【初高中衔接】专题03二次根式-走进新高一之2020年暑假初升高数学完美衔接课(解析版)

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二次根式
二次根式的定义：一般地，形如 的式子叫做二次根式 .
二次根式的性质
（ 1） ；
（ 2） ；
（ 3） ；
（ 4） ；
（ 5） .
无理式的定义：根号下含有字母的式子并且开不尽方的根式叫做无理式，如 是无理式，而 不是无理式 .
分母有理化：把分母中的根号化去，叫做分母有理化。
方法：分子、分母同时乘分母的有理化因式，或通过约分的方法达到分母有理化的目的 .
有理化因式：两个含有根式的代数式相乘，如果它们的积不含根式，那么这两个代数式叫做互为有理化因式，常用的有理化因式有：
） 与 ；
） 与 ；
） 与 .
分子有理化：把分子中的根号化去，叫做分母有理化 .
方法：分子、分母同时乘分子的有理化因式 .
二次根式的大小比较： 二次根式比较大小的方法有平方比较法、 作差比较法、求商比较法、求倒数比较法等，其中，比较常用的是平方比较法 .
二次根式的运算：二次根式的加减类似于多项式的加减，先化成最简二次根式，再对同类
二次根式进行合并；二次根式的乘法类似于多项式的乘法；二次根式的除法，通常写成分数的形式，再进行分母有理化 .
例 1：二次根式的意义
已知实数 满足 ，求 的值是多少？
【解答】 2019
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【解析】∵二次根式有意义，
，即 ，
，
，
解得 ，
等式两边平方，整理得
.
例 2：二次根式的性质与化简
若实数 、 满足
，求
、
之间的数量关系？
【解答】
【解析】
，
，
同理可得
，
①＋②可得 ， .
例 3：分母有理化
已知 ，求
的值.
【解答】
当 时，原式 .
例 4：比较大小
试比较 与 的大小.
1089333-345751【解答】
【解析】
化简后分母相同，分子不同，所以倒数大的反而小，所以 .
例 5：双重二次根式化简
已知 ，则 .
【解答】
【解析】将 的左边分子有理化得 ， 化简得 ，
两式相加得 ， 解得 ，
.
二次根式巩固练习
一．选择题
1．若 x2+y2 ＝1，则 的值为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【解答】 C
2
2
【解析】因为 x +y ＝1，
所以﹣ 1≤x≤1，﹣ 1≤y≤1，
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因为 ，
其中 y﹣2＜0，所以 x+1≤0， 又因为﹣ 1≤ x≤1，
所以 x+1＝ 0， x＝﹣ 1，
所以 y＝0， 所以原式＝
＝ 2+0
＝ 2．
4 3 2
2．已知 x＝ ﹣ 2， x +8x +16x 的值为（ ）
A． B． C．3 D．9
【解答】 D
【解析】∵ x＝ ﹣2，
2 2 2 2
∴x ＝（ ﹣2） ＝（ ） ﹣2× ×2+2 ＝7﹣4 +4＝ 11﹣4 ，
2
2
则原式＝ x （x +8x+16）
2 2
＝x （x+4）
2
＝（ 11﹣ 4 ）（ ﹣2+4）
2
＝（ 11﹣ 4 ）（2+ ）
＝（ 11﹣ 4 ）（11+4 ）
2
2
＝ 11 ﹣（ 4 ）
＝ 121﹣112
＝ 9
3．若二次根式 有意义，且关于 x 的分式方程 有正数解，则符合条件
的整数 m的和是（ ）
A．﹣ 7 B．﹣ 6 C．﹣ 5 D．﹣ 4
【解答】 D
【解析】去分母得，﹣ m+2（ x﹣ 1）＝ 3， 解得 ，
∵关于 x 的分式方程 有正数解，
∴ ，
∴ m＞﹣ 5，
又∵ x＝1 是增根，当 x＝ 1 时， ，即 m＝﹣ 3
∴ m≠﹣ 3，
∵ 有意义，
∴ 2﹣ m≥ 0，
∴ m≤ 2，
因此﹣ 5＜m≤2 且 m≠﹣ 3，
∵m为整数，
∴m可以为﹣ 4，﹣ 2，﹣ 1，0，1，2，其和为﹣ 4.
4 ． 设 x 、 y 、 z 是 两 两 不 等 的 实 数 ， 且 满 足 下 列 等 式 ：
3 3 3
，则 x +y +z ﹣3xyz 的值是（ ）
A．0 B．1
C．3 D．条件不足，无法计算
【解答】 A
【解析】依题意得：
，
解得 x＝0，
∵ ，
∴ ，
∴y＝﹣ z
3 3 3 3 3
∴把 x＝0，y＝﹣ z 代入 x +y +z ﹣3xyz 得：原式＝（﹣ z） +z
＝0.
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设 ，则 S最接近的整数是（ ）
A．2015 B．2016 C．2017 D．2018
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【解答】 C
【解析】
所以 S最接近的整数是 2017.
