5.3.2　第1课时　函数的极值-人教A版（2019）高中数学选择性必修第二册练习（Word解析版）

第五章一元函数的导数及其应用
5.3　导数在研究函数中的应用
5.3.2　函数的极值与最大(小)值
第1课时　函数的极值
课后篇巩固提升
基础达标练
1.(2020福建高二期末)定义在区间-,4上的函数f(x)的导函数f'(x)图象如图所示,则下列结论不正确的是(　　)
A.函数f(x)在区间(0,4)单调递增
B.函数f(x)在区间-,0单调递减
C.函数f(x)在x=1处取得极大值
D.函数f(x)在x=0处取得极小值
解析根据导函数图象可知,f(x)在区间(-∞,0)上,f'(x)<0,f(x)单调递减,在区间(0,+∞)上,f
'(x)>0,f(x)单调递增.所以f(x)在x=0处取得极小值,没有极大值.所以选项A,B,D正确,选项C错误.
答案C
2.函数y=2x2-ln
x的极值点为(　　)
A.0,,-
B.,-
C.
D.-
解析y'=4x-,令y'=4x-=0,可得x=x=-舍去,所以极值点为.
答案C
3.函数f(x)=x3-ax2-bx+a2在x=1时有极值10,则实数a,b的值为(　　)
A.a=3,b=-3或a=-4,b=11
B.a=-4,b=2或a=-4,b=11
C.a=-4,b=11
D.以上都不对
解析f'(x)=3x2-2ax-b,f'(1)=0,即2a+b=3①,f(1)=a2-a-b+1=10,即a2-a-b=9②,解由①②组成的方程组,得a=-4,b=11(有极值)或a=3,b=-3(无极值,舍去).
答案C
4.(2019广东高二期末)已知x=是函数f(x)=xln(ax)+1的极值点,则a=(　　)
A.
B.1
C.
D.2
解析f'(x)=ln(ax)+1,由f'=0,得a=1.
又f'(x)=ln
x+1,当x>时,f'(x)>0;
当0答案B
5.(多选)(2020江苏镇江中学高二期末)如图是函数y=f(x)的导函数的图象,对于下列四个判断,其中正确的是
(　　)
A.f(x)在[-2,-1]上是增函数
B.当x=-1时,f(x)取得极小值
C.f(x)在(-1,2)上是增函数,在(2,4)上是减函数
D.当x=3时,f(x)取得极小值
解析根据图象知当x∈(-2,-1)或x∈(2,4)时,f'(x)<0,函数单调递减;
当x∈(-1,2)或x∈(4,+∞)时,f'(x)>0,函数单调递增.
故A错误;故当x=-1时,f(x)取得极小值,B正确;C正确;
当x=3时,f(x)不取得极值,D错误.故选BC.
答案BC
6.已知曲线f(x)=x3+ax2+bx+1在点(1,f(1))处的切线斜率为3,且x=是y=f(x)的极值点,则a+b=　　　　　.?
解析∵f'(x)=3x2+2ax+b,
∴即
解得a=2,b=-4,∴a+b=2-4=-2.
答案-2
7.设a∈R,若函数y=ex+ax(x∈R)有大于零的极值点,则a的取值范围为　　　　　.?
解析∵y=ex+ax,∴y'=ex+a.
当a≥0时,y'>0,函数y=ex+ax在R上单调递增,没有极值点.当a<0时,令y'=ex+a=0,则ex=-a,
即x=ln(-a).当x∈(-∞,ln(-a))时,y'<0,当x∈(ln(-a),+∞)时,y'>0,故x=ln(-a)是函数的极值点,又ln(-a)>0,∴-a>1,即a<-1.
答案(-∞,-1)
8.已知f(x)=ax3+bx2+cx(a≠0)在x=±1处取得极值,且f(1)=-1.
(1)试求常数a,b,c的值;
(2)试判断x=±1是函数的极大值点还是极小值点,并说明理由.
解f'(x)=3ax2+2bx+c,
(1)方法一:∵x=±1是函数的极值点,
∴x=±1是方程3ax2+2bx+c=0的两根.
由根与系数的关系知
又f(1)=-1,即a+b+c=-1,③
由①②③解得a=,b=0,c=-.
方法二:由f'(1)=f'(-1)=0,得3a+2b+c=0,①
3a-2b+c=0,②
又f(1)=-1,即a+b+c=-1,③
由①②③解得a=,b=0,c=-.
(2)f(x)=x3-x,
∴f'(x)=x2-(x-1)(x+1).
当x<-1或x>1时,f'(x)>0,
当-1∴函数f(x)在(-∞,-1)和(1,+∞)上是增函数,
在(-1,1)上是减函数.
∴当x=-1时,函数取得极大值,-1为极大值点;当x=1时,函数取得极小值,1为极小值点.
能力提升练
1.(2019天津高三)已知a>0且a≠1,则函数f(x)=(x-a)2ln
x(　　)
A.有极大值,无极小值
B.有极小值,无极大值
C.既有极大值,又有极小值
D.既无极大值,又无极小值
解析∵f'(x)=2(x-a)ln
x+(x-a)2·=(x-a)2ln
x+,又g(x)=2ln
x+在(0,+∞)上单调递增,x→0,g(x)→-∞;x→+∞,g(x)→+∞,所以g(x)=2ln
x+在(0,+∞)上有且仅有一个零点,设为x0,因为a≠1,则x0≠a,所以导函数f'(x)有两个不同零点,因此函数既有极大值,又有极小值.故选C.
