5.2.3　简单复合函数的导数-人教A版（2019）高中数学选择性必修第二册练习（Word解析版）

第五章一元函数的导数及其应用
5.2　导数的运算
5.2.3　简单复合函数的导数
课后篇巩固提升
基础达标练
1.下列函数不是复合函数的是(　　)
A.y=-x3-+1
B.y=cosx+
C.y=
D.y=(2x+3)4
解析A不是复合函数,B、C、D均是复合函数,其中B是由y=cos
u,u=x+复合而成;C是由y=,u=ln
x复合而成;D是由y=u4,u=2x+3复合而成.
答案A
2.(2020安徽高二期末)函数f(x)=sin2x的导数是
(　　)
A.2sin
x
B.2sin2x
C.2cos
x
D.sin
2x
解析将y=sin2x写成y=u2,u=sin
x的形式.对外函数求导为y'=2u,对内函数求导为u'=cos
x,故可以得到y=sin2x的导数为y'=2ucos
x=2sin
xcos
x=sin
2x,故选D.
答案D
3.(2020福建高二期末)已知函数f(x)=,则f'(x)=(　　)
A.
B.
C.
D.
解析因为f(x)=,故f'(x)=,故选C.
答案C
4.(2020山东高三期末)已知直线y=x+1与曲线y=ln(x+a)相切,则a的值为(　　)
A.1
B.2
C.-1
D.-2
解析设切点坐标是(x0,x0+1),依题意有由此得x0+1=0,x0=-1,a=2.
答案B
5.(多选)设函数f(x)=cos(x+φ)(0<φ<2π),若f(x)+f'(x)是奇函数,则φ的可能取值为(　　)
A.
B.
C.
D.
解析f'(x)=-sin(x+φ),f(x)+f'(x)=cos(x+φ)-sin(x+φ)=2sinx+φ+.
若f(x)+f'(x)为奇函数,则f(0)+f'(0)=0,
即0=2sinφ+,
因此φ+=kπ(k∈Z).
又因为φ∈(0,2π),所以φ=或φ=.
答案AC
6.(2020海南中学高二期末)设函数f(x)在(0,+∞)内可导,其导函数为f'(x),且f(ln
x)在x=e处的导数为,则f'(1)=　　　　.?
解析设g(x)=f(ln
x),由复合函数的求导法则可得g'(x)=f'(ln
x).
由题意可得g'(e)=f'(1)=,解得f'(1)=.故答案为.
答案
7.若曲线y=xln
x上点P处的切线平行于直线2x-y+1=0,则点P的坐标是　　　　　,切线方程为　　　　　　.?
解析设P(x0,y0).∵y=xln
x,∴y'=ln
x+x·=1+ln
x.∴k=1+ln
x0.又k=2,∴1+ln
x0=2,∴x0=e.∴y0=eln
e=e.∴点P的坐标是(e,e).故切线方程为y-e=2(x-e),即2x-y-e=0.
答案(e,e)　2x-y-e=0
8.(2020江苏高三开学考试)已知函数f(x)=mln
x图象与函数g(x)=2图象在交点处切线方程相同,则m的值为　　　　.?
解析设函数f(x)和g(x)的交点为(x0,y0),
则由f(x)=mln
x,得f'(x)=,
∴f(x)在(x0,y0)处的切线方程的斜率k1=,
同理,函数g(x)在(x0,y0)处的切线方程的斜率k2=,
∵f(x)和g(x)在交点处切线方程相同,
∴k1=k2,即,①
又y0=f(x0)=mln
x0,②
y0=g(x0)=2,③
由①②③解得,m=e.
答案e
9.求下列函数的导数.
(1)y=e2x+1;(2)y=;(3)y=5log2(1-x);
(4)y=sin3x+sin
3x.
解(1)函数y=e2x+1可看作函数y=eu和u=2x+1的复合函数,∴yx'=yu'·ux'=(eu)'(2x+1)'=2eu=2e2x+1.
(2)函数y=可看作函数y=u-3和u=2x-1的复合函数,∴yx'=yu'·ux'=(u-3)'(2x-1)'=-6u-4=-6(2x-1)-4=-.
(3)函数y=5log2(1-x)可看作函数y=5log2u和u=1-x的复合函数,∴yx'=yu'·ux'=(5log2u)'·(1-x)'=.