二．填空题
已知 a、b 满足 ，则 ab 的值为 ．
【解答】
【解析】∵ ＝a+3， 若 a≥2，则 a﹣2＝a+3，不成立， 故 a＜2，
∴ 2﹣ a＝ a+3，
∴ a＝﹣ ，
∵ ＝a﹣b+1，
∴ a﹣ b+1＝1 或 0，
∴ 或 ，
∴ ab＝ ．
2
7．已知 ，则 4x +4x﹣ 2017＝ ．
【解答】﹣ 2015
【解析】∵ ，
2
∴ 4x +4x﹣ 2017
2
＝（ 2x+1） ﹣ 2018
＝
＝
＝
＝ 3﹣ 2018
＝﹣ 2015．
2004 2005
若 ，则 a × b ＝ ．
【解答】 3+
【解析】∵ ，
∴ a﹣ 3+ ＝0，b﹣3﹣ ＝0，
∴ a＝ 3﹣ ， b＝ 3+ ，
∴ ab＝（ 3﹣ ）（3+ ）＝ 9﹣8＝1，
2004
2005
2004
∴a ×b
＝（ ab）

× b＝ 1×（ 3+ ）＝ 3+ ．
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已知 xy＝3，那么 的值是 ．
【解答】±
【解析】因为 xy＝3，所以 x、y 同号，
于是原式 ，
当 x＞0，y＞0 时，原式＝ ；
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当 x＜0，y＜0 时，原式＝ ． 故原式＝± ．
当 x＝ ，y＝ 时， 的值为 ．
【解答】
【解析】由题意，知： x+y＝ 4， x﹣ y＝ 2 ，（x+1）（y+1）＝ 6；
三．解答题
已知 ，求代数式 的值．
【解答】 40
【解析】当 时，
已知 x，y 都是有理数，并且满足 ，求 的值．
【解答】 3
【解析】 ，
∴ ．
∵x， y 都是有理数，
2
∴x +2y﹣17 与 y+4 也是有理数，
∴ ，
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解得 ，
∵ 有意义的条件是 x≥y，
∴取 x＝5，y＝﹣ 4，
．
已知： ，求 的值．
【解答】
【解析】∵ ，
∴ ，
，
14．已知 ，且 19x2+123xy+19y2＝ 1985．试求正整数 n．
【解答】 2
【解析】化简 x 与 y 得 ，
，
∴x+y＝4n+2，
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∴将 xy＝1 代
入方程，化简得： x
+y2＝ 98，
2 2 2
∴（ x+y）
＝x +y
+2xy＝98+2×1＝100，
∴x+y＝10．
∴ 4n+2＝ 10， 解得 n＝2．
2
15．已知矩形的周长为 cm，一边长为 cm，求此矩形的另一边长和它的面积？
【解答】另一边长是 cm，矩形的面积是 cm
【解析】矩形的另一边长是：
矩形的面积是：
16 ． 观 察 下 列 格 式 ， ，
）化简以上各式，并计算出结果；
）以上格式的结果存在一定的规律，请按规律写出第 5 个式子及结果
）用含 n（ n≥ 1 的整数）的式子写出第 n 个式子及结果，并给出证明的过程．
【 解 答 】（ 1 ） ， ， ， ﹣ 4 ；（ 2 ） ；（ 3 ）
【解析】
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（ 1）
，
，
；
（ 2） ；
（ 3） ．
先阅读下面的解题过程，然后再解答：
形如 的化简，只要我们找到两个数 a，b，使 a+b＝m，ab＝n，即 ，
，那么便有： 根据上述方法化简：
（ 1） ；
（ 2） ．
【解答】（1） ；（ 2）
【解析】（1） ；
（ 2） ．
阅读下列解题过程：
请回答下列问题：
）观察上面的解题过程，请直接写出式子 ＝ ；
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）观察上面的解题过程，请直接写出式子 ＝ ；
（ 3 ） 利 用 上 面 所 提 供 的 解 法 ， 请 求
的值．
【解答】（1） ；（ 2） ；（3）9
【解析】（1） ；
（ 2） ；
．
阅读材料：像 ＝b﹣1（b
≥ 0） 两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有
理化因式．例如 与 ， 与 ， 与 等都是互为有理化因式．
在进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号．
例如： ．
解答下列问题：
） 与 互为有理化因式，将 分母有理化得 ；
）计算： ；
）已知有理数 a、b 满足 ，求 a、b 的值．
【解答】（1） ， ；（2） ；（3）a＝1，b＝2
【解析】（1） 与 互为有理化因式， ，
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∴ ，
∴ ，
∴ ，
解得， a＝1，b＝2．
某同学在解答题目： “化简并求值 ，其中 ，”时：解答过程是：
；
）请判断他的解答是否正确；如果不正确，请写出正确的解答过程．
（ 2）
设 （n 为正整数），
考察所求式子的结构特征：
①先化简通项公式 ；
②求出与 S最接近的整数是多少？
【解答】（1）不正确，过程见解析； （2）① ，②当 n＝ 1 时， S 最接近的数是 1 或
2；当 n＞1 时， S 最接近的整数是 n+1．
【解析】（1）他的解答不正确， 正确过程如下：
原式＝ ，
当 a＝ 时，原式＝ ；
）∵ n 为任意的正整数，
1089333-5685466当 n＝1 时， S 最接近的数是 1 或 2； 当 n＞1 时， S 最接近的整数是 n+1．
阅读下面计算过程： ；
.
请解决下列问题
（ 1）根据上面的规律，请直接写出 ＝ ．
（ 2 ） 利 用 上 面 的 解 法 ， 请 化 简 ：
．
（ 3）你能根据上面的知识化简 吗？若能，请写出化简过程．
【解答】（1） ；（2）9；（3）
【解析】 ．
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