答案C
2.设函数f(x)在R上可导,其导函数为f'(x),且函数y=(1-x)·f'(x)的图象如图所示,则下列结论中一定成立的是(　　)
A.函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)
B.函数f(x)有极大值f(-2)和极小值f(1)
C.函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(-2)
D.函数f(x)有极大值f(-2)和极小值f(2)
解析由题图可知,当x<-2时,f'(x)>0;当-22时,f'(x)>0.由此可以得到函数在x=-2处取得极大值,在x=2处取得极小值.
答案D
3.已知函数f(x)=x3+ax2+bx-a2-7a在x=1处取得极大值10,则的值为(　　)
A.-
B.-2
C.-2或-
D.不存在
解析∵f'(x)=3x2+2ax+b且f(x)在x=1处取得极大值10,
∴f'(1)=3+2a+b=0,f(1)=1+a+b-a2-7a=10,∴a2+8a+12=0,∴a=-2,b=1或a=-6,b=9.
当a=-2,b=1时,f'(x)=3x2-4x+1=(3x-1)(x-1).
当1时,f'(x)>0,
∴f(x)在x=1处取得极小值,与题意不符.
当a=-6,b=9时,f'(x)=3x2-12x+9=3(x-1)(x-3);
当x<1时,f'(x)>0,当1∴f(x)在x=1处取得极大值,符合题意;
∴=-=-.
答案A
4.(多选)(2020山东高三期末)已知函数f(x)=x+sin
x-xcos
x的定义域为[-2π,2π),则(　　)
A.f(x)为奇函数
B.f(x)在[0,π)上单调递增
C.f(x)恰有4个极大值点
D.f(x)有且仅有4个极值点
解析∵f(x)的定义域为[-2π,2π),
∴f(x)是非奇非偶函数,
∵f(x)=x+sin
x-xcos
x,
∴f'(x)=1+cos
x-(cos
x-xsin
x)=1+xsin
x,
当x∈[0,π)时,f'(x)>0,
则f(x)在[0,π)上单调递增.
显然f'(0)≠0,令f'(x)=0,得sin
x=-,
分别作出y=sin
x,y=-在区间[-2π,2π)上的图象,
由图可知,这两个函数的图象在区间[-2π,2π)上共有4个公共点,且两图象在这些公共点上都不相切,故f(x)在区间[-2π,2π)上的极值点的个数为4,且f(x)只有2个极大值点.故选BD.
答案BD
5.若直线y=a与函数f(x)=x3-3x的图象有相异的三个公共点,则a的取值范围是　　　　　.?
解析令f'(x)=3x2-3=0,得x=±1,则极大值为f(-1)=2,极小值为f(1)=-2.如图,观察图象可知当-2答案(-2,2)
6.若函数f(x)=x3+x2-ax-4在区间(-1,1)上恰有一个极值点,则实数a的取值范围为　　　　　,若恰有两个极值点,则实数a的取值范围是　　　　.?
解析∵f'(x)=3x2+2x-a,
函数f(x)在区间(-1,1)上恰有一个极值点,
即f'(x)=0在(-1,1)内恰有一个根.
又函数f'(x)=3x2+2x-a的对称轴为x=-,
∴应满足∴1≤a<5.
若在(-1,1)内恰有两个极值点,
则应满足
∴∴-答案[1,5)　-,1
7.设f(x)=2x3+ax2+bx+1的导数为f'(x),若函数y=f'(x)的图象关于直线x=-对称,且f'(1)=0.
(1)求实数a,b的值;
(2)求函数f(x)的极值.
解(1)因为f(x)=2x3+ax2+bx+1,
所以f'(x)=6x2+2ax+b.
从而f'(x)=6+b-,
即y=f'(x)的图象关于直线x=-对称,从而由题设条件知-=-,解得a=3.
又因为f'(1)=0,即6+2a+b=0,解得b=-12.
所以,实数a,b的值分别为3,-12.
(2)由(1)知f(x)=2x3+3x2-12x+1,f'(x)=6x2+6x-12=6(x-1)(x+2).
令f'(x)=0,即6(x-1)(x+2)=0.
解得x1=-2,x2=1.
当x∈(-∞,-2)时,f'(x)>0,故f(x)在(-∞,-2)内为增函数;
当x∈(-2,1)时,f'(x)<0,故f(x)在(-2,1)内为减函数;
当x∈(1,+∞)时,f'(x)>0,故f(x)在(1,+∞)内为增函数;
从而函数f(x)在x1=-2处取得极大值f(-2)=21,在x2=1处取得极小值f(1)=-6.
素养培优练
　(2020湖南高二期末)对于函数f(x)=2sin
x-x,x∈[0,π],下列说法正确的有(　　)
①f(x)在x=处取得极大值;
②f(x)有两个不同的零点;
③f(π)④f(x)在[0,π]上是单调函数.
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
解析∵f'(x)=2cos
x-1,
∴当x∈0,时,f'(x)>0;当x∈,π时,f'(x)<0,∴f(x)在0,上单调递增,在,π上单调递减,④错误;
∴f(x)在x=处取得极大值,f=2sin,①正确;
∵f(π)=-π,∴f·f(π)<0,
∴f(x)在,π必有一个零点,
又f(0)=0,即x=0为f(x)的一个零点,f(x)在0,无零点,∴f(x)恰有两个不同的零点,②正确;
∵f=2sin=2-,
f=2sin=1-,
∴f-f=2--1+=1-<0,
∴f又f(x)在,π上单调递减,∴f(π)∴f(π)则正确的命题为①②③,故选C.
答案C
7