人教版数学九上21.1 一元二次方程教案

第二十一章
一元二次方程
21.1
一元二次方程
一、教学目标
1．理解一元二次方程的概念，并利用概念找出一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项．
2．能判定一个数是否是一元二次方程的根．
二、教学重点及难点
重点：一元二次方程的定义，各项系数的辨别，根的作用．
难点：根的作用的理解．
三、教学用具
多媒体课件。
四、相关资源
《裁剪矩形贴片做方盒》动画，《排球比赛》动画，《一元二次方程概念及一般形式讲解》动画。
五、教学过程
【创设情景，提出问题】
问题1
如图，有一块矩形铁皮，长100
cm，宽50
cm．在它的四角各切去一个同样的正方形，然后将四周突出部分折起，就能制作一个无盖方盒．如果要制作的无盖方盒的底面积是3
600
cm2，那么铁皮各角应切去多大的正方形？
师生活动：通过分析设出合适的未知数，列出方程．问题1可以考虑从不同角度列方程，角度一：等量关系是底面的长×宽=底面积，设切去的正方形的边长是x
cm，则有方程(100-2x)(50-2x)=3
600；
角度二：等量关系是底面积等于大长方形的面积减去四个小正方形的面积，再减去四个长方形的面积，同样设正方形的边长是x
cm，则有方程100×50-4-2x(50-2x)-2x(100-2x)=3600，通过整理得到方程-75x+350=0．
问题2
要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场．根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，比赛组织者应邀请多少个队参赛？
师生活动：全部比赛共28场，若设邀请x个队参赛，每个队要与其他(x－1)个队各赛一场，由于甲队对乙队的比赛和乙队对甲队的比赛是同一场比赛，所以全部比赛共场，于是得到方程，经过整理得到方程-x-56=0．
教师提醒：（1）学生对列方程解应用问题的步骤是否清楚；（2）学生能否说出每一步骤的关键和应注意的问题．
设计意图：由实际问题入手，设置情境问题，激发学生的兴趣，体会数学来源于生活，又应用于生活，让学生初步感受一元二次方程，同时让学生体会方程这一刻画现实世界的数学模型．
【合作探究，形成知识】
1．你能通过观察下列方程得到它们的共同特点吗？
（1）x2＋2x－4＝0
（2）x2－75
x＋350=0
（3）x2－x－56=0
师生活动：分组合作、小组讨论，经过讨论后交流小组的结论，可以发现上述方程都不是所学过的方程，特点是两边都是整式，且整式的最高次数是2次．
归纳总结：等号两边都是整式，只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的方程叫作一元二次方程．
一般地，任何一个关于x的一元二次方程，经过整理，都能化成如下形式：
，这种形式叫做一元二次方程的一般形式．其中ax2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项．
设计意图：由特殊例子出发，由特殊到一般探索出一元二次方程的定义及其相关概念．
2．将方程化成一元二次方程的一般形式，并写出的二次项系数、一次项系数和常数项．
师生活动：学生自主解决问题，通过去括号、移项等步骤把方程化为一般形式，然后指出各项系数．在学生指出二次项系数、一次项系数和常数项的过程中，教师及时分析学生出现的问题（比如系数的符号问题）．
解：去括号，得，
移项，合并同类项，得一元二次方程的一般形式．
其中二次项系数为3，一次项系数为-8，常数项为-10．
设计意图：进一步巩固一元二次方程的基本概念．
3．猜测方程的解是什么？
师生活动：采取多种方法得到方程的解，比如，可以用尝试的方法取x=1，2，3，4，5等，发现x=8时等号成立，于是x=8是方程的一个解，如此等等．引导学生自主探索，多种途径寻找方程的解，在此基础上让学生进行总结．
归纳总结：使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根。
设计意图：通过具体的例子，探究一元二次方程根的概念以及作用．
4．（1）下列哪些数是方程的根？从中你能体会根的作用吗？
-4，-3，-2，-1，0，1，2，3，4．
（2）若x=2是方程的一个根，你能求出a的值吗？从中你能体会方程的根的作用吗？
师生活动：根据根的概念，学生独立解决上述问题．只要是使方程中左右两边相等的未知数的值，都是方程的根，于是经过试验可以发现-2和3都是方程的根．教师引导学生归纳：判断一个数是否是方程的根可以用检验的方法——检验一个数是否是方程的根．
解：（2）因为x=2是方程的一个根，
所以．
解得a=．
教师引导：根据根的定义可以知道，若一个数是方程的根，那么把这个数代入方程后，方程左右两边必定相等，于是可以构造出关于a的一元一次方程，进而求解即可．
设计意图：为学生提供演练机会，进一步巩固方程的根的定义．
【练习巩固，综合应用】
1．下列方程中哪些是一元二次方程？为什么？
（1）3x+2=5x-3；（2）4y2=5y；（3）；（4）x2+y=2．
2．在下列方程中，一元二次方程的个数是（
）．
①3x2＋7=0；②ax2＋bx＋c=0；③(x-2)(x+5)=x2-1；④3x2－=0．
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
3．将方程2x2=3(x-6)化为一般形式后，二次项系数、一次项系数和常数项分别为（
）．
A．2，3，-6
B．2，-3，18
C．2，-3，6
D．2，3，6
4．方程x(x-1)=2的两根为（
）．
A．x1=0，x2=1
B．x1=0，x2=
-1
C．x1=1，x2=2
D．x1=
-1，x2=2
5．方程3x2-3=2x+1的二次项系数为________，一次项系数为_________，常数项为_________．
6．把下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出它们的二次项系数、一次项系数和常数项．
（1）x2=0；（2）4x+1=x2；（3）2x2=
-3x+1；（4）x(x+3)=
-2．
7．若方程是关于x的一元二次方程，求m的值．
8．已知关于x的方程．
（1）当k为何值时，方程是关于x的一元二次方程；
（2）当k为何值时，方程是关于x的一元一次方程．
设计意图：考查一元二次方程的定义、一元二次方程的解的定义及其综合运用．
参考答案
1．解：（2）是一元二次方程，（1）（3）（4）不是一元二次方程；（1）是一元一次方程，
（3）是分式方程，（4）是二元二次方程．
2．A
3．B
4．D
5．3，-2，-4
6．解：（1）x2=0化为一元二次方程的一般形式仍为x2=0；
（2）移项，得一元二次方程的一般形式为x2-4x-1=0；
方程
二次项系数
一次项系数
常数项
x2=0
1
0
0
4x+1=x2
1
-4
-1
2x2=
-3x+1
2
3
-1
x(x+3)=
-2
1
3
2
（3）移项，得一元二次方程的一般形式为2x2+3x-1=0；
（4）去括号，移项，得一元二次方程的一般形式为x2+3x+2=0．
7．解：因为方程是一元二次方程，所以且．
因此m=
-3．
8．（1）；（2）．
师生活动：学生思考、交流，教师适当引导，最后学生在教师的指导下完成．
设计意图：复习巩固，加深对一元二次方程概念的理解．
六、课堂小结
1．一元二次方程的定义
等号两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的方程叫做一元二次方程.
2．一元二次方程的一般形式
一般地，任何一个关于x的一元二次方程，经过整理，都能化成如下形式：
，这种形式叫做一元二次方程的一般形式．其中ax2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项．
3．使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解（又叫做根）．
（学生小组总结展示，老师补充）
设计意图：梳理本节课的主要知识点，让学生明确重难点．
七、板书设计
21.1
一元二次方程
1．一元二次方程的定义
2．一元二次方程的一般形式
一元二次方程的解（又叫做根）．