(4)函数y=sin3x可看作函数y=u3和u=sin
x的复合函数,函数y=sin
3x可看作函数y=sin
v和v=3x的复合函数.
∴yx'=(u3)'·(sin
x)'+(sin
v)'·(3x)'=3u2·cos
x+3cos
v=3sin2xcos
x+3cos
3x.
能力提升练
1.
曲线y=e-2x+1在点(0,2)处的切线与直线y=0和y=x围成的三角形的面积为(　　)
A.
B.
C.
D.1
解析依题意得y'=e-2x·(-2)=-2e-2x,y'x=0=-2e-2×0=-2.
曲线y=e-2x+1在点(0,2)处的切线方程是y-2=-2x,即y=-2x+2.在坐标系中作出直线y=-2x+2、y=0与y=x的图象,因为直线y=-2x+2与y=x的交点坐标是,直线y=-2x+2与x轴的交点坐标是(1,0),结合图象可得,这三条直线所围成的三角形的面积等于×1×.
答案A
2.已知点P在曲线y=上,α为曲线在点P处的切线的倾斜角,则α的取值范围是(　　)
A.0,
B.
C.
D.,π
解析因为y=,所以y'=.因为ex>0,所以ex+≥2,所以y'∈[-1,0),所以tan
α∈[-1,0).又因为α∈[0,π),所以α∈,π.
答案D
3.(多选)(2020江苏镇江中学高二期末改编)直线y=x+b能作为下列(　　)函数的图象的切线.
A.f(x)=
B.f(x)=x4
C.f(x)=sin
D.f(x)=ex
解析由f(x)=,得f'(x)=-,无解,故A排除;
由f(x)=x4,得f'(x)=4x3=,故x=,即曲线在点的切线为y=x-,B正确;
由f(x)=sin
,得f'(x)=cos
,取x=2kπ,k∈Z,当k=0时,x=0,故曲线在点(0,0)的切线为y=x,C正确;由f(x)=ex,得f'(x)=ex=,故x=-ln
2,曲线在点-ln
2,的切线为y=x+ln
2+,D正确,故选BCD.
答案BCD
4.曲线y=sin
2x在点(0,0)处的切线方程为　　　　　.?
解析∵y=f(x)=sin
2x,∴f'(x)=2cos
2x.
当x=0时,f'(0)=2,得切线的斜率为2,
所以k=2.
所以曲线在点(0,0)处的切线方程为y-0=2(x-0),即y=2x.故答案为2x-y=0.
答案2x-y=0
5.函数y=ln在x=0处的导数为　　　　　.?
解析y=ln=ln
ex-ln(1+ex)=x-ln(1+ex),则y'=1-.当x=0时,y'=1-.
答案
6.已知f(x)为偶函数,当x<0时,f(x)=ln(-x)+3x,则x>0时,f(x)的解析式为　　　　,曲线y=f(x)在点(1,-3)处的切线方程是　　　　　.?
解析设x>0,则-x<0,f(-x)=ln
x-3x,又f(x)为偶函数,所以f(x)=ln
x-3x(x>0).当x>0时,f'(x)=-3,f'(1)=-2,切线方程为y=-2x-1.
答案f(x)=ln
x-3x　y=-2x-1
7.(1)已知f(x)=eπxsin
πx,求f'(x)及f';
(2)在曲线y=上求一点,使过该点的切线平行于x轴,并求切线方程.
解(1)∵f(x)=eπxsin
πx,
∴f'(x)=πeπxsin
πx+πeπxcos
πx=πeπx(sin
πx+cos
πx).
∴f'=πsin
+cos
=π.
(2)设切点的坐标为P(x0,y0),
由题意可知y'=0.又y'=,
∴y'=0.
解得x0=0,此时y0=1.即该点的坐标为(0,1),切线方程为y-1=0.
素养培优练
　用导数的方法求和:1+2x+3x2+4x3+…+2
021x2
020(x≠0,且x≠1).
解设f(x)=1+2x+3x2+4x3+…+2
021x2
020,g(x)=x+x2+x3+x4+…+x2
021,则有f(x)=g'(x).
而由等比数列求和公式可得g(x)=,于是f(x)=g'(x)='
=
=,
即1+2x+3x2+4x3+…+2
021x2
020
=.
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