
答案D
4.在14与之间插入n个数组成一个等比数列,若各项总和为,则此数列的项数为(　　)
A.4
B.5
C.6
D.7
解析设a1=14,an+2=,则Sn+2=,
解得q=-.所以an+2=14·,
解得n=3.故该数列共5项.
答案B
5.(多选)(2020山东高二期末)已知数列{an}满足a1=1,an+1=(n∈N
),则下列结论正确的有(　　)
A.为等比数列
B.{an}的通项公式为an=
C.{an}为递增数列
D.的前n项和Tn=2n+2-3n-4
解析因为+3,
所以+3=2,又+3=4≠0,
所以是以4为首项,2为公比的等比数列,+3=4×2n-1,即an=,{an}为递减数列,的前n项和Tn=(22-3)+(23-3)+…+(2n+1-3)=2(21+22+…+2n)-3n=2×-3n=2n+2-3n-4.故选ABD.
答案ABD
6.对于等比数列{an},若a1=5,q=2,Sn=35,则an=　　　　　.?
解析由Sn=,得an==20.
答案20
7.在等比数列{an}中,设前n项和为Sn,若a3=2S2+1,a4=2S3+1,则公比q=　　　　.?
解析因为a3=2S2+1,a4=2S3+1,两式相减,得a4-a3=2a3,即a4=3a3,所以q==3.
答案3
8.已知等比数列{an}是递减数列,Sn是{an}的前n项和,若a1,a2是方程2x2-3x+1=0的两个根,则公比q=　　　　　,S5=　　　　　.?
解析∵a1,a2是方程2x2-3x+1=0的两根,且等比数列{an}是递减数列,∴a1=1,a2=,则公比q=,
∴S5=.
答案
9.已知等比数列{an}满足a3=12,a8=,记其前n项和为Sn.
(1)求数列{an}的通项公式an;
(2)若Sn=93,求n.
解(1)设等比数列{an}的公比为q,
则解得
所以an=a1qn-1=48·.
(2)Sn==96.
由Sn=93,得961-=93,解得n=5.
10.已知等差数列{an}的首项为a,公差为b,方程ax2-3x+2=0的解为1和b(b≠1).
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)若数列{an}满足bn=an·2n,求数列{bn}的前n项和Tn.
解(1)因为方程ax2-3x+2=0的两根为x1=1,x2=b,
可得解得所以an=2n-1.
(2)由(1)得bn=(2n-1)·2n,
所以Tn=b1+b2+…+bn=1×2+3×22+…+(2n-1)·2n,
①
2Tn=1×22+3×23+…+(2n-3)·2n+(2n-1)·2n+1,
②
由①-②,得-Tn=1×2+2×22+2×23+…+2·2n-(2n-1)·2n+1=2(2+22+23+…+2n)-(2n-1)·2n+1-2=2·-(2n-1)·2n+1-2=(3-2n)·2n+1-6.所以Tn=(2n-3)·2n+1+6.
能力提升练
1.等比数列{an}的前n项和为Sn,若S2n=3(a1+a3+…+a2n-1),a1a2a3=8,则Sn=(　　)
A.2n-1
B.2n-1-1
C.2n+1-1
D.2n+1
解析显然q≠1,由已知,得=3×,
整理,得q=2.因为a1a2a3=8,所以=8,
所以a2=2,从而a1=1.于是Sn==2n-1.
答案A
2.(多选)(2020江苏启东中学高二开学考试)已知数列{an}的前n项和为Sn,Sn=2an-2,若存在两项am,an,使得aman=64,则(　　)
A.数列{an}为等差数列
B.数列{an}为等比数列
C.+…+
D.m+n为定值
解析由题意,当n=1时,S1=2a1-2,解得a1=2,
当n≥2时,Sn-1=2an-1-2,所以Sn-Sn-1=an=2an-2-(2an-1-2)=2an-2an-1,
所以=2,所以数列{an}是以首项a1=2,公比q=2的等比数列,an=2n,故选项A错误,选项B正确;
数列{}是以首项=4,公比q1=4的等比数列,
所以+…+,故选项C错误;
aman=2m2n=2m+n=64=26,所以m+n=6为定值,故选项D正确.
故选BD.
答案BD
3.在等比数列{an}中,a1+a2+…+a5=27,+…+=3,则a3=(　　)
A.±9
B.9
C.±3
D.3
解析设公比为q,则由已知可得
两式相除,得q4=9,即=9,所以a3=±3.
答案C
4.若等比数列{an}的前n项和为Sn,且S1,S3,S2成等差数列,则{an}的公比q=　　　　.?
解析由题意,得a1+(a1+a1q)=2(a1+a1q+a1q2),又a1≠0,q≠0,故q=-.
答案-
5.1++…+=　　　　.?
解析设Sn=1++…+,
则Sn=+…+,两式相减,得Sn=1++…+.
所以Sn=3-.
答案3-
6.若等比数列{an}的前n项和为Sn,且S3+S6=2S9,则公比q等于　　　　　.?
解析若q=1,S3+S6=3a1+6a1=9a1≠2S9.
∴q≠1,∴,
即
2q9-q6-q3=0,∴q3(2q6-q3-1)=0.
∵q≠0,∴2q6-q3-1=0,∴(q3-1)(2q3+1)=0,
∴q3=-或q3=1(舍),∴q=-.
答案-
7.(2019全国Ⅱ,文18)已知{an}是各项均为正数的等比数列,a1=2,a3=2a2+16.
(1)求{an}的通项公式;
(2)设bn=log2an.求数列{bn}的前n项和.
解(1)设{an}的公比为q,由题设得2q2=4q+16,
即q2-2q-8=0,解得q=-2(舍去)或q=4.
因此{an}的通项公式为an=2×4n-1=22n-1.
(2)由(1)得bn=(2n-1)log22=2n-1,因此数列{bn}的前n项和为1+3+…+2n-1=n2.
8.已知数列{an}的前n项和Sn=an+n2-1,数列{bn}满足3n·bn+1=(n+1)an+1-nan,且b1=3.
(1)求an,bn;
(2)设Tn为数列{bn}的前n项和,求Tn.
解(1)当n≥2时,Sn=an+n2-1,Sn-1=an-1+(n-1)2-1,两式相减,得an=an-an-1+2n-1,∴an-1=2n-1.∴an=2n+1.
∴3n·bn+1=(n+1)(2n+3)-n(2n+1)=4n+3.
∴bn+1=,∴当n≥2时,bn=.
又b1=3适合上式,∴bn=.
(2)由(1)知bn=,
∴Tn=+…+,①
Tn=+…+,②
①-②,得Tn=3++…+
=3+4·=5-.
∴Tn=.
素养培优练
设数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,an+1=2Sn+1.
(1)求证:数列{an}为等比数列;
(2)求数列{log3an}的前n项和Tn.
(1)证明∵2Sn=an+1-1,∴2a1=a2-1.
又∵a1=1,∴a2=3.
当n≥2时,∵2Sn=an+1-1,
∴2Sn-1=an-1,
两式相减,得2an=an+1-an,即an+1=3an,
∴=3(n≥2).又∵a1=1,∴a2=3.所以=3,
∴{an}是以1为首项,3为公比的等比数列.
(2)解由(1)知{an}是以1为首项,3为公比的等比数列,∴an=3n-1(n∈N
),所以log3an=log33n-1=n-1,
所以Tn=1+2+…+(n-1)=.
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